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1978全国高考数学试题


1978 年普通高等学校招生全国统一考试

数学
(理科考生五,六两题选做一题 文科考生五,六两题选做一题,不要
王新敞
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求做第七题 )
王新敞
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一. (下列各题每题 4 分,五个题共 20 分) 1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.

解:原式=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为 a ,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于 这个正方形边长的直圆柱体的体积
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解:设底面半径为 r,则底面周长 2π r= a
a a2 ? a ? 2 则 r ? , 体积 ? ?r ? a ? ? ? ? a ? . 2? 4? ? 2? ?
2

3.求函数 y ? lg(2 ? x) 的定义域

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解: ∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故 x≥-1 为其定义域 4.不查表求 cos800cos350+cos100cos550 的值
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解:原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=
1? 5.化简: ? ? ? ?4? 解 : 原式 ?
? 1 2

2 2

?
1

( 4ab?1 ) 3 (0.1) (a b )
?2 3 ?4 1 2

.

4 2 b . 25

二 .(本题满分 14 分) 已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数 对于不同范围的 k 值,分别指
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出方程所代表图形的内形,并画出显示其数量特征的草图

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解:1)k>0 时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,此时又可分 为:①k>1 时,长轴在 y 轴上,半长轴=2,半短轴= ②k=1 时,为半径 r=2 的圆; ③k<1 时,长轴在 x 轴上,半长轴=
2 k
Y (0,2) k=1/4

2 k

;

,半短轴=2

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Y k=2 A k=1

Y

O O B X O X

A X

如图: 2)k=0 时,方程为 y2=4 图形是两条平行于 x 轴的直线 y ? ?2
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如图

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?

3)k<0 时,方程为

x2 y2 ? ?1 4 4 k

这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在 y 轴上 如图:
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Y y=2 k=-4

Y

A O O y=-2 X B X

三. (本题满分 14 分) (如图)AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于 C

点,AM⊥MN 于 M 点,BN⊥MN 于 N 点,CD⊥AB 于 D 点, 求证:1)CD=CM=CN. 2)CD2=AM·BN
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1)证:连 CA,CB,则∠ACB=900 ∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC≌△
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M C N A D B

ADC ∴CM=CD 同理 CN=CD ∴
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CD=CM=CN

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2)∵CD⊥AB,∠ACD=900 ∴ CD2=AD·DB 由 1)知 AM=AD,BN=BD ∴CD2=AM·BN
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四. (本题满分 12 分)
已知 log18 9 ? a(a ? 2),18b ? 5.求 log 36 45. 解 : ?18b ? 5,? log18 5 ? b. log 36 45 ? log18 5 ? 9 log18 5 ? log18 9 a ? b ? ? . log18 18 ? 2 log18 18 ? log18 2 2 ? a

五. (本题满分 20 分) 已知△ABC 的三内角的大小成等差数列, tgAtgC= 2 ? 3 求角 A, B, C 的大小 又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 求三角形各边 a ,b,c
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的长(提示:必要时可验证 (1 ? 3) 2 ? 4 ? 2 3 )

解 : A ? B ? C ? 180?又2 B ? A ? C.? B ? 60?, A ? C ? 120? ? tgAtgC ? 2 ? 3 (1) (2) 而tgA ? tgC ? (1-tgAtgC)tg(A ? C) ? (-1- 3)(? 3) ? 3 ? 3. x1 ? 1, x2 ? 2 ? 3 设A ? C , 则得tgA ? 1, tgC ? 2 ? 3. ? A ? 45?, C ? 120? ? 45? ? 75? 又知c上的高等于4 3,? a ? 4 3 4 3 ? 8; b ? ? 4 6; sin 60? sin 45?

由(1) (2)可知tgA,tgC是x 2 ? (3 ? 3) x ? 2 ? 3 ? 0的两根.解这方程得 :

c ? AD ? DB ? b cos 45? ? a cos 60? ? 4 3 ? 4.

六. (本题满分 20 分)
已知 : ? , ?为锐角, 且 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1, 3sin2 ? - 2sin2? ? 0, 求证 : ? ? 2 ? ?

?
2

.

由3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1, 得 : 3sin 2 ? ? cos 2 ? . 3 由3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 0, 得 : sin 2 ? ? sin 2? ? 3sin ? cos ? .. 2 2 2 2 2 ? sin 2? ? cos ? 9sin ? cos ? ? 9sin 4 ? ? 9sin 2 ? ? 1. 1 ? sin ? ? (? 为锐角) 3 sin(? ? 2? ) ? sin ? cos 2 ? ? cos ? sin 2 ? ? sin ? (3sin 2 ? ) ? cos ? (3sin ? cos ? ) ? 3sin ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 3sin ? ? 1 ?? ? ? ?

?
2

.

七. (本题满分 20 分,文科考生不要求作此题) 已知函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m 为实数) 1)m 是什么数值时,y 的极值是 0? 2)求证:不论 m 是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同 一条直线 L1 上 画出 m=-1、0、1 时抛物线的草图,来检验这个结论
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3)平行于 L1 的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任

一条平行于 L1 而与抛物线相交的直线, 被各抛物线截出的线段都相等
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解:用配方法得:
2m ? 1 ? 4m ? 5 4m ? 5 ? y ??x? ? y的极小值为 ? . ? ? 2 ? 4 4 ? 5 所以当极值为0时, 4m ? 5 ? 0, m ? ? 4 2m ? 1 4m ? 5 2.函数图象抛物线的顶点坐标为(? ,? ), 2 4 2m ? 1 1 4m ? 5 5 即 x?? ?m ? , y ? ? ? ?m ? , 2 2 4 4 3 二式相减得 : x ? y ? .此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图象是一条 4 直线, 方程中不含m,因此, 不论m是什么值, 抛物线的顶点都在这条直线上. 当m ? ?1, 0,1时, x, y之间函数关系为 y? 1 1 ? ( x ? )2 , 4 2 y? 5 1 ? ( x ? )2 , 4 2 y? 9 3 ? ( x ? ) 2 图略. 4 2
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2

3.设 L:x-y= a 为任一条平行于 L1 的直线

与抛物线 y=x2+(2m+1)x+m2-1 方程联立求解,消去 y,得 x2+2mx+m2-1+ a =0∴(x+m)2=1- a
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因而当 1- a ≥0 即 a ≤1 时,直线 L 与抛物线相交,而 a >1 时,直线 L 与抛物线不相交
? m ? 1? a,
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当a ? 1时, x ? ?m ? 1 ? a .即直线L与抛物线两交点横坐标 为 ? m ? 1 ? a. 因直线L的斜率为 1, 它的倾斜角为 45? ? 直线L被抛物线截出的线段等 于[(?m ? 1 ? a ) ? (?m ? 1 ? a )] 2 ? 2 2(1 ? a)

而这与 m 无关

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因此直线 L 被各抛物线截出的线段都相等

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一九七八年副题

1. (1)分解因式:x2-2xy+y2+2x-2y-3 解:原式=(x-y-1)(x-y+3) (2)求 sin 30? ? tg 0? ? ctg
?
4 ? cos 2 5? 的值 6

lg(25 ? 5 x ) 的定义域. x ?1 解 : ? 25 ? 5 x ? 0, 且x ? 1 ? 0. ? x ? 2且x ? ?1为所求之定义域 (3)求函数y ?

解:原式=3/4

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(4)已知直圆锥体的底面半径等于 1cm,母线的长等于 2cm,求它 的体积
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解: V ? ? ? 12 ? 2 2 ? 1 ?
?1

1 3

3 ? (cm3 ) 3
1 1 1

1 ?2 125 2 5 2 (5)计算10(2 ? 5 ) ? ( ) ? 30( ) ( ) 的值. 500 9 3

解:原式=30

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2.已知两数 x1 ,x2 满足下列条件: 1)它们的和是等差数列 1,3,…的第 20 项; 2)它们的积是等比数列 2,-6,…的前 4 项和 求根为
1 , x1 1 的方程 x2
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略解:x1 +x2=39,x1x2=-40 故:1/x1+1/x2=-39/40
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1/x1·1/x2=-1/40 所求方程为:40x2+39x-1=0. 3.已知:△ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点,求证:

?ABC的面积 AB2 BD ? ? ?ACD的面积 AC 2 CD

证:因为 AD 是△ABC 的外接圆的切 线,所以 ∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
?ABC的面积 AB 2 ? ? ?ACD的面积 AC 2
B 1

A

E C

D

作 AE⊥BD 于点 E,则
1 BD ? AE ?ABC的面积 2 BD ? ? . ?ACD的面积 1 CD CD ? AE 2

4. (如图)CD 是 BC 的延长线,AB=BC=CA=CD= a ,DM 与 AB,AC 分别 交于 M 点和 N 点,且∠BDM=α
求证: BM ?
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4atg? 3 ? tg?

, CN ?

4atg? 3 ? tg?
M N α B E F D A

证:作 ME⊥DC 于 E,由△ABC 是等 边三角形,在直角△MBE 中,
1 3 BE ? BM , ME ? BM , 2 2 3 BM ME 4atg? ? tg? ? ? 2 ,? BM ? . ED 2a ? 1 BM 3 ? tg? 2

类似地,过 N 作 NF⊥BC 于 F,在直角△NFC 中,可证:
CN ? 4atg? 3 ? tg?

5.设有 f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0)求证:

1)如果 f(x)的系数满足 p2-4q-4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一个二次 三项式的平方
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2)如果 f(x)与 F(x)=(2x2+ a x+b)2 表示同一个多项式,那么 p2-4q-4(m+1)=0
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p 2 ? 4q 证 :1) ? m ? 1 ? , 4 p 2 ? 4q p 2 ? 4q 2 x?( ) 4 4 p 2 ? 4q p 2 ? 4q 2 ? (2x 2 ? px) 2 ? ( p 2 ? 4q) x 2 ? (2 px) ? ?( ) 4 4 p 2 ? 4q p 2 ? 4q 2 ? (2x 2 ? px) 2 ? 2(2x 2 ? px) ? ?( ) 4 4 p 2 ? 4q 2 ? (2x 2 ? px ? ). 4 ? f ( x)等于一个二次三项式的平方 ? f ( x) ? 4 x 4 ? 4 px 3 ? 4qx 2 ? 2 p ? 2) ? 4 x 4 ? 4 px3 ? 4qx 2 ? 2 p (m ? 1) ? (m ? 1) 2 ? (2 x 2 ? ax ? b) 2 ? 4 x 4 ? 4ax3 ? ( a 2 ? 4b) x 2 ? 2abx ? b 2 , ? ?4 p ? 4a ???????? (1) ? 4q ? a 2 ? 4b ??????? (2) ? ?? ?2 p (m ? 1) ? 2ab ?????? (3) 2 2 ? ? (m ? 1) ? b ??????? (4) 4q ? p 2 由(1)可得a ? ? p代入(2)得b ? 4 4q ? p 2 , 4 ? p[ p 2 ? 4q ? 4(m ? 1)] ? 0.? p ? 0,? p 2 ? 4q ? 4(m ? 1) ? 0. 将a, b的表达式代入(3), 得2 p(m ? 1) ? ?2 p ?

6.已知: a sinx+bcosx =0.………………………………① Asin2x+Bcos2x=C.………………………………② 其中 a ,b 不同时为 0
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求证:2 a bA+(b2- a 2)B+( a 2+b2)C=0
证 : 设 sin y ? ? b a ?b
2 2

, cos y ?

a a ? b2
2

则①可写成 cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ (k 为整数), ∴x=y+kπ 又 sin2x=sin2(y+kπ )=sin2y=2sinycosy= ?
a2 ? b2 cos2x=cos2y=cos y-sin y= 2 2 a ?b
2 2

2ab a ? b2
2

代入②,得
2abA (a 2 ? b 2 ) B ? 2 ? 2 ? C, a ? b2 a ? b2 ? 2abA ? (b 2 ? a 2 ) B ? (a 2 ? b 2 )C ? 0.

7.已知 L 为过点 P (?

3 3 3 0 ,? ) 而倾斜角为 30 的直线,圆 C 为中心在 2 2 2 ,0) 的抛 8

坐标原点而半径等于 1 的圆,Q 表示顶点在原点而焦点在 (
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物线 设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点, B 为 C 和 Q 在第四象限的交点
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1)写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程,并作草图

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2)写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式
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3) 设 P' 、 B' 依次为从 P、 B 到 x 轴的垂足 求由圆弧 AB 和直线段 BB' 、 B'P' 、P'P、PA 所包含的面积 解:1)直线 L、圆 C 和抛物
Y
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线 Q 的方程为
3 x 3 C : x2 ? y 2 ? 1 L: y ? Q : y2 ? 2 x 2 草图如图
LP A

O X B C Q

2)由
? 3 3 x ? y? . ? 3 解得A点横坐标x ? ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 线段PA的函数表达式为 : f1 ( x) ? 3 3 3 3 x, ( ? ?x?? ) 3 2 2
Y

? 2 2 x ?y ? ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ?

解得B点横坐标x ?

2 . 2
L

P' O

B' X B A C Q

圆弧AB的函数表达式为 : 3 2 ?x? ) 2 2 抛物线上OB一段的函数表达式为 : f 2 ( x) ? ? 1 ? x 2 , (? f3 ( x) ? ?
P

2 2 x.(0 ? x ? ). 2 2 9 3)?POP?的面积 ? 3. 8 7 扇形OAB的面积 ? ? . 24 1 ?BOB?的面积 ? . 4 9 7 1 故所求面积 ? 3 ? ? ? (图中阴影部分). 8 24 4


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