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不等式的证明


不等式的证明(1)
教学目的: 不等式的常用证明方法之一—比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明 不等式。 教学重点:比较法的应用 教学难点:常见解题技巧 教学过程: 一、复习引入: 1.判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a= b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.判断两个 实数大小的充要条件是: a ? b ? a ?b

? 0
a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0

由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了. a a 2. 若 a>0,b>0, 则 a ? b ? ? 1; a ? b ? ? 1. b b 二、讲解新课: 1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与 0 的关系——结论 2.比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与 1 的关系——结论 三、讲解范例: 例 1 求证:x2 + 3 > 3x

例 2 已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

例 3 a ,b ? R ,求证: a b ? (ab)
a b

+

a ?b 2

? abb a

例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半 时间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n, 问:甲、乙两人谁先到达指定地点? 思考:若 m = n,结果会怎样?

例5

1 证明函数 f ( x) ? x ? 在x ? [1, ??) 上是增函数. x

四、作业: 1. 已知非零且不相等的实数 a 、b,求证(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2.

2.已知 a≥1,求证 a ? 1 ? a ? a ? a ? 1

3.已知 a>b>c>0,求证: a 2a b 2b c 2c ? a b?c b c?a c a?b .

不等式的证明(2)
教学目的: 1.掌握综合法证明不等式; 2.熟练掌握已学的重要不等式; 3.增强学生的逻辑推理能力. 教学重点:综合法 教学难点:不等式性质的综合运用 教学过程: 一、复习引入: 重要不等式: (1)如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号) (2)如果 a,b 都是正数,那么
2 1 1 ? a b ? ab ? a?b a 2 ? b2 ? . 2 2

当且当 a=b 时等号成立. b a (3)如果 ab>0,那么 ? ? 2 . 当且当 a=b 时等号成立. a b (4)如果 a, b, c ? R ? ,那么 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc(当且仅当 a=b=c 时取“=” ) (5)如果 a, b, c ? R ? ,那么
a?b?c 3 ? abc (当且仅当 a=b=c 时取“=” ) 3

二、讲解新课: 1.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等 式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法. 2.用综合法证明不等式的逻辑关系是: A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B 3.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学 定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。 三、讲解范例: 例 1 已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证:

a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

例 2 已知 a,b∈R,证明:log2(2a+2b)≥

a?b?2 . 2

例 3 若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1, 1 1 1 9 ? ? ? . 求证: a?b b?c c?a 2

1 9 1 9 1 9 ? (a ? b) ? 3, ? (b ? c) ? 3, ? ( a ? c) ? 3 a?b 4 b?c 4 a?c 4 1 9 1 9 1 9 ? ? ( a ? b) ? ? (b ? c) ? ? (a ? c) ? 9 a?b 4 b?c 4 a?c 4 证明: 1 1 1 9 ? ? ? ? (a ? b ? c) ? 9 a?b b?c a?c 2 1 1 1 9 ? ? ? ?? a?b b?c a?c 2
例4 设 a, b, c ? R, 求证: a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c)

例5

已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列,

求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 提示:先用比较法,左-右=2(ab+bc-ac)再用综合法证明.

四、作业: 1.已知 a,b,c?(0,+?),且 a+b+c=1,求证: (1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc;

2.已知 a1,a2,b1,b2 均为正数,求证 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 ) ? a1a2 ? b1b2 ;

3.已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证:

x ? y a ?b ? ? 2; a ?b x ? y

1 1 25 ( x ? )( y ? ) ? ; 4.已知x, y ? R ? , 且x ? y ? 1, 求证: x y 4

5. 若 a + b = 1,

求证: a ?

1 1 ? b ? ? 2; 2 2

6.若 a , b, c?R+,

求证: (a ? b ? c)(

1 1 1 9 ? ? )? a?b b?c c?a 2

不等式的证明(3)
教学目的: 1. 掌握分析法证明不等式; 2.理解分析法实质——执果索因; 3.提高证明不等式证法灵活性. 教学重点:分析法 教学难点:分析法实质的理解 教学过程: 一、复习引入: 1.重要不等式. 2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与 0 的关系——结论 比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与 1 的关系——结论 3.综合法证不等式:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等 式成立,这种证明方法通常叫做综合法. 用综合法证明不等式的逻辑关系是: A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B 综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式, 推出结论的一种证明方法。 二、讲解新课: 1.分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转 化为判定这些充分条件是否具备的问题。 2.用分析法证明不等式的逻辑关系是: B ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? A 3.分析法的思维特点是:执果索因。 4.分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真, 只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? ?? 这只需要证明命题 A 为真. 而已知 A 为真,故命题 B 必为真。 三、例题: 例 1 求证 3 ? 7 ? 2 5

例2 证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.

例3 已知 a,b,c 是正数,求证

b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? a 2b 2 ? abc. a?b?c

例4 若 a,b,c 是不全等的正数,求证 lg

a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c. 2 2 2

例5 若 a,b,c?R+,求证: 2(

a?b a?b?c 3 ? ab ) ? 3( ? abc ). 2 3

四、作业: 1.选择题 (1)若 logab 为整数,且 loga
1 >loga b logba2,那么下列四个结论中正确的个数是( b

) 。①

1 > b >a2 ②logab+logba=0 ③0<a<b<1 ④ab-1=0 b A.1 B.2 C.3 D.4 (2)设 x1 和 x2 是方程 x2+px+4=0 的两个不相等的实数根,则( ) A.|x1|>2 且|x2|>2 B.|x1+x2|>4 C.|x1+x2|<4 D.|x1|=4 且|x2|=1 + (3)若 x,y∈R ,且 x≠y,则下列四个数中最小的一个是( )

1 1 1 A. ( ? ) 2 x y

B.

1 x? y

C.

1 xy

D.

1 2( x ? y 2 )
2

(4)若 x>0,y>0,且 x ? y ≤a x ? y 成立,则 a 的最小值是( A.
2 2



B. 2

C.2

D.2 2

(5)已知 a,b∈R+,则下列各式中成立的是( ) 2 2 A.cos θ ·lga+sin θ ·lgb<lg(a+b) B.cos2θ ·lga+sin2θ ·lgb>lg(a+b) C.acos2θ ·bsin2θ =a+b D.acos2θ ·bsin2θ >a+b (6)设 a,b∈R+,且 ab-a-b≥1,则有( ) A.a+b≥2( 2 +1) B.a+b≤+1 C.a+b≥( 2 +1)2 D.a+b≤2( 2 +1)

2. 已知 a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 )

3.若 a,b>0,2c>a+b,求证:c- c 2 ? ab <a<c+ c 2 ? ab

不等式的证明(4)
教学目的:能较熟练地利用换元法解决某些不等式证明问题。 教学重点:三角换元和代数换元 教学难点: 三角换元 教学过程: 一、引入:换元法是 一种基本的数学方法,也是证明某些不等式的较常用的方法,用换元法 证明不等式主要有三角换元和代数换元. 二、讲解范例: 1 1 例 1 求证: ? ? x 1 ? x 2 ? 2 2
1 ,用综合法证明. 2 分析 2:用换元法, ∵ ? 1 ? x ? 1 ∴令 x = cos? , ??[0, ?]

分析 1:原命题等价于 | x 1 ? x 2 |?

例 2 已知 x > 0 , y > 0,2x + y = 1,求证:

1 1 ? ? 3? 2 2 x y

?1 1? 分析 1: “乘 1” , ? ? ? (2 x ? y) ? ? 用综合法证明. ?x y?
分析 2:用换元法. 由 x > 0 , y > 0,2x + y = 1,可设 x ?
1 2 sin ?, 2 y ? cos 2 ?

例 3 若 x 2 ? y 2 ? 1 ,求证: | x 2 ? 2xy ? y 2 |? 2 提示:设 x ? r sin ?,
y ? r cos?, (0 ? r ? 1) ,

例 4 若 x > 1,y > 1,求证: xy ? 1 ? ( x ? 1)( y ? 1) 提示:设 x ? sec 2 ?,
? y ? sec 2 ?, (0 ? ?, ? ? ) 2

例 5 已知:a > 1, b > 0 , a ? b = 1,求证: 0 ?

1? 1 ?? 1 ? ? a? ? ? b? ? ? ? ? ? ?1 a? a ?? b?

? 提示:∵a > 1, b > 0 , a ? b = 1 ∴不妨设 a ? sec 2 ?, b ? tan 2 ?, (0 ? ? ? ) 2 ? ? ? 小结:若 0≤x≤1,则可令 x = sin? ( 0 ? ? ? )或 x = sin2? ( ? ? ? ? )。 2 2 2

若 x 2 ? y 2 ? 1 ,则可令 x = cos? , y = sin? ( 0 ? ? ? 2? )。 若 x 2 ? y 2 ? 1 ,则可令 x = sec?, y = tan? ( 0 ? ? ? 2? )。
? )。 2 ? ? 若 x?R,则可令 x = tan? ( ? ? ? ? )。 2 2

若 x≥1,则可令 x = sec? ( 0 ? ? ?

例 6 证明:若 a > 0,则 a 2 ?

1 1 ? 2 ? a? ?2 2 a a

1 1 提示:设 x ? a ? , y ? a 2 ? 2 . a a

三、作业 1.若 a 2 ? b 2 ? 1 ,求证: a sin x ? b cos x ? 1

2.若|a| < 1,|b| <1,则 | ab ? (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) |? 1

3.若|x|≤1,求证: (1 ? x) n ? (1 ? x) n ? 2 n

4.求证: 0 ? 1 ? x ? x ? 1

5.已知|a|≤1,|b|≤1,求证: | a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 |? 1

不等式的证明(5)
教学目的: 要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式; 教学重点: 放缩法 教学难点:反证法 授课类型:新授课 教学过程: 一、 引入: 前面我们学习了几种不等式证明的基本方法. 有些不等式的证明直接利用不等式的性 质、重要不等式或不等式中的解析式进行变换难以得证,需要把不等式中某一边适当“放大” 或 “缩小” , 或者与某个中间量比较, 根据不等式的传递性达到证明的目的, 这种方法称为 “放 缩法”. 反证法是重要数学方法之一,也是不等式证明的一种方法. 下面我们共同探讨如何用放缩法和反证法证明不等式. 三、讲解范例: 例 1 若 a, b, c, d?R+,求证: a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

例 2 当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

例3

求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 1 2 3 n

提示:用放缩法,

1 1 1 1 ? ? ? 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

例4

设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

提示:用反证法.1

例5

已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0

提示:用反证法. 四、课后作业: 证明下列不等式: 1.设 x > 0, y > 0, a ?
x? y x y ? , b? ,求证:a < b 1? x ? y 1? x 1? y

2.lg9?lg11 < 1

3.若 a > b > c,



1 1 4 ? ? ?0 a?b b?c c?a

4.

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1 (n ? R ? , n ? 2) n n ?1 n ? 2 n

5.

1 1 1 1 ? ? ??? ?1 2 n ?1 n ? 2 2n

6.设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1

7.若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2 x y

不等式的证明(6)
教学目的: 要求学生逐步掌握利用函数与方程等数学思想法证明不等式。 教学重点:利用函数与方程思想法证明不等式。 教学难点:巧妙地构造函数或构造方程. 教学过程: 一、引入:函数与方程等数学思想是重要的数学思想,函数、方程、不等式有密切的联系; 通过构造函数或构造方程,利用函数的单调性等性质或简单的方程论可以有效地解决一些不 等式的证明问题. 二、讲解范例: 例 1 已知 x > 0,求证: x ?
1 ? x 1 x? 1 x ? 5 2

提示:构造函数 f (u ) ? u ?

1 1 , u ? x ? ? 2 ,判断 f (x)在 [2,??) 上单调性,问题便可得证. u x

若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则 2 2 2 2 2 2 2 例 2 (a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) an a1 a2 a3 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn 提示:对于任意实数 x,总有 (aix-bi)2≥0 (i=1,2,?,n),即 ai2x2-2aibix+bi2≥0 当 i=1,2,?,n 时,将上面 n 个不等式相加,有
2 2 2 2 (a12 ? a2 ??? an ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn )x ? (b12 ? b2 ? ?? bn ) ? 0. 2 2 由于 a12 ? a2 >0,且上面不等式是绝对不等式,因而判别式 Δ ≥0,不等式得证. ? ? ? an

说明:该不等式为著名的柯西不等式.

例 3 已知实数 a, b, c,满足 a + b + c = 0 和 abc = 2,求证:a, b, c 中至少有一个不小于 2。 提示:由题设显然 a, b, c 中必有一个正数,不妨设 a > 0, ? ?a ? ?b ? c 2 则? ,于是可以构造以 a,b 为两实数根的一元二次方程. bc ? ? a ?

1 sec 2 ? ? tan? ? ? 3 (? ? k? ? , k ? Z ) 例 4 求证: ? 2 3 sec ? ? tan? 2

提示:设 y ?

sec 2 ? ? tan? ,则(y ? 1)tan2? + (y + 1)tan? + (y ? 1) = 0 . 2 sec ? ? tan?

分当 y = 1 时,和当 y ? 1 时,关于 tgθ的方程有实数根的条件命题即可获证.

三、课后作业: 证明下列不等式: 1.
1 x2 ? x ?1 ? ?3 3 x2 ? x ?1

2.已知关于 x 的不等式(a2 ? 1)x2 ? (a ? 1)x ? 1 < 0 (a?R),对任意实数 x 恒成立,求证: 5 ? ? a ? 1。 3

1 ?? 1 ? 25 ? 3.若 x > 0, y > 0, x + y = 1,则 ? x ? ?? y? ? ? ? x ?? y? ? ? 4

4.若 0 ? a ?

1 1 (k ? 2, k ? N * ) ,且 a2 < a ? b,则 b ? k k ?1

5.求证:

x 2 ? 10 x ?9
2

?

10 . 3

不等式的证明(7)
教学内容:不等式证明综合练习 教学目的: 系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归” “类比” “换元”等数学思想方法。 重点难点:培养发散思维,一题多解的能力. 教学过程: 一、简述不等式证明的几种常用方法 比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 二、例题: 例一、已知 0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较 | loga (1 ? x) | 和| loga (1 ? x) | 的大小。 解一: | loga (1? x) |2 ? | loga (1 ? x) |2 ? ?loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)??loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)?
2 ?log a (1 ? x ) l o g a

∵0 < 1 ? x2 < 1,

1? x 1? x 1? x 0? ?1 1? x

∴ log a (1 ? x 2 ) log a

1? x ?0 1? x

∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | 解二:

loga (1 ? x) 1 1? x ? log1? x (1 ? x) ? ? log1? x (1 ? x) ? log1? x ? log1? x loga (1 ? x) 1? x 1? x2
2 ? 1? l o 1 g ? x (1 ? x )

∵0 < 1 ? x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ 1 ? log1? x (1 ? x 2 ) ? 1 解三:∵0 < x < 1,

∴ ? log1? x (1 ? x 2 ) ? 0

∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) |

∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2,

∴ loga (1 ? x) ? 0, loga (1 ? x) ? 0 ∴左 ? 右 = loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ∵0 < 1 ? x2 < 1, 且 0 < a < 1 ∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | 变题:若将 a 的取值范围改为 a > 0 且 a ? 1,其余条件不变。 例二、已知 x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd 证一: (分析法)∵a, b, c, d, x, y 都是正数 ∴ loga (1 ? x 2 ) ? 0

∴要证:xy≥ac + bd 只需证:(xy)2≥(ac + bd)2 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式,显然成立 ∴xy≥ac + bd 证二: (综合法)xy = a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ≥ a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ? (ac ? bd ) 2 ? ac ? bd 证三: (综合法)根据柯西不等式,
2 (a c? b d ) ? ( 2a ? 2b) ( 2c? 2

d) ,

? a, b, c, ? d ? a c ? b d? 即x y? a ? c

?

R
2

a ?2b ?

2

c ? 2d

b . d

证四: (三角代换法) ∵x2 = a2 + b2,∴不妨设 a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 例三、已知 x1, x2 均为正数,求证:
1 ? x1 ? 1 ? x 2 2
2 2

? x ? x2 ? ? 1? ? 1 ? ? 2 ?

2

证一: (分析法)由于不等式两边均为正数,平方后只须证:

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 1 ? x1 4
2 2

2

2

2

1 ? x2

2

x ? x2 ? 2 x1 x2 ? 1? 1 4

2

2

即: (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 1 ? x1 x 2 再平方: (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ? 2x1 x2 ? x1 x2
2 2 2 2 2 2

化简整理得: x1 ? x2 ? 2x1 x2 (显然成立) ∴原式成立 证二: (等价转化)由于 x1,x2 均为正数,原不等式等价于:

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 1 ? x1 4
? ( 1 ?x12 ) ( 1 ?x2 2

2

2

2

1 ? x2

2

? 1?

x1 ? x2 ? 2 x1 x2 4
2 )( ? x 1 2

2

2

2 ) ? 1 ? x1 x2 ? ( 1 ? x 1

? ?)

2 (? 1 x1 1 x2

) .

根据柯西不等式,原不等式成立.

证三: (反证法)假设
2

1 ? x1 ? 1 ? x 2 2
2

2

2

? x ? x2 ? ? 1? ? 1 ? ? 2 ?

2

化简可得: x1 ? x2 ? 2x1 x2

(不可能)

∴原式成立 三、作业:1.已知 a, b, c > 0, 且 a2 + b2 = c2,求证:an + bn < cn (n≥3, n?R*) 2.已知实数 a,b,c,d 满足 a2+b2=1,c2+d2=1,,求证:|ac+bd|≤1. 3.已知f ( x) ? 1 ? x2 , a 2 ? b2 .求证: | f (a) ? f (b) |?| a ? b | . 4.设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 n(n ? 2) . 5.已知 n ? N ? , 求证 2 ? 6 ? 12 ? ? ? n(n ? 1) ? 2 1 17 ? . 6.已知 a>0,b>0,a+b=1.求证: ab ? ab 4


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