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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示教师用书理


第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.1 函数及其表示教师用书 理 苏教版

1.函数与映射 函数 两集合 A、B 对应法则 f: 设 A,B 是两个非空的数集 如果按某种对应法则 f,对于集合 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某种对应法则 f,对于 A 中的每一个元素, 在 B 中都有唯 一的元素与之对应 称对应 f: A→B 为从集合 A 到集 合 B 的映射

A→B

A 中的每一个元素 x,在集合 B 中
都有唯一的元素 y 和它对应 这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数

名称 记法

y=f(x)(x∈A)

f:A→B

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y=f(x)的定义域;将所有 y 组成的集合叫做函数 y=f(x)的值域. (2)函数的三要素:定义域、对应法则和值域. (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法. 3.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数,通常叫做分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段 函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 【知识拓展】 求函数定义域常见结论 (1)分式的分母不为零; (2)偶次根式的被开方数不小于零;
1

(3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; π (5)正切函数 y=tan x,x≠kπ + (k∈Z); 2 (6)零次幂的底数不能为零; (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数 f:A→B,其值域是集合 B.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )

(4)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A 到 B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )

1.设 f(x)=?

?x,x∈?-∞,a?, ? ?x ,x∈[a,+∞?. ?
2

若 f(2)=4,则 a 的取值范围为________.

答案 (-∞,2] 解析 因为 f(2)=4,所以 2∈[a,+∞),所以 a≤2,则 a 的取值范围为(-∞,2]. 2.(2016·江苏)函数 y= 3-2x-x 的定义域是________. 答案 [-3,1] 解析 要使原函数有意义,需满足 3-2x-x ≥0, 解得-3≤x≤1,故函数的定义域为[-3,1]. 1,x>0, ? ? 3.( 教材改编 ) 设 f(x) = ?0,x=0, ? ?1,x<0, ________. 答案 0 解析 由题意得,g(π )=0, ∴f(g(π ))=f(0)=0. 1 x 4.(教材改编)如果 f( )= ,则当 x≠0,1 时,f(x)=________. x 1-x 答案 1
? ?1,x为有理数, ? ?0,x为无理数,
2 2

g(x) = ?

则 f(g(π )) 的值为

x-1

2

1 1 1 x 解析 令 =t,则 x= ,代入 f( )= , x t x 1-x 1

t 1 1 则有 f(t)= = ,∴f(x)= . 1 t-1 x-1 1- t
5.已知 f(x)= 1 ,则 f(f(x))的定义域为________.

x+1

答案 {x|x≠-2 且 x≠-1} 解析 因为 f(x)= 1

x+1



所以 f(x)的定义域为{x|x≠-1}, 则在 f(f(x))中,f(x)≠-1,即 解得 x≠-2, 所以 f(f(x))的定义域为{x|x≠-2 且 x≠-1}. 1

x+1

≠-1,

题型一 函数的概念 例 1 有以下判断:
? ?x≥0? ?1 |x| ①f(x)= 与 g(x)=? x ?-1 ?x<0? ?

表示同一函数;

②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+1 是同一函数;
2 2

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f? ??=0. ? ?2??
其中正确判断的序号是________. 答案 ②③ 解析 对 于 ① , 由 于 函 数 f(x) = |x|

x

的 定 义 域 为 {x|x∈R 且 x≠0} , 而 函 数 g(x) =

?1?x≥0?, ? ? ?-1?x<0? ?

的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于②,若 x=1 不是 y=f(x)定义

域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由 函数定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点;对于③,f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,所以 f(x)和 g(t)

3

?1? ?1 ? ?1? ? ?1?? 表示同一函数;对于④,由于 f? ?=? -1?-? ?=0,所以 f?f? ??=f(0)=1. ?2? ?2 ? ?2? ? ?2??
综上可知,正确的判断是②③. 思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定,当且仅当定义域和对应法则都相同 的函数才是同一函数.值得注意的是,函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应 法则是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应法 则算出的函数值是否相同). (1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.

(2)下列各组函数中,表示同一个函数的是________. ①y=x-1 和 y=
0

x2-1 ; x+1

②y=x 和 y=1; ③f(x)=x 和 g(x)=(x+1) ; ? x? ④f(x)= 和 g(x)=
2 2 2

x

x . 2 ? x?

答案 (1)2 (2)④ 解析 (1)①中当 x>0 时,每一个 x 的值对应两个不同的 y 值,因此不是函数图象,②中当 x =x0 时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值,因此是 函数图象. (2)①中两个函数的定义域不同;②中 y=x 的 x 不能取 0;③中两函数的对应法则不同. 题型二 函数的定义域问题 命题点 1 求函数的定义域 ? x-1? 例 2 (1)(教材改编)函数 f(x)= 的定义域用区间表示为____________. 4-2x (2)若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= 答案 (1)[0,1)∪(1,2) (2)[0,1)
0 0

f?2x? 的定义域是________. x-1

解析

? x-1≠0, (1)要使函数有意义,需满足?x≥0, ?4-2x>0,

4

x≠1, ? ? 即?x≥0, ? ?x<2.
∴函数 f(x)的定义域为[0,1)∪(1,2). (2)由 0≤2x≤2,得 0≤x≤1, 又 x-1≠0,即 x≠1, 所以 0≤x<1,即 g(x)的定义域为[0,1). 引申探究 例 2(2)中,若将“函数 y=f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数 y=f(x+1)的定义域为[0, 2]”,则函数 g(x)=

f?2x? 的定义域为________________. x-1

1 3 答案 [ ,1)∪(1, ] 2 2 解析 由函数 y=f(x+1)的定义域为[0,2], 得函数 y=f(x)的定义域为[1,3],
?1≤2x≤3, ? 令? ?x-1≠0, ?

1 3 得 ≤x≤ 且 x≠1, 2 2

1 3 ∴g(x)的定义域为[ ,1)∪(1, ]. 2 2 命题点 2 已知函数的定义域求参数范围 例 3 (1)若函数 f(x)= 2x (2)若函数 y=
2
2

?2ax?a

?1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

ax+1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是________. ax +2ax+3

答案 (1)[-1,0] (2)[0,3) 解析 (1)因为函数 f(x)的定义域为 R, 所以 2x 即 2x
2 2

? 2 ax ?a

-1≥0 对 x∈R 恒成立,
0 2

? 2 ax ?a

≥2 ,x +2ax-a≥0 恒成立,
2

因此有 Δ =(2a) +4a≤0,解得-1≤a≤0. (2)因为函数 y=
2

ax+1 的定义域为 R, ax2+2ax+3

所以 ax +2ax+3=0 无实数解, 即函数 t=ax +2ax+3 的图象与 x 轴无交点. 当 a=0 时,函数 y=3 的图象与 x 轴无交点; 当 a≠0 时,则 Δ =(2a) -4·3a<0,解得 0<a<3. 综上所述,a 的取值范围是[0,3).
5
2 2

思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题, 在解不等式(组)取交集 时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍. (2)求抽象函数的定义域:①若 y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式 a<g(x)<b 即可求出 y =f(g(x))的定义域;②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)在(a,b)上的值域即 得 f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解. (1)已知函数 f(x)的定义域为 [3, 6] ,则函数 y=

f (2 x) 的定义域为 log 1 (2 ? x)
2

______________. (2)若函数 y=

mx-1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是______________. mx +4mx+3
2

3 3 答案 (1)[ ,2) (2)[0, ) 2 4 解析 (1)要使函数 y=

f (2 x) 有意义, log 1 (2 ? x)
2

3≤2x≤6, ? ? 需满足? log ?2-x?>0 1 ? ? 2

3 ? ? ≤x≤3, ? ?2 ? ?0<2-x<1
2

3 ? ≤x<2. 2

(2)要使函数的定义域为 R,则 mx +4mx+3≠0 恒成立. ①当 m=0 时,得到不等式 3≠0,恒成立; ②当 m≠0 时,要使不等式恒成立, 需满足?
? ?m>0, ?Δ =?4m? -4×m×3<0, ? ? ?m<0, 或? ?Δ <0, ?
2

即?

? ?m>0, ?m?4m-3?<0 ?

即?

? ?m<0, ?m?4m-3?<0. ?

3 3 解得 0<m< .由①②得 0≤m< . 4 4 题型三 求函数解析式 2 例 4 (1)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)=________.

x

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________. 1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f( ) x-1,则 f(x)=________.

x

6

答案 (1)lg

2 2 1 (x>1) (2)2x+7 (3) x+ x-1 3 3

2 2 解析 (1)(换元法)令 t= +1(t>1),则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg 2

t-1

,即 f(x)=lg

2

x-1

(x>1).

(2)(待定系数法) 设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17,不论 x 为何值都成立, ∴?
? ?a=2, ?b+5a=17, ?

解得?

? ?a=2, ?b=7, ?

∴f(x)=2x+7. (3)(消去法) 1 1 在 f(x)=2f( ) x-1 中,用 代替 x,

x

x

1 1 得 f( )=2f(x) -1,

x x

x

1 2f?x? 1 将 f( )= -1 代入 f(x)=2f( ) x-1 中,

x

x

2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 思维升华 函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替 代 g(x),便得 f(x)的解析式;

?1? (4)消去法:已知 f(x)与 f? ?或 f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等 x ? ?
式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 1 1 2 (1)已知 f(x- )=x + 2,求 f(x);

x

x

(2)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x))=4x-1,求 f(x); (3)已知 f(x)+3f(-x)=2x+1,求 f(x). 1 1 1 2 2 解 (1)设 x- =t,则 x + 2=(x- ) +2,

x

x

x

∴f(t)=t +2,∴f(x)=x +2.
7

2

2

(2)设 f(x)=kx+b(k≠0),则 f(f(x))=k x+kb+b, 即 k x+kb+b=4x-1,
?k =4, ? ∴? ? ?kb+b=-1,
2 2

2

k=2, ? ? ∴? 1 b=- ? 3 ?

或?

?k=-2, ? ? ?b=1.

1 故 f(x)=2x- 或 f(x)=-2x+1. 3 (3)以-x 代替 x 得 f(-x)+3f(x)=-2x+1, 1 ∴f(-x)=-3f(x)-2x+1,代入 f(x)+3f(-x)=2x+1 可得 f(x)=-x+ . 4

2.分类讨论思想在函数中的应用

?2x+a,x<1, ? 典例 (1)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1,

若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为______________.
? ?3x-1,x<1, (2)(2015·山东改编)设函数 f(x)=? x ?2 ,x≥1, ?

则满足 f(f(a))=2

f(a)

的 a 的取值范围

是____________. 思想方法指导 (1)求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,通过分类讨论求解; (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时, 应根据每一段解 析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取 值范围. 解析 (1)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 3 由 f(1-a)=f(1+a),可得 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得 a=- ,不合题意. 2 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 由 f(1-a)=f(1+a),可得 3 -(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得 a=- ,符合题意. 4 (2)由 f(f(a))=2
f(a)

,得 f(a)≥1.

2 2 当 a<1 时,有 3a-1≥1,∴a≥ ,∴ ≤a<1. 3 3 当 a≥1 时,有 2 ≥1,∴a≥0,∴a≥1.
a

8

2 综上,a≥ . 3 3 答案 (1)- 4

?2 ? (2)? ,+∞? ?3 ?

1.下列各组函数中,表示同一函数的是________.

x2-9 ①y= 与 y=x+3; x-3
②y= x -1 与 y=x-1; ③y=x (x≠0)与 y=1(x≠0); ④y=2x+1,x∈Z 与 y=2x-1,x∈Z. 答案 ③ 解析 ①中两函数的定义域不同;②,④中两函数的对应法则不同. ln?2x-x ? 2.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数 f(x)= 的定义域为__________. x-1 答案 (0,1)∪(1,2) 解析
?2x-x >0, ? 由题意可得? ?x-1≠0, ?
2 2 0 2

解得 0<x<1 或 1<x<2, 故所求函数的定义域为(0,1)∪(1,2). 3.给出下列函数: ①f(x)=|x|;②f(x)=x-|x|;③f(x)=x+1;④f(x)=-x.其中满足 f(2x)=2f(x)的是 ________.(填序号) 答案 ①②④ 解析 将 f(2x)表示出来,看与 2f(x)是否相等. 对于①,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于②,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x); 对于③,f(2x)=2x+1≠2f(x); 对于④,f(2x)=-2x=2f(x). 故只有③不满足 f(2x)=2f(x).
?sin?π x ?,-1<x<0, ? 4.(2016·南通模拟)函数 f(x)=? x-1 ?e ,x≥0 ?
2

满足 f(1)+f(a)=2,则 a 所有可能的值为________.

9

答案 1 或-

2 2
1-1

解析 ∵f(1)=e

=1 且 f(1)+f(a)=2,
2

∴f(a)=1,当-1<a<0 时,f(a)=sin(π a )=1, ∵0<a <1,∴0<π a <π , π 2 2 ∴π a = ? a=- ; 2 2 当 a≥0 时,f(a)=e
a-1
2 2

=1? a=1.

2+x x 2 5.设 f(x)=lg ,则 f( )+f( )的定义域为____________. 2-x 2 x 答案 (-4,-1)∪(1,4) 2+x x 2 解析 ∵ >0,∴-2<x<2,∴-2< <2 且-2< <2,解得-4<x<-1 或 1<x<4, 2-x 2 x ∴所求的定义域为(-4,-1)∪(1,4). 6.(2016·江苏淮阴中学期中)从集合 A 到集合 B 的映射 f:x→x +1,若 A={-2,-1,0, 1,2},则 B 中至少有________个元素. 答案 3 解析 根据映射的定义可得 x=±2→y=5,x=±1→y=2,x=0→y=1,所以集合 B 为{1, 2,5},故集合 B 中至少有 3 个元素.
?x +2x+2, x≤0, ? 7.设函数 f(x)=? 2 ?-x , x>0. ?
2 2

若 f(f(a))=2,则 a=________.

答案

2
2 4 2

解析 当 a>0 时,f(a)=-a <0,f(f(a))=a -2a +2=2,解得 a= 2(a=0 与 a=- 2 舍去);当 a≤0 时,f(a)=a +2a+2=(a+1) +1>0,f(f(a))=-(a +2a+2) =2,此方 程无解.
?3x-m,x≤2, ? 8.(2016·苏州暑假测试)已知实数 m≠0,函数 f(x)=? ?-x-2m,x>2, ?
2 2 2 2

若 f(2-m)=f(2

+m),则 m 的值为____________. 8 答案 8 或- 3 解析 当 m>0 时,2-m<2,2+m>2,所以 3(2-m)-m=-(2+m)-2m,所以 m=8;当 m<0 8 时,2-m>2,2+m<2,所以 3(2+m)-m=-(2-m)-2m,所以 m=- . 3

10

2 ? ?x+ -3,x≥1, 9.(2015·浙江)已知函数 f(x)=? x ? ?lg?x2+1?,x<1, 则 f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________. 答案 0 2 2-3
2

解析 ∵f(-3)=lg[(-3) +1]=lg 10=1, ∴f(f(-3))=f(1)=0, 2 当 x≥1 时, f(x)=x+ -3≥2 2-3, 当且仅当 x= 2时, 取等号, 此时 f(x)min=2 2-3<0;

x

当 x<1 时,f(x)=lg(x +1)≥lg 1=0,当且仅当 x=0 时,取等号,此时 f(x)min=0.∴f(x) 的最小值为 2 2-3.

2

?1? *10.具有性质:f? ?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ?x?
x,0<x<1, ? ?0,x=1, 1 1 ①f(x)=x- ;②f(x)=x+ ;③f(x)=? x x 1 - ,x>1. ? ? x
其中满足“倒负”变换的函数是________. 答案 ①③ 1 ?1? 1 解析 对于①,f(x)=x- ,f? ?= -x=-f(x),满足;

x

?x? x

?1? 1 对于②,f? ?= +x=f(x),不满足; ?x? x
,0< <1, x x ? ? 1 ?1? 对于③,f? ?=?0, =1, x ?x? 1 ? ?-x,x>1, 1 1 1 ,x>1, ? x ? 1 ? ? 即 f? ?=? 0,x=1, ?x? ? ?-x,0<x<1,

?1? 故 f? ?=-f(x),满足. x ? ?
综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.
11

f?x+1?,-2<x<0, ? ? 11.已知 f(x)=?2x+1,0≤x<2, ? ?x2-1,x≥2.
3 (1)求 f(- )的值; 2 (2)若 f(a)=4 且 a>0,求实数 a 的值. 3 3 1 解 (1)由题意,得 f(- )=f(- +1)=f(- ) 2 2 2 1 1 1 =f(- +1)=f( )=2× +1=2. 2 2 2 3 (2)当 0<a<2 时,由 f(a)=2a+1=4,得 a= , 2 当 a≥2 时,由 f(a)=a -1=4,得 a= 5或 a=- 5(舍去), 3 综上所述,a= 或 a= 5. 2
2

12



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