河南省洛阳市第一高中2016届高三下学期第二次仿真模拟数学(文)试题(含答案)

洛阳市第一高级中学高三文科数学模拟试卷
组题人：王玮琪 审题人：王宝国 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的.(王玮琪供题) 1.已知复数 z ?

1 ? i (i 为虚数单位),则 | z |? 1? i

A.

5 2

B.

10 2

C.

2 2

D. 5

x 2.设 p : ( ) ? 1, q : log 2 x ? 0 ,则 p 是 q 的

1 2

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 C. 充要条件 A.2 B.3

D. 既不充分也不必要条件 C.4 D.5

3.执行如下程序框图,则输出结果为

4.已知函数① y ? x ? sin x, ② y ? x ? cos x ，③ y ? x ? cos x ，④ y ? x ? 2 x 的部分图象如下，但顺序 被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是

A. ①④②③

B. ①④③②

C. ④①②③

D. ③④②①

5.已知 ? 为第二象限角， sin ? ? cos ? ?

3 ，则 cos 2? ? 3

A. ?

5 5 B. ? 3 9
5 2 7 3

C.

5 9
5 3

D.

5 3

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.

4 3

B.

C.

D.

7.已知点 A, F 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点和右焦点，以原点为圆心， b 为半径 a 2 b2

的圆与 x 轴正半轴的交点恰好为线段 AF 的中点，此交点到该双曲线的渐近线的距离为

16 ，则该双 5

曲线的方程为

A.

5x2 5 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ?1 24 16 16 9 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 16 25

8.已知函数 y ? 2sin x 的定义域为 [ a, b] ,值域为 [?2,1] ，则 b ? a 的值不可能是

A.

5? 6

B.?

C.

7? 6

D.2?

9.已知 ? , ? 是两个不同的平面， m, n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是

A. 若 m // ? , ? ? ? ? n ，则 m // n C. 若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ，则 m ? n

B. 若 m ? ? , m ? n ，则 n // ? D. 若 ? ? ? ， ? ? ? ? n ， m ? n ，则 m ? ?

10.在 ?ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3ac ,则角 B 的值为

A.

?
6

B.

?
3

? 5? C. 或 6 6

? 2? D. 或 3 3
??? ? ??? ? ??? ? ?

11.设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点， A, B, C 为该抛物线上不同的三点， FA ? FB ? FC ? 0 ，O 为坐 标原点，且 ?OFA、?OFB、?OFC 的面积分别为 S1、S2、S3 ，则
2 S12 +S2 +S32 = A.2 B.3 C.6

D.9

12.如果函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上存在 x1 , x2 (a ? x1 ? x2 ? b) ，满足 f '( x1 ) ?

f '( x2 ) ?

f (b) ? f (a ) ，则称函数 f ( x ) 是区间 [ a, b] 上的“双中值函数”.已知函数 b?a

f (b) ? f (a ) ， b?a

，则实数 a 的取值范围是 f ( x) ? x3 ? x2 ? a 是区间 [0, a ] 上的“双中值函数”

1 1 3 1 A.( , ) B.( ,3) C.( ,1) 3 2 2 2

1 D.( ,1) 3
分数的 后， 甲、

二、填空题:本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. (王玮琪供题) 13.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、 乙两名选手打出的 茎叶图 (其中 m 为数字 0～9 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分 乙两名

选手得分的平均数分别为 a1 , a2 ，则 a1 , a2 的大小关系是__________(填 a1 ? a2 ， a2 ? a1 ， a1 ? a2 ).

?x ? y ? 2 ??? ? ???? ? ? 14.已知 O 是坐标原点， 点 A(?1,1) ， 若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点， 则 OA? OM ?y ? 2 ?
的取值范围是_________. 15. 在 ?ABC 中 ， A N ? ___________. 16. 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f ( 1? x )? f ( 1 ? x， ) 且 在 x ? [ 0 , 1时 ] ， f ( x) ?

? ? ?? 1 ? ? ?? ??? ? ??? ? 2 ???? NC , P 是 BN 上 的 点 ， 若 AP ? m AB ? AC ， 则 实 数 m 的 值 为 3 9

2x ? 2x ， 若 直 线

kx ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与函数 f ( x) 的图象有且仅有三个交点，则 k 的取值范围是___________.
三、解答题:本大题共 6 个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(段俊霞供题) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ， a1 ? 2 ，且满足 an?1 ? Sn ? 2n?1 (n ? N ) .
*

(1)证明数列 {

Sn } 为等差数列；(2)求 S1 ? S2 ? ... ? Sn . 2n

18. (本小题满分 12 分)(崔沙萍供题)

如图(1)，等腰直角三角形 ABC 的底边 AB ? 4 ，点 D 在线段 AC 上， DE ? AB 于 E ，现将

?ADE 沿 DE 折起到 ?PDE 的位置（如图(2)） ．
(1)求证： PB ? DE ；(2)若 PE ? BE ， PE ? 1 ,求点 B 到平面 PEC 的距离． 19.(本小题满分 12 分)(周鹏飞供题) 4 月 23 日是“世界读书日” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课 外阅读情况，学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的 学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的 学生称为“读书谜” ，低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”

(1)求 x 的值并估计全校 3000 名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率） (2)根据已知条件完成下面 2×2 的列联表， 并据此判断是否有 99%的把握认为 “读书谜” 与性别有关？ 非读书迷 读书迷 合计 男 15 女 45 合计

n(ad ? bc)2 附： K ? ,n ? a ?b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(k 2 ? k0 )

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

20.(本小题满分 12 分)(张恩昊供题) 已知椭圆的方程为

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ，它的一个顶点为 M (0,1) ，离心率为 e ? . 2 a b 3

(1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 与椭圆交于 A, B 两点， 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 21. (本小题满分 12 分)（王宝国供题） 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx ? x(a, b ? R) .
2

3 O B 面积的最大值. ， 求 ?A 2

(1) 若 a ? ?1, b ? 0 ，求 f ( x ) 的最小值； (2)若 f (1) ? f '(1) ? 0 ，求 f ( x ) 的单调递减区间；

(3)若 a ? b ? 1 ，正实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 ，证明 x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，在直角 ?ABC 中， AB ? BC ， D 为 BC 边上异于 B, C 的一点，以 AB 为直径作圆 O ，并分 别交 AC , AD 于点 E , F . (1)证明： C , E , F , D 四点共圆； (2)若 D 为 BC 的中点，且 AF ? 3, FD ? 1 ，求 AE 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程

? x ? t cos ? (t 为参数， 0 ? ? ? ? )，以原点 O ? y ? t sin ? p ( p ? 0) 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ? cos ? (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； 1 1 (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，求 的值. ? | OA | | OB |
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ? 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a |, a ? 0 ． (1) 证明: f ( x ) ? f ( ? ) ? 2 ； (2)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ?

1 x

1 的解集非空，求 a 的取值范围． 2

洛阳市第一高级中学第二次综合模拟训练 文科数学参考答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 2 1

B

B

C

A

A

A

C

D

C

D

B

C

二、填空题 13. a2 ? a1 14. [0, 2] 15. 三、解答题

1 15 3 16. ( , ) 9 15 3
?2 分 ?4 分 ?5 分 ?6 分

17.(1) 证明：由条件可知， Sn?1 ? Sn ? Sn ? 2n?1 ，即 Sn?1 ? 2Sn ? 2n?1 ，

Sn ?1 Sn ? ?1 ， 2n ?1 2n Sn } 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列. 所以数列 { n 2 Sn ? 1 ? n ? 1 ? n ，即 Sn ? n ? 2n ， (2) 由(1)可知， n 2 令 Tn ? S1 ? S2 ? ?? Sn
整理得

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n 2Tn ???????????1? 2 ?? ? (n ?1) ? 2 ? n ? 2
2 n n?1

① ②

?7 分 ?9 分 ?11 分 ?12 分 ?2 分 ?4 分 ?5 分

①②， ?Tn ? 2 ? 22 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ， 整理得 Tn ? 2 ? (n ?1) ? 2n?1 . 18.(1) ? DE ? AB,? DE ? PE, DE ? EB . 又? PE ? BE ? E,? DE ? 平面 PEB .

? PB ? 平面 PEB ，? PB ? DE .

(2) 由(1)知 DE ? PE ，且 PE ? BE, DE ? BE ? E ，所以 PE ? 平面 BEDC . ?6 分 连结 EC .? PE ? 1,? DE ? PE ? 1, AD ? DC ? 2 . 在 ?EDC 中， ?EDC ? 135 ，由余弦定理得
o

EC 2 ? DE 2 ? DC 2 ? 2DE ? DC ? cos ?EDC ? 1 ? 2 ? 2 2 ? (?

2 ) ? 5， 2

?8 分

1 5 . ? EC ? 5 ,? S?PEC ? ? PE ? EC ? 2 2
设点 B 到平面 PEC 的距离为 h ，则由 VP? BEC ? VB? PEC 得

?10 分

1 1 5 1 6 5 S ?PEC ?h ? S ?BEC ?PE ，所以 . h ? ? 3 ? 2 ?1 ，所以 h ? 3 3 2 2 5

?12 分

19.(1)由已知可得：(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1，可得 x=0.025，?2 分 因为（ 0.025+0.015）×10=0.4，将频率视为概率， 由此可以估算出全校 3000 名学生中读书迷大概有 1200 人. ?4 分 (2)完成下面的 2×2 列联表如下 非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合 60 40 100 计 ?8 分

K2 ?

100(40 ? 25 ? 15 ? 20)2 ? 8.249 . 60 ? 40 ? 55 ? 45
?12 分

? 8.249 ? 6.635 ,? 有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关.
20.(1)

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2) ①当 AB ? x 轴时， | AB |? 3 . ②当 AB 与当 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， 则有

| m| 1? k 2

?

3 3 ? m2 ? (k 2 ? 1), 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得 2 4
6km 3(m2 ? 1) , x x ? ， 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0,? x1 ? x2 ? ?

? | AB |2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )[

36k 2 m2 12(m2 ? 1) 12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m2 ) ? ]? (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2

?

3(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 12k 2 12 12 ? 3 ? ? 3? ? 3? ?4 ， 当 且 仅 当 2 2 4 2 1 (3k ? 1) 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

9k 2 ?

1 ， k2

k ??

3 3 时上式取等号，此时 | AB |? 2,? . | AB |max ? 2 ，此时 ?AOB 面积的最大值为 S ? 3 2
1 x ?1 ? , x x

21.(1) f ( x) ? x ? ln x( x ? 0), f '( x) ? 1 ?

易知 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ??) 上单调递增，故 f ( x)min ? f (1) ? 1 . ?4 分 (2)由 f (1) ? b ? 1 ? 0 得 b ? ?1 ，

? f ( x) ? a ln x ? x 2 ? x, f '( x) ?

a ? 2x ? 1 ， x

f '(1) ? a ? 2 ? 1 ? 0, a ? 1,? f '( x) ?

1 2x2 ? x ?1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 1 ? ? ?? ， x x x
?8 分

由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ，所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (1, ??) . (3)由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 得
2 ln x1 ? x12 ? ln x2 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0,?( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1x2 ? ln( x1x2 ) .

由（1）得 x1 x2 ? ln( x1 x2 ) ? 1 ，?( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1，解得 x1 ? x2 ? 22-24 题答案同理科.

5 ?1 .?12 分 2

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