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2015年秋新人教A版高中数学选修4-5:2.1《比较法》ppt课件


第二讲 证明不等式的基本方法 2. 1 比 较 法 栏 目 链 接 作差比较法证明不等式 (1)已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>a(b+1); (2)已知a,b是互不相等的正数,n>1,求证:an+bn> an-1b+abn-1. 分析:用作差比较法证明不等式,作差后要注意因式分 解或配方,以利于判断符号. 栏 目 链 接 证明:(1)∵a2+b2+1-a(b

+1)= [(a-b)2+(1-a)2+b2+1]>0, ∴a2+b2+1>a(b+1). (2)(an+bn)-(an-1b+abn-1)=(a-b)(an-1-bn-1). ∵a,b∈R+,n>1,n-1>0,a≠b, ∴当a>b时,an-1>bn-1, ∴a-b>0,an-1-bn-1>0, ∴(a-b)(an-1-bn-1)>0, 即an+bn>an-1b+abn-1. 栏 目 链 接 当a<b时,an-1<bn-1, ∴a-b<0,an-1-bn-1<0, ∴(a-b)(an-1-bn-1)>0, 即an+bn>an-1b+abn-1. 栏 目 链 接 因此总有an+bn>an-1b+abn-1. 点评:作差比较法的一般步骤为:作差→变形(因式分 解或配方)→判断符号→下结论,有时需要分类讨论. 设a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥. 分析:要证a+b+c≥,只要证(a+b+c)2≥3,然后再用差 比法. 证明:因为(a+b+c)2-3 栏 目 链 接 =(a+b+c)2-3(ab+bc+ca) =a2+b2+c2-ab-bc-ca =[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 所以(a+b+c)2≥3. 又a,b,c∈R+,a+b+c>0, 所以a+b+c≥. ?变式训练 1.已知正数a,b,c成等比数列, 求证:a2-b2+c2≥(a-b+c)2. 证明:由题意知 ac=b2,b>0, (a2-b2+c2)-(a-b+c)2= a2-b2+c2-a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-4b2+2bc=2b(a -2b+c)=2b( a- c)2≥0, ∴a2-b2+c2≥(a-b+c)2. 栏 目 链 接 2.已知a>0,b>0,求证:+≥+. a b 证明: + -( a+ b)= b a ( a)3+( b)3-( a+ b) ab = ab ( a+ b)( a- b)2 ab ∵a>0,b>0, ∴ a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0, ∴ 即 a b + -( a+ b)≥0, b a 栏 目 链 接 a b + ≥ a+ b. b a 作商比较法证明不等式 a+b 已知 a,b∈R ,求证:aabb≥(ab) 2 . + a-b b-a ?a?a-b aabb 证明: =a 2 ·b 2 =?b? 2 . ? ? a+b (ab) 2 ?a? 当 a=b 时,?b? 2 =1; ? ? 栏 目 链 接 a-b a-b a-b ?a? a 当 a>b 时, >1, >0,由指数函数的性质知?b? 2 >1, b 2 ? ? a-b ?a?a-b a 当 a<b 时,0< <1, <0,由指数函数的性质知?b? 2 >1. b 2 ? ? a+b ∴aabb≥(ab) 2 . 点评:使用作商法证明不等式 a>b 时,一定要注意 b>0 这个前 提条件,其一般的证明步骤为:①作商;②变形;③判断商与 1 的大 小;④下结论. 栏 目 链 接 ?变式训

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