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2013年高三数学复习必备资料:上海数学易错题


2011 年高三数学复习必备资料:2010 上海数学易错题

注意:以下内容一定要根据自己水平与时间选择性看看! 2010 届上海高三数学易错题集
? x -3 ? ? 0? ?x x x -2 ? 3 x ? 4 ? ,B= 1.A= ? ,则 A ? B=__________。

?

?

/>? x ?1 ? A ? ?x ? 0 , x ? R ? , B ? ?x x ? 1 ? 1 , x ? R ? x? 2 ? ? 2.已知全集 U=R, ,则 C R A ? B = ________

3.在 ? ABC 中, cos A ? 2 sin B sin C 是 ? ABC 为钝角三角形的___________________条件 4.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是_______________
2

5.如果 ?
2

3 ? 2x

?

21

= a 0 +a 1 x+a 2 x +?a 21 x

2

21

,那么(a 1 +a 3 +a 5 +?+a 21 ) -(a 0 +a 2 +a 4 +?

2

+a 20 ) =___________. 6.平行六面体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,设 AC 7.函数 y ? sin
4

1

= x AB +2y BC +3x C 1 C ,则 x+y+z 等于______.

x ? cos

4

x

的单调递增区间是___________________

8.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积是_______________
sin ? ? 2 5 ? , ? ? ? ? , 则 tan ? ? 5 2 _____________

9.已知

10.把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形,若矩形的一组邻边分别为 8 ? , 4 ? ,则该圆柱体的 体积是______________ 11. (理)市场上有一种“双色球”福利彩票,每注售价为 2 元。中奖概率为 6.71%,一注彩票的平 均奖金金额为 14.9 元。如果小王购买了 10 注彩票,那他的期望收益是_______元
tan x ? x 1 2

12.已知 1 ? tan

2

? x ? ? 0 , ? ??
,则 x 的值是___________________

2 ? ? 13.设二次函数 f x ? ax ? 2 ax ? 1 在 ? ? 3 , 2 ? 上有最大值 4,则实数 a 的值为________

14. (理)甲、 乙两人独立地解同一题目, 甲解决这个问题的概率是 p 1 , 乙解决这个问题的概率是 p 2 , 那么恰好有一人解决这个问题的概率是___________. 15. (理)设 ? 是一个离散型随机变量,其分布列如图表,则 q=__________

1

?

-1
1 2

0 1-2q

1

P

q

2

n? ? ? 1 ? n sin ? 2 ? 16.无穷数列 ? 2 的各项和_________

17.平面直角坐标系中,从六个点: A ( 0 , 0 ) B ( 2 , 0 ) C (1,1 ) D ( 0 , 2 ) E ( 2 , 2 ) F ( 3 , 3 ) 中任取三个,则这三 个点能构成三角形的概率是_____________(结果用分数表示)
? ? ? x ? ? 0, 2? ? ? ,不等式 p sin 18.对于任意

2

x ? cos

4

x ? 2 sin

2

x

恒成立,则实数 p 的取值范围

________________ 19.无穷等比数列

?a n ?

的前 n 项和为

S

n

,各项和为 S,且 n ? ?

lim ( S n ? 2 S )

=1.其首项 a 1 的取值范围

_________________

20.等比数列

?a n ?

的前 n 项和

S n? 3 ? b n ? N
n

?

?

? ,则

lim (
n? ?

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

) ?

________

21. 已知数列 都有
b n ? b8

?a n ?

是首项为 a, 公差为 1 的等差数列, 数列

?b n ?

bn ?

1 ? an an

满足

。 若对任意的 n ? N ,

?

成立。则实数 a 的取值范围______________

22.给出下列命题中
? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b (1)向量 a 、 b 满足 ,则 a 、 b 的夹角为 30 度;

(2) a ? b ? 0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件; (3)将函数
y ? x ?1 y ? x 的图像按向量 a ? ? ? 1, 0 ? 平移,得到图像对应的函数表达式为 ;(4)若
?

?

?

?

?

?A B ?

?

? ? ? AC ? AB ? AC ? 0

??

?

,则 ? ABC 为等腰三角形。

以上命题正确的序号是______________
x ?
2

y

2

?1

B 23.已知 A 、 依次是双曲线 E :
s in A ? s in B

3

C 的左、 右焦点, 是双曲线 E 右支上的一点, 则在 ? A B C

?

中,

s in C

_______________
1? x x
2 2

已 知 g ( x ) ? 1 ? 2 x , f [ g ( x )] ?

( x ? 0 ), 则 f (

1 2

) ? _______

24.

2

函 数 y= -cos x ?
2

1 2

cos x ?

1 2

的 最 大 值 为 ______,最 小 值 为 ______

25.

设 集 合 M ? ( x, y) x ? y
2

?

2

26.

? x ? ? 1, x ? R , y ? R , N ? ( x , y ) y ? ? 1, x ? R , y ? R ? , ? 2 ? ?

?

则 集 合 M ? N中 元 素 的 个 数 为 _________________
1? i 2
? ? ? ? ? ? 1 2 ? 的值为

当Z ? ?

时,Z

100

? Z

50

? 1的 值 等 于 __________

27.

28.已知函数

f

?x? ?

a rc s in ? 2 x ? 1 ?

f ( ?1 ? x ? 0 ) ,

?1

? x ? 表示其反函数,则

f

?1

________________ 29.在 ? A B C 中, A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a cos C , b cos B, c cos A 依顺序成等差数 列, B 的值为_______________
3
? ? ? ? ,? ? ? 2 ? 内 的 函 数 , 若 在 ?

30. 设

f

?x? 是 定 义 域 为
?

?

R

且 最 小 正 周 期 为 2

? ? cos x f ?x? ? ? ? s in x ?

?
2

? x ? 0

0 ? x ? ?

? 1 5? ? f ?? ? ? 4 ? ,则 ? ____________

? ? ? y ? s in ? 2 x ? ? 3 ? ? 31.函数 图像的对称轴方程可能是____________ (将下列符合要求的选项序号都填

上)
x ? ?

?
6 ;

x ? ?

?
12 ;

x ?

?
6 ;

x ?

?
12

(1)

(2)

(3)

(4)

f

?x?

32.已知函数 ________________
f

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? , ? ? 2 s in ? x ? ? s in ? x ? ? ? ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? ? ,其在区间 ? 1 2 2 ? 上的值域是

?x?

33.

? ? cos ? x ? ? ? f ? x ? 1? ? 1

? 4 ? ? 4 ? f ? ?? f ?? ? ? x ? 0 ? 3 ? ______________ ,则 ? 3 ?

x ? 0

34. ? 是第二象限角,且

s in ? ?

15 4

? ? ? s in ? ? ? ? 4 ? ?

,则 s in 2 ? ? c o s 2 ? ? 1
3

?

________________

b 35. ? A B C 中,a 、 、c 分别为 ? A 、? B 、? C 的对边。 如果 a 、b 、c 依次成等差数列,? B ? 3 0 ,
3

?

? A B C 的面积为 2 ,那么 b ? ______________

f

?x?

36.

? ? ? ?? ? ? a s in ? x ? ? x? ? ? 3 s in ? 4 ? ? ? 4 ? 是偶函数,则 a ? ______________
4 2

37.函数 y ? s in x ? s in x 的最小正周期是__________
f

?x?

38.

? s in ? ? x 2 ? ? ? x ?1 ?e ?

?

?1 ? x ? 0 x ? 0

,若
2 2

f ?1 ? ? f

?a? ?

2

,则 a 的值为_____________
2

39.点 P 从

? 1, 0 ?

出发,沿单位圆 x ? y ? 1 逆时针方向运动 3

?

弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为

_______________
4 cos ?
2

s in 2 ? ? ?

1 3 ,则

cot

?
2

? ta n

?
2

?

40.已知
f

_________________

?x?

41.

3 ? ? ? 2 s in ? 3 x ? ? ? 4 ? ? 有下列命题:

2

?

(1)其最小正周期为 3


3

(2)其图像由

y ? 2 s in 3 x

?

向左平移 4

个单位而得到;

?? ? ,? ?4 ? ? 上为单调递增函数。则其中真命题为____________ (3)在 ?

42.若

s in ? ? ? ?

?

?

1

3 ,且 ? 为第三象限角,则 c o s ? 2 ? ? ?

? ? _______________

? ? ? 4 x??? ,0? cos x ? ? 2 ?, 5 ,则 tan x ? ____________ 43.

44.

y ?

a rc c o s ? 2 x ? 1 ?

的值域是____________
y ?

45.

f

?x? ?

?

?

ta n ? x

( ? ?0 )的图像的相邻两支截直线

8 所得线段长 8 ,则

4

?? ? f ? ? ? ? 8 ? ___________

46. y ? 2 s in x ? s in 2 x 的最小正周期是_____________
2

47.球面上有 A , B , C 三点, A B ? A C ? 2 , ? B A C ? 9 0 ,球心到平面 A B C 的距离为 1,则球的 表面积为_________________ 48.已知对于任意实数 x ,函数
f (x)

?

满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ,若方程

f (x) ? 0

有且仅有 2009 个实

数解,则这 2009 个实数解之和为_______________ 49.袋中有 3 个白球,2 个红球和若干个黑球(球的大小均相同),从中任取 2 个球,设每取得一个黑
1

球得 0 分,每取得一个白球得 1 分,每取得一个红球得 2 分,已知得 0 分的概率为 6 ,则袋中黑球 的个数为________________.
? x ? 1 ? cos ? , (? ? R ) ? y ? sin ? 50.已知点 A ( ? 2 , 0 ), B ( 0 , 2 ) , C 是曲线 ? 上任意一点,则 ? ABC 的面积的最大

值等于____________. 51.已知函数 f ( x ) ? 2
x?3

,f

?1

(x)

是 f ( x ) 的反函数,若 m n ? 1 6 ( m , n ? R ),则 f
+

?1

(m ) ? f

?1

(n)

的值为____________.
2? ? ?x? ? x ? 的展开式的第 5 项是常数项,则此常数项为______________. 52.若二项式 ?
n

53.已知双曲线的两个焦点为
???? ???? ? | P F1 | ? | P F 2 | ? 2

F1 ( ?

5 ,0 )



F2 (

5 ,0 )

, P 是此双曲线上的一点,且

???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? 0



,则该双曲线的方程是______________.
x?[

?
4

54.已知函数 f ( x ) ? s in 2 x ?

3 cos 2 x, x ? R

设p:

,

?

] 2 ,q :| f ( x ) ? m |? 3 ,若 p 是 q 的

充分条件,则实数 m 的取值范围_________________. 55.

?a n ?
1 a1 ?

是无穷数列,已知
1 a2 ?? ? 1 an

an

x 是 二 项 式 ( 1? 2 ) n(? N
n

*

) 的展开式各项系数的和,记

Pn ?

,则 n ? ?

lim Pn ?

__________________.
3 , B ? 45? ,

56.有一道解三角形的问题,缺少一个条件.具体如下: “在 ? A B C 中,已知 a ?

5

________________, 求角 A 的大小. 经推断缺少的条件为三角形一边的长度, ” 且答案提示 A ? 6 0 , 试将所缺的条件补充完整. 57.六位身高全不相同的同学拍照留念,摄影师要求前后两排各三人,则后排每人均比前排同学高的 概率是_____________. 58.(理)某工厂的一位产品检验员在检验产品时,可能把正品错误地检验为次品,同样也会把次品错 误地检验为正品.已知他把正品检验为次品的概率是 0 .0 2 , 把次品检验为正品的概率为 0 .0 1 .现有 3 件 正 品 和 1 件 次 品 , 则 该 检 验 员 将 这 4 件 产 品 全 部 检 验 正 确 的 概 率 是 _____________(结果保留三位小数). (文)抛掷一枚均匀的骰子,则事件“出现的点数大于 4 ”的概率是________________. 59.已知关于 x 的不等式组 1 ? k x ? 2 x ? k ? 2 有唯一实数解,则实数 k 的取值集合是
2

?

__________.
0 -1 2 1 3 60.若用样本数据 1、 、 、 、、 来估计总体的标准差,则总体的标准差点估计值是_____.
1

61.函数 y ? f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时,
f (x) ?

f (x) ? x3 ? 2

x

?1

,则函数的解析式

________________.(结果用分段函数表示)
2 2

2 2 62.若 a 、 b ? R , 且 4 ? a ? b ? 9 , 则 a ? a b ? b 的最大值与最小值之和是_________.

O 63.若取地球的半径为 6 3 7 1 米,球面上两点 A 位于东经 1 2 1 2 7 ',北纬 3 1 8 ', B 位于东经

O

O 121 27 ' ,北纬 2 5 5 ' ,则 A、 B 两点的球面距离为________千米(结果精确到 1 千米).

O

2 2 x ? D [ f ( ? x 0 )] ? [ f ( x 0 )] 64.若 y ? f ( x ) 为定义在 D 上的函数,则“存在 0 ,使得 ”是“函数

y ? f (x)

为非奇非偶函数”的_____________条件.

] 65. 已 知 函 数 y ? f ( x ) 既 为 偶 函 数 , 又 是 以 6 为 周 期 的 周 期 函 数 , 若 当 x ? [ 0 , 3 时 ,

f ( x )? ? x

2

? 2 x ? 4,

则当 x ? [ 3 , 6 ] 时, f ( x ) ? _________________.

66. 记

a1a 2a 3 ? a n

a , a ,? , a n 为 一 个 n 位 正 整 数 , 其 中 1 2 都 是 正 整 数 ,

1 ? a1 ? 9 , 0 ? a i ? 9( i ? 2 , 3 ,? , n )
k (1 ? k ? n )
a ? ak

.若对任意的正整数 j (1 ? j ? n ) ,至少存在另一个正整数

,使得

j

,则称这个数为“ n 位重复数”.根据上述定义, “五位重复数”的个数
6

为_______________. 67. 不 等 式 ( x - 1 ) x ? 2 ? 0的 解 集 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 68.
集 合 A= x x ? 4 , x ? R , 集 合 B ?

?

?

?x

x ? 3 ? a, x ? R , A ? B,

?

则 实 数 a的 取 值

范 围 是 ____________
( x-3) x ? 4 不等式 ? 0的 解 集 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 x ? 2x ? 2 69.

70.

函数y ? a ?

x ? a ( x ? a )的 反 函 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 2

71. 关 于 x 的 不 等 式 ( a ? 1) x ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 的 解 集 是 R ,则 实 数 a 的 取 值 范 围是___
设 f ( x ) ? lg (1 0 ? 1) ? a x 是 偶 函 数 , g ( x ) =
x

4 ?b
x

72.
1 2

2

x

是奇函数,

那么 a ? b 的是_______ 取值范围是________

73. 74.

若 函 数 f ( x )= ( x ? a x ? 4 ) 4 的 值 域 是 ? 0, + ? ? , 则 实 数 a 的
2

若 函 数 f ( x ) ? lg ( x - 2 x ) 在 ? a , a + 1 ? 上 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _

若 实 数 a 满 足 a ? 2 a ? 3 ? 0 , 则 lim
2

3

n ?1 n

? a
n

n

75. 76.

n? ?

3 ? a

? __________

点 P - 4 m , 3 m ) ( m ? R ) 是 角 ? 终 边 上 一 点 , 则 2 s in ? ? c o s ? ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (
2 2

7 7 . 若 经 过 点 P ( ? 2 , 5 )的 直 线 与 圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 相 切 , 则 此 直 线 的 方 程 是 __________________
x 78. 已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数, x ? ? 0 ,1 ? 时,f ( x ) ? x ,若关于 的方程 f ( x ) ? k x ? k ? 1 当

在 ? ? 1, 3 ? 内恰有四个不同的根,则 k 的取值范围是__________ 79. 已知 ? , ? 为复数,给出下列四个命题: ①若 ?
2

? R ,则 ? ? R 或 ? 是纯虚数; ②若 ? ? ? ,则 ? ? ? ? 或 ? ? ? i ;

? ? ? ③若 ? ? ? ? R ,则 ? ? ? ? R 或 ;④若 ? ? ? ? 0 ,且 ? ? ? ? 0 ,则 ? ? 0 且 ? ? 0

上述命题中假命题的个数是__________
8 0 . 不 等 式 (1- m ) ? (1 ? m )
2

x ? 0 对 一 切 x ? ? 0 ,1 ? 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

81. 命

? 题: “如果 a、 b、 c、 R 且 a c < 0, 那 么 方 程 a x ? b x ? c ? 0 有两个不相等的实数根”的逆否命题
2

7

是____________________________ 82.“ x < 1 且 y < 1 ”是“ x ? y < 2 ”的_______________ 83.已知等比数列

?an ? 中 , a5

? a 1 ? 1 5, a 4 ? a 2 ? 6



a3 ?

_____________

84.函数 y ? tan x ? co t x 的最小正周期数为______________ 85.过 A(0,3)的被圆 ( x ? 1) ? y ? 4 截得弦长为 2 3 的直线方程是_________________
2 2

86.若函数 f ( x ) 的反函数为 f ( x ) ? 3 ? 1( x ? 0 ) , 则 f ( x ) ? ____________
x

87.若函数 f ( x ) ? a x ? ( 3 a ? 1) x ? a 在 x ? (1, ? ? ) 上 递增,则实数 a 的取值范围是_______
2

88.设 n ? N , n > 1 9 , 则 n ( n ? 1) ?? ( n ? 1 9 ) 用排列符号表示为______________
*

? ? ? 0,

? ?

? ?

89.设

sin ? cos ? ? ? 2 ? sin ? 的最小值是__________ ,则 cos ?
3 3

x

2

90.已知 P ? x , y ? 是椭圆 25
tan x ? ? x 1

?

y

2

?1

16

上的一个动点,则 x ? y 的最大值是_________

91.已知 1 ? tan

2

2 ( x ? ?0 , ? ? ) ,则 x 的值是__________

n? ? ? 1 ? n cos ? 2 ? 92.无穷数列 ? 2 的各项和为__________
x 93.若关于 x 的方程 2 ? a ? 1 ? 0 在 ? ? ? ,1 ? 上有解,则实数 a 的取值范围是___________

94.某债券市场常年发行三种债券,A 种面值 1000 元,一年到期本息和为 1040 元,B 种面值 1000 元 ,但买入价为 960 元,一年到期本息和为 1000 元,C 种面值 1000 元,半年到期本息和为 1020 元, 设这三种债券的年收益率分别为 a , b , c ,则 a , b , c 的大小关系是__________
f (x) ? x ? a x 在区间 ? 0 , 2 ? 上的最小值为_____________.
2

95.已知 a ? 0 ,则函数 96.若点 M
(x0 , y0 )

是圆 x ? y
2

2

? r

内异于圆心的点,则直线

x0 x ? y0 y ? r

2

与该圆的位置关系是

___________
f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?1

97.若函数 值范围是____________

能使不等式

f (x) ? a ? 2

(0,

2

在区

) 3 上恒成立,则实数 m 的取

8

(1 ? a ) x ? 2 a , x ? 1

98.已知 f ( x ) ? _________ 99.已知数列 100.集合

lg x , x ? 1

是 ? ? ? , ?? ? 上的增函数,则 a 的取值范围是

?a n ?

n ?a ? a ? 2an ? 2 满足 a 1 ? 2 , n ? 1 ,则 n 的通项公式为____________

A ?

?x

x ? 4, x ? R , x x ? 3 ? a , x ? R , 且 A ? B ,

??

?

则实数 a 的取值范围是

______________
a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 c 1 c ? a A ?bB ?c1C 2 1 1 1 1 1 c 3
n

101.若

a 3

,则

B

1

=___________________。

102.已知在 ( x ? y) 的二项式展开式中,奇数项系数之和等于 1024,则展开式中与第 k 项系数相 等的项是第___________项。

103. 若首项为

a1

?a ? ,公比为 q ( q ? 1) 的等比数列 n 满足

lim (
n? ?

a1

2

a1 ? a 2

?q ) ?
n

3 2

,则

a1

的取值范围是

______________________ 104.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚好想的数字,把乙想 的数字记为 b,且 a , b ? {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ,若 | a ? b |? 1 ,则称“甲乙心有灵犀” ,现任意找出两个人 玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为_______________. 105.抛物线 x ? a y 的准线方程是 x ? 2 ,则 a 的值为__________________.
2

106.已知 ?ABC 中, b ? 2 , c ? 107.交于点 A ( 2 , 3 ) 的四条直线

3 ,三角形面积

S ?

3

_ 2 ,则 ?A ? __________ .

l1 , l 2 , l 3 , l 4

它们的倾斜角之比依次为 1 : 2 : 3 : 4 ,
开始

3



l2

的 斜 率 为

4

, 则 四 条 直 线 的 方 程 为

输入 p
n ? 0, S ? 0

_________________________________________ 108.执行右边的程序框图,若
y ? log
1 2

p ? 4

,则输出的 S ? _________。

n ? p



(sin 2 x ? cos 2 x )



109.函数 110.设向量

的递减区间是________________________ ,
? b ? ( ? , ? 1)

? a ? ( ? 2 , 1)

, ,若

? ? a,b

n ? n ?1
1 2
n

输出 S 结束

的夹角为钝角,则 ? 的取值范

S ? S ?

围为_________________

9

111.若圆锥的侧面积为 2 0 ? ,且母线与底面所成的角为

a rc c o s

4 5 ,则该圆锥的体积为_____

112.已知两点 M(—5,0)和 N(5,0) ,若直线上存在点 P 使|PM|—|PN|=6,则称该直线为“B 型 直线” 。给出下列直线:① y ? x ? 1 ;② y ? 2 ;③ ;④ y ? 2 x ? 1 . 其中为“B 型直线”的 , 是___________________(填上所有正确的序号) 。 4 2 2 x ,x , , 113.已知 f ( x ) ? | x ? 1 | ? x ? kx ,若关于 x 的方程 f ( x ) ? 0 在 ( 0 , 2 ) 上 有 两 个 解 1 2 6
3 y ? 4 x

2 1 , x f (x) ? x 3 ? 2 ? 1 4 114. 函数 y ? f ( x ) 是定义域为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, ,则函数的解析式 , f (x) =__________________ 6 115.对于函数
fx x 2 使 x ? M ( = +, ) x 在 f( ) 得
2
m 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值 Max =- 1叫

则 k 的取值范围是_____________________

a

2

+ b

2 2



f( )=x + x x 2

2

的下确界,则对于

a ?R a , b , 且 , b

不 全 为 0,

(a + b )

的下确界是

____________________ 116.已知
S
n

是等差数列

{ n} n?N ) a (

?

的前 n 项和,且

S ?S ?S 6 7 5

,有下列四个命题:

S ? 0 S ? 0 S ? 0 ⑴ d ? 0 ;⑵ 1 1 ;⑶ 1 2 ;⑷ 1 3 .其中正确命题的序号是_________

117.设函数 y ? f ( x ) 存在反函数 y ? f
y ? f
?1

?1

(x)

,且函数 y ? x ? f ( x ) 的图象过点(1,2).则函数

(x) ? x

的图象一定过点___________________. 的解为_____________________

118.方程

lo g 2 ( x ? 1) ? 2 ? lo g 2 ( x ? 1)

cos ? ? ?

1 2 且 ? ? ? ? ? ? 的角 ? 的集合 _____________
Sn ? 3n
2

119.满足条件 120.已知数列{
an

}的前 n 项和为
b
2

? 2n ? 1

,则通项公式

an

=_______

a ? 0, b ? 0,

? a

2

?1

121.设

2
2 2

,则 a 1 ? b 的最大值为_______________
2

122.设实数 a,b,x,y 满足 a +b =1,x +y =3, 则 ax+by 的取值范围为__________. 123.不等式 ( x ? 2 ) x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是_________________
2

2

2

124.若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是______________
10

2

2

x ? ax 125.若对任意 x ? R ,不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________

126.已知 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是________ 127.函数 y=|x —1|+1 的图象与函数 y=2 的图象交点的个数为__________ 128.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面 面积是_______________
1 ? 1 b 成立的一个充分非必要条件是_______________
? bx ? c 中,若
2 x

129.若 a, b∈R,那么 a 130.在函数 f ( x ) ? ax 为_______
2

a、b、c 成等比数列且 f ( 0 ) ? ? 4 ,则 f(x)有最____值且

131.设 { a n } 是公比为 q 的等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 { S n } 是等差数列,则 q=______
x
2

?

y

2

?1

132.椭圆 9

4

的焦点为 F 1 、 F 2 ,点 P 为其上的动点,当 ? F 1 PF 2 为钝角时,点 P 横坐标的

取值范围是_____________
f (x) ? x
2 2

133.已知函数 134.设
{a n }

1? x

f (1 ) ? f ( 2 ) ? f (

1

,那么
2

1 1 ) ? f (3) ? f ( ) ? f ( 4 ) ? f ( ) 2 3 4
2 n

=____

是首项为 1 的正项数列,且
an ?

( n ? 1 ) a n ? 1 ? na

? a n ?1 a n ? 0

(n=1,2,3,??) ,则它

的通项公式是

__________

135.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。{ a n } 是公比为 q 的无穷等比数列, 下列可作为数列的“基本量”有_________(填上你认为正确的所有组的序号) (1) S 1 与 S 2 ; (2) 和)
? 136.若函数 f ( x ) ? a | x ? b | ? 2 在 [ 0, ? ) 上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是_________
a 2与 S 3

; (3)

a 1与 a n

; (4)q 与

an

(n 为大于 1 的整数,

Sn



{a n }

的前 n 项

137.设复数 z ? x ? yi , ( x , y ? R 且 x ? y ) ,若 ________________________.

P ?

z ? z
2

2

,Q ? z ? z

2i

,则: P 与 Q 的大小关系为

138.方程 x ? 5 | x | ? 6 ? 0 在复数集内根的个数是_____________
2

139.设数集 N ? {1, 2 , 3 ,? ? ?, n }, N 的子集中各有 4 个元素的子集个数为 m ,这 m 个集合中所有元素
11

1

之和为 12 140.如果

P100

5

,则:自然数 n 的值为_______________
18

( 5 ? 2 x)

? a 0 ? a1 x ? a 2 x
2

2

? ...... ? a 18 x
2

18

,那么

( a 1 ? a 3 ? ...... ? a 17 )
n

? ( a 0 ? a 2 ? ...... ? a 18 )

?

__________
1 k
2

n

141.若定义
Z

?
i ?1

a i ? a 1 ? a 2 ? a 3 ...... a n

lim

,则
1? i 2 )
n

n? ?

?
k?2

(1 ?

) ?

______________.

142.复数

n

? (

,则: n ? ?

lim (| z 1 ? z 2 | ? | z 2 ? z 3 | ? | z 3 ? z 4 | ? ...... ? | z n ? z n ? 1 |)

=________________.
1 ? sin( 3? 2 ? x)

5?

? x ? 3?

143.已知 2

,化简

2

的结果为____________.

144.若 f (sin x ) ? 3 ? cos 2 x ,则 f (cos x ) ? _________________ .
a ? b ? c

145.在 ? ABC 中,

? A ? 60 ? , b ? 1, S ? ABC ?

3

,则 sin A ? sin B ? sin C 的值是__________.
3 , cos ? ?

146. ? 、

?

cos ? ?

1 7

, sin( ? ? ? ) ?

5 14

为锐角

______________.

147.不等式 (| 3 x ? 1 | ? 1 )(sin x ? 2 ) ? 0 的解为_____________. 148.正方体 AC,棱长为 1,过点 A 作面 A’BD 垂 为 H,有下列四个命题 A. H 是△A’BD 的垂心; B.AH 垂直面 CB’D’; C.二面角 C-B’D’-C’,正切值为 2 ;
3
A' D' A D

线, 重足

B H

C

D.点 A 到面 A’B’C’D’距离为 4 ; 其中真命题代号为__________. 149.球面上三点 A、B、C 在球的同一个截面上 AB=18,BC=24,AC=30,且球心到此截面距离为球面 半径的一半, 则球面面积为_________, 球面上 A、 C 两 E D 点距离____________. 150.正六边形 ABCDEF 有下列四个问题。 ① AC ? AF ? 2 BC
B' C'

F
12

C

A

B

② AC ? 2 AB ? 2 AF ③ AC ? AD ? AD ? AB ④ ( AD ? AF ) EF ? AD ( AF ? EF ) 其中正确题号是______________ 151.给出下列命题中: ① 非零向量 a ? b 满足 | a | ? | b |? | a ? b | ,则 a 与 a ? b 夹角为 30 ? ② 非零向量 a ? b , a ? b >0 是 a 、 b 夹角为锐角的充要条件 ③ 把 y ? | x ? 1 | 图象按 a ? ( ? 1, 0 ) 平移得到图象的对立函数表达式为 y ? | x | ④ 若 ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? 0 ,则 ? ABC 为等腰三角形 其中正确命题是________________ 152.已知圆 C 圆心与点 P ( ? 2 ,1 ) 关于直线 y ? x ? 1 对称,直线 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆交于 AB 两点, 且|AB|=6,则圆 C 方程为_________________
x
2

2 153 . F 1 、 F 2 为 双 曲 线 a

?

y b

2 2

?1

的 左 、 右 焦 点 , P 在 双 曲 线 上 , 且 PF 1 ? PF

2

? 0

,则

ten ? PF 1 F 2 ?

1 2 ,则此双曲线焦距与实轴长比为_______________

154.已知 f(x)=2x-1,则 f(x+1)的反函数为______________ 155. 函 数 y ? s in 2 x ?
3 c o s 2 x, x ? [ 0 , ? ] 的 单 调 递 增 区 间 是

___________________

156.函数 y=cos2x-2sinxcosx 递减区间为_________ 157.函数 y=lg(-x-1)按 a 平移后得 y=(-x),则 a =______________ 158.已知函数 f(x)=ab +c(a,b,c 为常数)的定义域为[0,+∞) ,值域为[-2,3) ,则函数 f(x) 的一个可能的解析式是______________ 159.(变式训练)已知函数 f(x)=ab +c(a,b,c 为常数)的定义域为(-∞,0],值域为(-2,3], 则函数 f(x)的一个可能的解析式是______________ 160.下列命题: (1) f ( x ) ? sin x ? cos x 既不是奇函数,也不是偶函数 (2)x 是第一象限的角, y ? cos x 为减函数
x x

?

?

13

(3)A 是 ? ABC 的内角, y ? sin A ? cos A 有最大值 2 ,最小值不存在 (4)函数
f ( x ) ? sin x ? cos x

的最小正周期是 2 ? 。

其中,真命题的序号是__________________ 161. 若函数 y ? ? 1 ? x 的反函数为 y ? ? 1 ? x ,则原函数的定义域是___________
2 2
2 162. 若函数 y ? x ( 2 a ? x )( 其中 0 ? x ? 2 ) 有最大值 a ,则 a 的取值范围是__________

163.一条直线 l 经过点 P (1, 2 ) ,且与两点 A ( 2 , 3 ) 、 B ( 4 , ? 5 ) 的距离相等,则直线 l 的方程是 ______________________ 164.已知 A =
2

{x |
2

x + tx + 1 = 0} ,若 A∩R = ? ,则实数 t 集合 T =_________
2 * 2

165.不等式 m -(m -3m)i< (m -4m + 3)i + 10 成立的实数 m 的取值集合是__________

?log 2(x+2) ? x 166.已知函数 f (x)= ? ?x-1 ?

x>0 x≤0 , f (x)的反函数 f
-1

(x)=______________

1 2 x 167.若不等式 x -loga <0 在(0, 2 )内恒成立,则实数 a 的取值范围是______________ 168.若 x≥0,y≥0 且 x+2y=1,那么 2x+3y 的最小值为__________ 4 2 169.已知 x ≠ k? (k ? Z),函数 y = sin x + sin2x 的最小值是___________ 170.设等比数列
171.求过点
2

?a n ?

的全 n 项和为

S

n

.若
y
2

S3 ? S6 ? 2S9 ? 2x

,则数列的公比 q =_________

( 0 ,1 )

的直线,使它与抛物线

仅有一个交点___________________

b ( 172.设 平面 向量 a ? ( ? 2 ,1), ? ( ? , ? 1),? ? R ) , 若 a 与 b 的 夹角 为钝 角, 则 ? 的 取值 范围 是

______________ 173.不等式 ( x ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是______________ 174.正三角形 ABC 的边长为 1,设 AB ? a , BC ? b , AC ? c ,那么 a ? b ? b ? c ? c ? a 的值是 _____________ 175.下图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),计算它的体积 (结果精确到 1 cm ) 等于 ________________cm .
3 3

4 8 4 正视图 侧视图 14 俯视图

176.某几何体的一条棱长为 7 , 在该几何体的正视图和俯视图中, 这条棱的投影是长为 线段,在该几何体的侧视图中,这条棱的投影长为____________
b -2

6



2



177.实系数一元二次方程习 x +ax+2b=0 的一根在(0,1)上,另一根在(1,2)上,则 a -1 的取值范围为 ______________ 178.给出下列命题: ①角 ? 一定是直线 y ? x tan ? ? m 的倾斜角; ②点 ( a , b ) 关于直线 x ? 1 的对称点的坐标是 ( 2 ? a , b ) ; ③与两坐标轴距离相等的点的轨迹是
2 2

2

y ? x



④直线 Ax ? By ? 0 与圆 x ? y ? Ax ? By ? 0 相切; ⑤到两定点 F 1 , F 2 距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。 其中假命题的序号是_______ (填上所有假命题的序号) 179. " x 2 x ? 3 ? x " 是 " 2 x ? 3 ? x " 的 _______________条件。
2 2

180. 若不等式 f ( x ) ? 0 的解集是[-1,2],不等式 g ( x ) ? 0 的解集为空集,且 f ( x ) , g ( x ) 的定义域
f (x) ? 0 的解为

为 R,则不等式
若 s in ? ? 3 5

g (x)

_______________
4 5 , 则 2? 终 边 所 在 的 象 限 是

, cos ? ? ?

181. 182. 已知向量

______________ _____

? a ? (k

2

? ? ? ? ? ? ? ? k ? 3 ) i ? (1 ? k ) j , b ? ? 3 i ? ( k ? 1) j , 若 a //b . 则 实 数 k ?
2 2

183. 经过点 A(-2,0)且与圆 x ? y 184. 若过点 P(
2

? 16

相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________

? 1, ?

3

)的直线 l 与 y 轴的正半轴没有公共点,则 l 的倾斜角的范围是_____
2

185.方程 3x -6(m-1)x+m +1=0 两根均是虚数且两根的模之和为 2,则实数 m= ______
0 ? 186. 60 的二面角 ? ? l ? ? ,异面直线 a , b 有 a ? 平面 , b ? 平面 ? 则 a , b 所成角的大小为

_______________ 187. 三个人坐在一排 8 个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 ______ 188. 若直线 Ax+By=0 系数从 0,1,2,3,5,7 六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 为 _______
lim ( 1 n
2

189.

n? ?

?

4 n
2

?

7 n
2

? ... ?

3n ? 2 n
2

) ?

_________
15

a 2 ? a1

190. 已知数列—1,a1,a2 ,—4 成等差数列,—1,b1,b2,b3,—4 成等比数列,则 ___________ 191. 数列

b2

的值为

?a n ?

的前 n 项和为 s n =n +2n-1,则

2

a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 25 ? ________

.

192.已知等比数列{

an

lim (

a1 1? q

}的首项为 a 1 ,公比为 q,且有

n? ?

? q ) ?
n

1 2

,则首项 a 1 的取值范围

是_______________ 193. 已知数列

? a n ? 中, a 1

? 3, a 2 ? 6 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ,



a 2003

等于______________

194. 已知函数 f ? x ? 的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f ? x ? 2 ? 的定义域是_______和值域 是_____________
f ? x ? ? log
1 a

?2 ? x ?
在其定义域上单调递减,则函数

195. 已知函数 间是__________________

g ? x ? ? log

a

?1 ?

x

2

? 的单调减区

196. 函数 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数,满足 f ? 3 ? x ? ? f ? 3 ? x ? ,当 x ∈(0,3)时
f ?x ? ? 2
x

,则当 x ∈( ? 6 , ? 3 )时, f ? x ? =___________
x
2

197. 函数 f ? x ? ?

?1

( x <-1)的反函数是________
a

x ? log 198. 已 知 a > 1 , m > p > 0 , 若 方 程

x ? m

x 的解是 p ,则方程 x ? a ? m 的解是

__________________ 199.直线 l 经过点 P(1,1) ,且与圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 4 ? 0 相切,则直线
2 2

l 的方程是

______________________________

?a n ?是首项为
200. 已 知 数 列
*

a , 公差为 1的等差数列,数列

?b n ?满足

bn ?

1 ? an an

,

若对于任意的

n ? N , 都有 b n ? b 8 成立,则实数

a 的取值范围是

___________________

201.请写出方程 lg(x+y)=lgx.lgy 的一组解为 x=________,y=__________.
? 202.函数 f(x)=ax|x-b|在区间[ 0, ? )上是增函数的充要条件是_____________.

203.若在由正整数构成的无穷数列 k,该数列中恰有 k 个 k,则
a 2008

?a n ?

中,对任意的正整数 n,都有

a n ? a n ?1

,且对任意的正整数

=_____________.

204. ? A B C 的 内 角 A 满 足 s in A ? c o s A ? 0 , ta n A ? s in A ? 0 , 则 角 A的 大 小 取 值 范 围 是 ______________.
16

205.若 ? A B C 的三个内角的正弦值分别等于 ? A ? B ?C ? 的三个内角的余弦值,则 ? A B C 的三个内角 从大到小依次可以为_______________________(写出满足题设的一组解) 206.直线 x + 4 y + 1 = 0 的倾斜角为_____________。
? 2x, x ? 0 ? f (x) ? ? ? (3 ? a ) x ? a , x ? 0 ?

207. 若函数 知

在 R 上单调递增, 则实数 a 取值范围是______
M ( a )?

208. 已

f ( x ) ? x ? a , x ? [ 0 ,1], a ? [ 0 , 2 ], 则 f ( x )的最大值
lg ? 1 ? x
2

____________ 。 209 . 判 断 函 数

f (x) ?

?
的奇偶性。____________
? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? ? y ? 2 s in ? , ?
2

x? 2 ? 2

210.将参数方程

( ? 为参数, ? ? R )化为普通方程,所得方程是______
?
2
2? ? ? ? 0, ? f (x) ? m ? 2 3 ? 能使得不等式 在区间 ? 上

f ( x) ? 2 sin x ? 2
2

3 s i nx s i n ( ? x

)

211.若函数 恒成立,则 m 实数的取值范围是__________ 212.若对满足条件 _______________
对 于 任 意 x ? (0,

x ?
2

? y ? 1?

2

?1

的 x , y ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则实数 c 的取值范围是

?
2

], 不 等 式 p s in

2

x ? c o s x ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 p的 最 小 值 为
4

213. ___________________

214. 通 过 研 究 方 程 2 x ? ? 1 0 x ? 2 x ? 1 在 实 数 范 围 内 的 解 的 个 数 , 进 一 步 研 究 可 得 函 数
4 2

g ( x) ? 2 x

2n? 1

? 1 0x ? 2x ? ? 1 n ? 2 ,n ? ?N
2

在实数范围内的零点个数为______________

215.若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,现给出下列 三个函数: (1)
f (x) ? 3
x

f2 ( x) ? 4 ? 3

x

; (2)

f1 ( x ) ? 6

x

;(3)

f 3 ( x ) ? ? lo g 8 5 ? ? 6 ? ? lo g 5 2 ?
x

;则其中与函数

“同形”的函数序号是______________

216.若对 于任 意 x∈R,都有 (m- 2)x2 - 2(m-2)x- 4<0 恒成立, 则实数 m 的 取 值范围 是 __________________ 217. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB | AB | ? AC | AC | ), ? ? [ 0 , ?? )

,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( (D)垂心

)

(A)外心

(B)内心

(C)重心

17

(-1+i)(2+i) 3 218.i 是虚数单位, 的虚部为( i (A) -1 219. (B) -i (C) -3

) (D) -3 i ( )

设 数 列 ? a n ? 是 等 差 数 列 , 且 a 2 ? ? 6, a8 ? 6, S n是 数 列 ? a n ?的 前 n项 和 , 则
B .S 4 ? S 5 C .S 6 ? S 5 D .S 6 ? S 5

A .S 4 ? S 5

220. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ), 且 f ( x ) 在 [ ? 3 , ? 2 ] 上是减函数,又α 、β 是 锐角三角形的两个内角,则( A. f (sin ? ) ? f (sin ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? ) 221.组合数
r ?1
C n ( n ? r ? 1, n , r ? Z )
r

) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? ) 恒等于 ( )
n C n ?1
r ?1

A. n ? 1

C n ?1

r ?1

B.

( n ? 1 )( r ? 1 ) C n ? 1

r ?1

C.

nrC

r ?1 n ?1

D. r

2 222.已知点 P ( x , y ) 是直线 k x ? y ? 4 ? 0 ( k ? 0 ) 上一动点, P A , P B 是圆 C : x

? y

2

? 2y ? 0

的两

条切线, A , B 是切点,若四边形 P A C B ( C 为圆心)面积的最小值为 2,则 k 的值为(
21

)

( A)

3

(B)

2

(C ) 2 2

(D )

2

223.给出下面四个命题:①“直线 a , b 为异面直线”的充分非必要条件是:直线 a , b 不相交;②“直 线 l 垂直于平面 ? 内所有直线”的充要条件是: l ? ? ;③“直线 a ? b ”的充分非必要条件是“ a 垂直于 b 在平面 ? 内的射影” ;④“直线 ? ∥平面 ? ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平 面 ? 内的一条直线” .其中正确命题的个数是(
( A)

)

1个

(B)

2个

(C )

3个

(D )

4个

?mx ? y ? m ? 1 ? x ? my ? 2m 224.当 m ? ? 1 时,关于 x , y 的方程组 ? 有(
( A)

)
(D )

唯一解

(B)

无解或无穷多解

(C )

唯一解或无穷多解

唯一解或无解.
y ? 3 lo g a x

225.已知正方形 A B C D 的面积为 3 6 , B C 平行于 x 轴,顶点 A 、 B 和 C 分别在函数
y ? 2 lo g a x





y ? lo g a x

(其中 a ? 1 )的图像上,则实数 a 的值为 (
18

)

( A)

3 ;

(B)

6 ;

(C )

6

3 ;

(D )

3

6 .

226.已知两点 M ( ? 5 , 0 ) 和 N ( 5 , 0 ) ,若直线上存在点 P ,使 | PM | ? | PN | ?6 ,则称该直线为“ B
y ? 4 3

型直线”.给出下列直线:① y ? x ? 1 ;② y ? 2 ;③ 线”的是( A.①② ) B.①③ C.①④

x

;④ y ? 2 x ? 1 ,其中为“ B 型直

D.③④ )

227.已知关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? 3 ? x ? m 的解集为非空集合,则实数 m 的取值范围是( A. m ? 1 B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1

2010 高考数学易错题解题方法 15 例
一.选择题 2 【范例 1】已知集合 A={x|x=2n—l,n∈Z},B={x|x 一 4x<0},则 A∩B=( A. {1} B. { x 1 ? x ? 4 } C. ?1 , 3 ? D.{1,2,3,4}



答案:C 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对集合元素的误解。 【解题指导】集合 A 表示奇数集,集合 B={1,2,3,4}.
19

【练习 1】已知集合 A ? ?( x , y ) y ? sin x ? ,集合 B ? ?( x , y ) y ? tan x ? ,则 A ? B ? ( A.



?( 0 , 0 ) ?

B.

?( ? , 0 ), ( 0 , 0 ) ?

C. ?( k ? , 0 ) ? )

D. ?

【范例2】若A、B均是非空集合,则A∩B≠φ 是A ? B的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案:B 【错解分析】考生常常会选择 A,错误原因是混淆了充分性,与必要性。 【解题指导】考查目的:充要条件的判定。 【练习 2】已知条件 p : | x ? 1 | ? 2 ,条件 q : x ? a ,且 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围可以是( A. a ? 1 ; ) B. a ? 1 ;

C. a ? ? 1 ;

D. a ? ? 3 ;

【范例 3】 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1 ) ? ? f ( x ) , 且在[-1, 0]上单调递增, a ? f ( 3 ) , 设
b ? f ( 2)

, c ? f ( 2 ) ,则 a , b , c 大小关系是( B. a ? c ? b

) D. c ? b ? a

A. a ? b ? c 答案:D

C. b ? c ? a

【错解分析】此题常见错误 A、B,错误原因对 f ( x ? 1 ) ? ? f ( x ) 这样的条件认识不充分,忽略了 函数的周期性。 【解题指导】 由 f ( x ? 1 ) ? ? f ( x ) 可得, f ( x ) 是周期为 2 的函数。利用周期性 a , b , c 转化为[-1, 0]的函数值,再利用单调性比较. 【练习 3】设函数 f (x)是定义在R上的以 5 为周期的奇函数,若 f ( 2 ) ? 1 , f ( 2008 ) ?
a

a ? 3 a ?3

,则

的取值范围是(

) B.(0, 3)
?
12

A.(-∞, 0)

C.(0, +∞)
?
12

D.(-∞, 0)∪(3, +∞)

【范例 4】 log

2

sin

? log

2

cos

的值为(



A.-4 B.4 C.2 D.-2 答案:D 【错解分析】此题常见错误 A、C,错误原因是对两倍角公式或对对数运算性质不熟悉。 【解题指导】结合对数的运算性质及两倍角公式解决. 【练习 4】式子 log A.-4 B.4
3 2

? log

4 3

值是(

) D.-2
? ( k , k ? 1)( k ? Z )

C.2

【范例 5】设 x 0 是方程 8 ? x ? lg x 的解,且 x 0 A.4 B.5 C.7 D.8

,则 k ? (



20

答案:C 【错解分析】本题常见错误为 D,错误原因没有考虑到函数 y=8-x 与 y=lgx 图像的结合。 【解题指导】考查零点的概念及学生的估算能力. 【练习 5】方程 x lg ( x ? 2 ) ? 1 的实数根有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 【范例 6】已知∠AOB=lrad,点 Al,A2,?在 OA 上, B1,B2,?在 OB 上,其中的每一个实线段和 虚线段氏均为 1 个单位,一个动点 M 从 O 点 出发,沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速 运动,速度为 l 单位/秒,则质点 M 到达 A10 点处所需要的时间为( ) 秒。

A.62 B.63 C.65 D.66 答案:C 【错解分析】本题常见错误 B、D,这样的错误常常由于是信息图片信息把握力不强。 【解题指导】本题综合考察等差数列求和,及扇形的弧长公式。要细读题,理解动点的运动规律。 【练习 6】如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则表上数字标签: 原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处 y 标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4, ? ? ? ? ? 点(-1,0)标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1) 6 7 8 9 2 ? ? ? ? ? 处标 7,以此类推,则标签 2009 的格点的坐标 为( ) A.(1005,1004) C.(2009,2008)
?
?

5

? ? ?

0

?
? ?

1

? ? ?

10
x

B.(1004.1003) D.(2008,2007)

? ?

? ?

4

3

2 13

11 12 P1 P0

【范例 7】如图,点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P0 开 始沿单位圆按逆时针方向运动角 ? ( 0 ? ? ? 然后继续沿单位圆逆时针方向运动 坐标为 ? 答案:
4 5
3 3 ? 4 10

y

?
2

P2 )到达点 P1 , O

?
3

到达点 P 2 ,若点 P 2 的横 .

x

,则 c o s ? 的值等于

【错解分析】本题常见错误写成

3 3 ? 4 10

的相反数,这样的错误常常是忽略角度所在的象限。

【解题指导】本题主要考察三角函数的定义,及对两角和与差公式的理解。 【练习 7】已知 sin x ? sin ? ? cos ? , cos x ? sin ? cos ? , 则 cos 2 x ? .

21

?? 【范例 8】已知向量 p ?

? ? ? ? ?? a b ? ? ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是 |a | |b |

.

答案: [ 0 , 2 ] 【错解分析】本题常见错误五花八门,错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。
? ? ? ? ? ? a b 【解题指导】 ? , ? 分别表示与 a 、 b 同向的单位向量, a ? b ? ? a b a b
? ? ? a b ? ? ? a b ? ? a ? a ? ? b ? b

【练习 8】△ABC 中, C

?

π 2

, AC

? 1,

BC ? 2

,则

??? ? ??? ? f ( ? ) ? 2 ? C A ? (1 ? ? ) C B

的最小值是 .

.

【范例 9】若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? a 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 答案: ( ?? , 3 ]

【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的,错误原因有解法单一,比如只会运用去 绝对值的方法,这样会导致计算量较多,易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的几何意义。 【解题指导】由绝对值的几何意义知 | x ? 2 | ? | x ? 1 | 的最小值为 3. 【练习 9】不等式|x+1|(2x-1)≥0 的解集为 【范例 10】 ? x ? 1 ? 2 圆
? y
2

. .

?1

被直线 x ?

y ? 0

分成两段圆弧, 则较短弧长与较长弧长之比为

答案:1∶3 【错解分析】圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心,判断不了圆的位置,在花 函数图像是产生了偏差。 【解题指导】对 → → → 2 2 【练习 10】已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量OA、OB满足|OA → → → +OB|=|OA?OB|,则实数 a 的值是 . 【范例 11】一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为__________. 答案:8π 【错解分析】球体是近年高考通常所设计的集合体,通常也是考生容易 出错的一个地方,通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏 导致,或者计算的时候计算不出球的半径等。 【解题指导】过球心与小圆圆心做球的截面,转化为平面几何来解决. 【练习 11】如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方 体和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是 . 【范例 12】已知过点 P (1, 2 ) 的直线 l 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于 A 、 B 两点,则 ? AOB 的 面积最小为 . 答案:4【错解分析】本题考查均值不等式和数形结合,也是考生容易错误的地方,例如不会利用均 值不等式,或者没有看出均值不等式中隐含的“面积” 。

22

【解题指导】设直线方程为
2 ab 1 4

x a

?

y b

? 1 ,代点得:

1 a

?

2 b

? 1 .由于

1 a

?

2 b

? 2

2 ab

,所以

?

, 即 ab ? 8 ,所以 S ? AOB ?

1 2

ab ? 4

【 练 习 12 】 函 数 y ? l o g a ( x ? 3 ) ? 1 ( a ? 0 , 且 a ? 1 ) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 m

?
2

2 n

的最小值为
2

. E:
x a
2 2

【范例 13】已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x

? m) ? y

? 5 ( m ? 3 ) 与椭圆

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

有一个

公共点 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. ,F (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2) Q 为椭圆 E 上的一个动点, A P 设 求
??? ???? ? ? AQ

的取值范围.

y P

【错解分析】本题易错点(1)在于计算椭圆的方程的量本 身就大,方法和计算技巧的运用很重要。 解: (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? ∵m<3,∴m=1.圆 C: ( x
m) ?1 ? 5
2

. .
F1 O C Q

A

? 1) ? y

2

2

? 5

F2

x

设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1: y ? k ( x ? 4 ) ? 4 , 即 k x ? y ? 4 k ? 4 ? 0 . ∵ 直 线 PF1 与 圆 C 相 切 , ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k
2

?

5

.解得 k

?

11 2

,或 k ?

1 2



?1

当 k= 当 k=

11 2 1 2

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为

36 11

,不合题意,舍去.

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F .
2 ? 2 ? 6 2

2a=AF1+AF2= 5 椭圆 E 的方程为: (2) A P
??? ? ? (1, 3 )

,a

? 3

2

,a =18,b =2.

2

2

x

2

?

y

2

?1.
??? ? ??? ???? ? ? A Q ? ( x ? 3 ) ? 3 ( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6

18

2
? ( ? ,y x 3 ? ) 1

,设 Q(x,y) A ,Q
2

, AP





x

2

?

y

? 1 ,即 x

2

? (3 y )

2

? 18

18

2
? (3 y ) ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18.
2

而 x2 ∴(x 即x

? 3 y)

2

? x

2

? (3 y ) ? 6 x y ? 1 8 ? 6 x y

2

的取值范围是[0,36],

? 3y

的取值范围是[-6,6]. 的取值范围是[-12,0].

??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6

23

【练习 13】已知圆 M : ( x ?

5)

2

? y

2

? 36 , 定点 N (

5 , 0 ), 点 P 为圆 M

上的动点,点 Q 在 NP 上,

点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2 NQ , GQ ? NP ? 0 . (1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)过点(2,0)作直线 l ,与曲线 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,设 OS ? OA ? OB , 是 否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由. 【范例 14】如图,在矩形 ABCD 中,已知 A(2,0) 、C(-2,2) ,点 P 在 BC 边上移动,线段 OP 的 垂直平分线交 y 轴于点 E,点 M 满足 EM ? EO ? EP . (1)求点 M 的轨迹方程; (2)已知点 F(0,
1 2

) ,过点 F 的直线 l 交点 M 的轨迹于

Q、R 两点,且 QF ? ? FR , 求实数 ? 的取值范围. 【错解分析】向量的综合题型考察的范围可以很广,这样 的题型容易产生画图不准确,题意模糊的错误,导致考生 无法作答,因此要理解题意,把握条件,学会精确画图。 解:(1)依题意,设 P(t,2) (-2≤t≤2) ,M(x,y). 当 t=0 时,点 M 与点 E 重合,则 M=(0,1) , 当 t≠0 时,线段 OP 的垂直平分线方程为: y ? 1 ? ?
令 x ? 0, 得 y ? t
2

t 2

(x ?

t 2

).

? 4 4

,即 E (0, t
2

t

2

? 4 4

) t
2

由 EM ? EO ? EP 得 ( x , y ?

? 4 4

) ? (0 ,?

? 4 4

) ? (t ,2 ?

t

2

? 4 4

)

?x ? t ? 2 2 ? ? t ? 4 .消去 t , 得 x ? ? 4 ( y ? 1 ) ?y ? 2 ? 4 ?

显然,点(0,1)适合上式 .故点 M 的轨迹方程为 x =-4(y-1)( -2≤x≤2) (2)设 l : y ? kx ?
1 2 (? 1 4 ? k ? 1 4
2

2

), 代入 x

2

? ? 4 ( y ? 1 ), 得 x +4k-2=0.

2



? ? ? 16 k ? 8 ? 0 ? Q(x1,y1) 、R(x2,y2) ,则 ? x 1 ? x 2 ? ? 4 k ? x x ? ?2 ? 1 2

2 ? (1 ? ? ) x 2 ? ? 4 k (1 ? ? ) 2 ? 8k . .消去 x2,得 QF ? ? FR , 得 x 1 ? ? ? x 2 ,? ? 2 ? ?? ?x2 ? ?2

? 0 ? k

2

?

1 16

,? 0 ?

(1 ? ? )

2

?

?

1 2

,即 2 ?

2

? 5 ? ? 2 ? 0 ( ? ? 0 ). 解得

1 2

? ? ? 2

24

【练习 14】已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- .
2 2

1

1

(1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M,N.当 P 点 在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.

练习题参考答案:
1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7. -1 8.
2

9.

? 1? ? x x ? ? 1或 x ? ? 2? ?

10. 2 或?2

11.

2 6

12. 413. 解: (1)

? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN ? 0 ? ? NP ? 2 NQ

? GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 ,半焦距
c ? 5 ,∴短半轴长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是

x

2

?

y

2

? 1。

9

4

(2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? ?
16 9
?x ? 2 ? 得? x y 2 5 ? ? 1 ?y ? ? ? 4 ? 9 3 ? ?x ? 2
2 2

? OA ? OB ?

? 0 , 与 OA ? OB ? 0 矛盾,故 l 的斜率存在.

设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )

25

? y ? k ( x ? 2) ? 2 由? x2 ? (9 k y ? ?1 ? 4 ? 9
36 k 9k
2 2

2

? 4) x

2

? 36 k x ? 36 ( k
2

2

? 1) ? 0

? x1 ? x 2 ?

? 4

, x1 x 2 ?

36 ( k 9k
2

2

? 1) ? 4



y 1 y 2 ? [ k ( x 1 ? 2 )][ k ( x 2 ? 2 )] ? k [ x 1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ] ? ?
2

20 k 9k
2

2

? 4



把①、②代入 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 得 k ? ?

3 2

∴存在直线 l : 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 的对角线相等.

14. 解: (1)抛物线方程为:y2=2x. (2)①当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=k(x- ),代入 y2=2x,得:k2x2-(k2+2)x+
2 1
k
2

? 0

4

.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2=

k

2

? 2
2

k

,y1+y2=k(x1+x2-1)=
2

2 k

.

设△AOB 的重心为

? 0 ? x1 ? x 2 k ? 2 ? ?x ? 2 ? 3 3k ? G(x,y)则 ? 0 ? y1 ? y 2 2 y ? ? ? 3 3k ?

,消去 k 得 y2=

2 3

x ?

2 9

为所求,

②当直线垂直于 x 轴时,A( ,1) ,B( ,-1) △AOB 的重心 G( ,0)也满足上述方程. ,
2 2 2 3 x ? 2 9 3

1

1

1

综合①②得,所求的轨迹方程为 y2=


2
2

(3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 根据圆的性质有:|MN|=2
| MP || MQ | | PQ | ? 2r | PQ |


2

?r
2

? 2

2 ?

1?

2 | PQ |
2

.

| PQ |

当|PQ|2 最小时,|MN|取最小值, 设 P 点坐标为(x0,y0),则 y =2x0.|PQ|2=(x0-3)2+ y = x -4x0+9=(x0-2)2+5,
2 2 2 0 0 0

∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ|2 取最小值 5, 故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值
2 30 5

.

1

26

2010 高中数学易错、易混、易忘备忘录 50 条

1.在应用条件 A∪B=B ? A∩B=A ? A B时,易忽略A是空集Φ 的情况 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则
王新敞
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王新敞
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新疆

3.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时,易忽略求反函数的定义域
王新敞
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王新敞
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王新敞
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5 函数与其反函数之间的一个有用的结论:
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f

?1

(b ) ? a ? f ( a ) ? b ? f
?1

6 原函数在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数 y
王新敞
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(x)

也单调递

增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调 例如: y
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?

1
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x

7 根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值, 作差, 判正负 )
王新敞
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王新敞
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8

王新敞
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用均值定理求最值(或值域)时,易忽略验证“一正二定三等”这一条件
? ax ? b x
b a b a

王新敞
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9 你知道函数 y
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(a ? 0, b ? 0)

的单调区间吗? (该函数在 ( ? ? , ?

b a

]和 [

b a

, ?? )



单调递增;在 [ ?

, 0 )和 ( 0 ,

] 上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!(其在第

一象限的图像就象“√”,特命名为:对勾函数) 是奇函数,图像关于原点对称. 而函数 y
? ax ? b x (a ? 0, b ? 0)

的单调区间:在 ( ? ? , 0 ) 和 ( 0 , ? ? ) 上单调递增;是奇函数,

图像关于原点对称. 10 解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?
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(真数大于零,底数大于零且不等于 1)字母底数还需讨论呀
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王新敞
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11 用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)时,易忽略讨论二次项的系数是否为 0 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略
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王新敞
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12 等差数列中的重要性质:若 m+n=p+q,则 a m
王新敞
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? an ? a p ? aq ? a paq
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;(反之不成立)

等比数列中的重要性质:若 m+n=p+q,则 a m a n
王新敞
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(反之不成立)
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13 用等比数列求和公式求和时,易忽略公比q=1的情况

27

14 已知 S n 求 a n 时, 易忽略 n=1的情况
王新敞
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王新敞
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15 等差数列的一个性质:设 S n 是数列{ a n }的前 n 项和, { a n }为等差数列的充要条件
王新敞
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是: S n
王新敞
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? an ? bn
2

(a, b 为常数)其公差是 2a

王新敞
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16 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?(若 c n 列,{ b n }是等比数列,求{ c n }的前 n 项的和) 17 你还记得裂项求和吗?(如
王新敞
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? a n bn

其中{ a n }是等差数

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1



18 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函
王新敞
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数、余弦函数的有界性了吗? 19 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现
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特殊角
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异角化同角,异名化同名,高次化低次)
?| ? | r , S 扇 形 ? 1 2 lr

20 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗? ( l 21 在三角中,你知道 1 等于什么吗?
王新敞
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(1 ? s in ? ? c o s ? ? s e c ? ? ta n ? ? tan ? co t ? ? ta n
2 2 2 2

?
4

? s in

?
2

? cos 0

这些统称为 1

的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用 22
王新敞
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王新敞
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? 0

与实数 0 有区别,0 的模为数 0,它不是没有方向,而是方向不定
王新敞
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?

王新敞
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? 0

可以看成与

任意向量平行,但与任意向量都不垂直 23 24
王新敞
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? ? a ? 0 ? ? a ? b

,则 a ? b

? ?

? 0

,但 a ? b
王新敞
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? ?

? 0

不能得到 a
? ? ? b ?c

?

? ? 0

或b
?

?

? ? 0 ? ? b

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? ? ? a ? b

有a ?b

? ?

? 0

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王新敞
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新疆

时,有 a ? c
? ? ?

? ?

? ? ? b ?c

反之 a ? c
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? ?

不能推出 a

25 一般地 a ? ( b ? c )
王新敞
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? ? ? ? (a ? b ) ? c

26 在 ? A B C 中, A
王新敞
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? B ? sin A ? sin B
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27 使用正弦定理时易忘比值还等于 2R
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a : b : c ? sin A : sin B : sin C

28 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘; 同时要注意 “同
王新敞
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号可倒” 即a>b>o ?
1 a ? 1 b

,a<b<o ?

1 a

?

1
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b

28

29

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分式不等式

的一般解题思路是什么?(移项通分、零点分段)

30

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解指对不等式应该注意什么问题?(指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数 大于零 )
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31

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在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底 )讨论完之后,要写出:综上所述,原不等式的解是??
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32 常用放缩技巧:
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1 n

?

1 n ?1

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n

k ?1 ?

k ?

1 k ?1 ? k

? 2

1 k

?

1 k ?1 ? k

?

k ?1 ?

k

33 解析几何的主要思想:用代数的方法研究图形的性质 主要方法:坐标法
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34 用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况
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35 直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角的取值范围依次是 [ 0 , ? ), ( 0 , ? ), ( 0 ,
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?
2

]

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36 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混:
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3 ① y ? sin x ? ? ? ? ?? y ? sin ( x ? ? ? 沿 x轴 向 右 平 移 3
y? y?2

x? x?

?

?
3

)

② y ? s in x ? 沿 y 轴 向 上 平 移 2 ? ? ? ?? y ? 2 ? s in x , 即 y ? s in x ? 2

③ y ? s in x ? ? ? ? ? ?? y ? s in 2 x ? 1
沿 x轴 缩 短 到 原 来 的 2
x 2 沿 x轴 伸 长 到 原 来 的 2 倍 x? 1

x ? 2x

④ y ? s in x ? ? ? ? ? ? ? y ? s in ?

1 2

x

⑤ y ? s in x ? ? ? ? ? ?? 2 y ? s in x , 即 y ? ? 1
沿 y轴 缩 短 到 原 来 的 2

y ? 2y

1 2

s in x

29

⑥ y ? s in x ? ? ? ? ? ? ? ?
37 38
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y 2 沿 y轴 伸 长 到 原 来 的 2 倍

y?

1

1 2

y ? s in x , 即 y ? 2 s in x

定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及 值可要搞清) 对不重合的两条直线 ; 率 k 和截距 b ) , ,有 (在解题时,讨论 k 后利用斜

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39 直线在坐标轴上的截距可正,可负,也可为 0
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40 处理直线与圆的位置关系有两种方法:(1)点到直线的距离;(2)直线方程与
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圆的方程联立,判别式
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一般来说,前者更简捷

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41 处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系 42 在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形
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43 在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是
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否为零?判别式 都在
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的限制 (求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题
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下进行)

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44 椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形 (a,b,c)
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45 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦 (想一想在双曲线中的结论?及长度的表
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示) 46 你知道椭圆、双曲线标准方程中 a,b,c 之间关系的差异吗? 47 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点; 如果直线与抛 物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点 此时两个方程联立, 消元后为一
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次方程
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48 作出二面角的平面角主要方法是什么?(定义法、三垂线法、垂面法)三垂线法: 一定平面,二作垂线,三作斜线,射影可见 49 50
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求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积法、换点法、向量法) 两条异面直线所成的角的范围:0°<α ≤90° 直线与平面所成的角的范围:0o≤α ≤90° 二面角的平面角的取值范围:0°≤α ≤180°

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30

2009—2010 学年度上海数学高考考前课本回归秘笈 回归课本练习(一)——集合、函数 一、知 识 回 顾
1.集合中的元素具有无序性和互异性。如集合 ? a , 2 ? 隐含条件 a ? 2 , 集合 ? x | ( x ? 1)( x ? a ) ? 0 ? 不能直接化成 ?1, a ? 。 2.研究集合问题,一定要抓住集合中的代表元素,如:{ x | y ? lg x }与{ y | y ? lg x }及{ ( x , y ) | y ? lg x }三 集合并不表示同一集合;再如: “设 A={直线},B={圆},问 A∩B 中元素有几个?能回答是一个, 两个或没有吗?”与“A={(x, y)| x + 2y = 3}, B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A∩B 中元素有几个?”有无区 别? 3 .进行集合的交、并、补运算时,不要忘了集合本身和空集的特殊情况,不要忘了借助于 数轴和韦恩图进行求解;若 A ? B= ? ,则说明集合 A 和集合 B 没公共元素,你注意到两种极端情 况了吗? A ? ? 或 B ? ? ;对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、和非空真子集的 个数分别是 2 n 、 2 n ? 1 和 2 n ? 2 ,你知道吗?你会用补集法求解吗? A 是 B 的子集 ? A∪B=B ? A∩B=A ? A ? B ? A ? B , A ? B , 若 你可要注意 A ? ? 的情况。 4.函数存在的条件?反函数存在的条件? 5 .(1)求不等式(方程)的解集,或求定义域时,你按要求写成集合或区间的形式了吗? (2)你会求分式函数的对称中心吗? 6 .求一个函数的解析式,你注明了该函数的定义域了吗? 7 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题,它们之间有哪三种关系?只有互为逆否的命 题同真假!复合命题的真值表你记住了吗?命题的否定和否命题不一样,差别在哪呢? 充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗?如何判断? 反证法证题的三部曲你还记得吗?假设、推矛、得果。 原命题: p ? q ; 逆命题: q ? p ; 否命题: ? p ? ? q ; 逆否命题: ? q ? ? p ; 互为逆否的两个命题是等价的. 若 p ? q 且 q ?? p ;则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件); 注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ? q ; 否命题是 ? p ? ? q 命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q”“p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” , 注意:如 “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的 否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 不是偶数” 8.绝对值的几何意义是什么?不等式 | ax ? b |? c , | ax ? b | ? c ( c ? 0 ) 的解法掌握了吗? 9.如何利用二次函数求最值?注意对 x 2 项的系数进行讨论了吗? 若 ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 1 ? 0 恒成立,你对 a ? 2 =0 的情况进行讨论了吗?
2

若改为二次不等式 ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 1 ? 0 恒成立,情况又怎么样呢? 10. (1)二次函数的三种形式:一般式、交点式、和顶点式,你了解各自的特点吗? (2)二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗?你能相互转化吗? (3)方程有解问题,你会求解吗?处理的方法有几种?
2

31

特别提醒:二次方程 ax 也是二次函数 y ? ax 对二次函数 y ? ax 影响吗?
2

2

? bx ? c ? 0 的两根即为不等式 ax

2

? bx ? c ? 0 ( ? 0 ) 解集的端点值,

2

? bx ? c 的图象与 x 轴的交点的横坐标。

2

? bx ? c ,你了解系数 a , b , c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的

对函数 y ? lg ( x ? 2 a x ? 1) 若定义域为 R,则 x 2 ? 2 a x ? 1 的判别式小于零;若值域为 R, 则 x 2 ? 2 a x ? 1 的判别式大于或等于零,你了解其道理吗? 例如:y = lg(x 2 + 1)的值域为 ,y = lg(x 2 – 1) 的值域为 ,你有点体会吗? 2 11.求函数的单调区间,你考虑函数的定义域了吗?如求函数 y ? lo g 2 ( x ? 2 x ? 3 ) 的单调增区间?再如
2 已知函数 y ? lo g a ( x ? 2 a x ? 1) 在区间 [ 2 , 3 ] 上单调增,你会求 a 的范围吗?

若函数 y ? x ? 2 a x ? 2 的单调增区间为 ? 2 , ? ? ? ,则 a 的范围是什么?
2

若函数 y ? x ? 2 a x ? 2 在 x ? ? 2 , ? ? ? 上单调递增,则 a 的范围是什么?
2

两题结果为什么不一样呢? 12.函数单调性的证明方法是什么?(定义法、导数法)判定和证明是两回事呀!判断方法:图象法、 复合函数法等。 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗? (⑴ 比较大小; 解不等式; 求 ⑵ ⑶ 参数的范围。 ) 求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” ;单调 区间是区间不能用集合或不等式表示。 13.判断函数的奇偶性时,注意到定义域的特点了吗?(定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的 必要非充分条件) 。 14.常见函数的图象作法你掌握了吗?哪三种图象变换法?(平移、对称、伸缩变换) 函数的图象不可能关于 x 轴对称, (为什么?)如:y 2 = 4x 是函数吗? 函数图象与 x 轴的垂线至多一个公共点,但与 y 轴的垂线的公共点可能没有,也可能任意个; 函数图象一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象;如圆; 图象关于 y 轴对称的函数是偶函数,图象关于原点对称的函数是奇函数,两图象关于直线 y ? x 对 称的两函数是一对反函数。 15.由函数 y ? f ( x ) 图象怎么得到函数 y ? f ( ? x ) 的图象?由函数 y ? f ( x ) 图象怎么得到函数 y ? ? f ( x ) 的图象?由函数 y ? f ( x ) 图象怎么得到函数 y ? ? f ( ? x ) 的图象? 由函数 y ? f ( x ) 图象怎么得到函数 y ? f (| x |) 的图象? ⑴ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于 x 轴的对称的曲线 C 1 是: ⑵ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于 y 轴的对称的曲线 C 2 是: ⑶ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? x 的对称的曲线 C 3 是: ⑷ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? ? x 对称的曲线 C 4 是: ⑸ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? x ? m 的对称的曲线 C 5 是: ⑹ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? ? x ? m 的对称的曲线 C 6 是: ⑺ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 x ? m 对称的曲线 C 7 是: ⑻ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? m 对称的曲线 C 8 是: ⑼ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于原点的对称的曲线 C 9 是: ⑽ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于点 A ( a , b ) 对称的曲线 C 1 0 是: ⑾ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 绕原点逆时针旋转 90°,所得曲线 C 1 1 的方程是: f ( y , ? x ) ? 0 ⑿ 曲线 C : f ( x , y ) ? 0 绕原点顺时针旋转 90°,所得曲线 C 1 2 的方程是: f ( ? y , x ) ? 0 16.函数 y ? x ?
k x ( k ? 0 ) 的图象及单调区间掌握了吗?如何利用它求函数的最值?与利用基本不

等式求最值的联系是什么?若 k <0 呢? 你知道函数

的单调区间吗?

32

(该函数在 ( ?? , ?

b a

] 或[

b a

, ?? ) 上单调递增;在 ( 0 ,

b a

] 或[ ?

b a

, 0 ) 上单调递减)这可是一个应

用广泛的函数! 求函数的最值,一般要指出取得最值时相应的自变量的值。 17.(1)切记:研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行! 一般是先求定义域,后化简,再研究性质。 已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x∈[1, 9],则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 你注意到函数 g (x)的定义域吗? (2)抽象函数在填空题中,你会用特殊函数去验证吗? 几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x ) ? k x ( k ? 0 ) --------------- f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ; ②幂函数型: f ( x ) ? x
2

。求解中

-------------- f ( x y ) ? f ( x ) f ( y ) , f ( ) ?
y
x

x

f (x) f (y)


f (x) f ( y)

③指数函数型: f ( x ) ? a

---------- f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) , f ( x ? y ) ?
x



④对数函数型: f ( x ) ? lo g a x --- f ( x y ) ? f ( x ) ? f ( y ) , f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) ;
y

⑤三角函数型: f ( x ) ? ta n x ----- f ( x ? y ) ?

f (x) ? f ( y) 1 ? f (x) f ( y)



18.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗?指数、对数函数的图象特征与性质明确 了吗?对指数函数 y ? a ,底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线 y ? 1 接近程度;对数函数
x

y ? lo g a x 呢? 你还记得对数恒等式( a

log

a

N

? N )和换底公式吗?

知道:

n m

lo g a N ? lo g
m n

a

m

N
m

n

吗? ,a
? m n

指数式、对数式: a
lo g e x ? ln x , a
b

?

n

a

?

1 , a 0 ? 1 , lo g 1 ? 0 , lo g a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1 , , a a m a
n

? N ? lo g a N ? b ( a ? 0 , a ? 1, N ? 0 )

,a

lo g a N

? N 。

二、过关检测
1.设全集 U=A∪B={x∈N*|lgx<1 }。若则 A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B=
? 2 , 4 , 6 , 8? .

2. A ? { x | ax

2

? 2 x ? 1 ? 0 } ,如果 A ? R
2

?

? ? ,则 a 的取值范围是_ a ? 0
2

__.

3. 已 知 函 数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ( p ? 2 ) x ? 2 p ? p ? 1 在 区 间 [ ? 1 ,1 ] 上 至 少 存 在 一 个 实 数 c , 使
f ( c ) ? 0 ,求实数 p 的取值范围是_

3 ? ? ? ? 3, ? 2 ? ?

__.

4. “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的

充分不必要

条件。

5. (

1 2

)

lo g

2

8

的值为___

1 64

_____
33

6. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x ) ? 0 在 [ ? 2 , 2 ] 上至少有 _____5_____个实数根.
x 7. 已知对于任意的 x 1 , x 2 ? R , 若函数 f ( x ) ? 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

___ ? ___ f (

x1 ? x 2 2

)

(比较大小关系) 8. 函数 f ( x ) ? x ? a x 在区间 ( ? 1, 2 ] 上不存在最大值,则 a 的取值范围是_
3

( 3 ?? ,

) __.

9.已知奇函数 f ( x ) 是定义在 ( ? 2 , 2 ) 上的减函数,若 f ( m ? 1 ) ? f ( 2 m ? 1 ) ? 0 ,求实数 m 的取值范
1 2

围是_

(?

,

)

__.

2 3
? ?

10. 若方程 cos 2 x ? sin x ? a ? 0 在 ? ?

?
2

,

? ?

5 ? 上有两个不同的实数解,则 a 的取值范围是 ( ? , ? 1) . 2 ? 4

11. 若函数 y ? x ? x 与 y ? g ( x ) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x ) =__ ? x 2 ? 7 x ? 6 ___
2

12. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,且在 [ ? 3, ? 2 ] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角三 角形的两个内角,则 f (s in ? ), f (c o s ? ) 的大小关系为__ f (s in ? ) ? f (c o s ? ) _______; 13. 已知 a 是实数,函数 数 a 的取值范围。 解:当 a=0 时,函数为 f (x)=2x -3,其零点 x=
3 2
f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a
2

,如果函数 y

? f (x)

在区间[-1,1]上有零点,求实

不在区间[-1,1]上。

当 a≠0 时,函数 f (x) 在区间[-1,1]分为两种情况: ① 函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时 ②
?? ? 4 ? 8a (?3 ? a ) ? 0 ? ? f ( ? 1 ) f (1 ) ? ( a ? 5 )( a ? 1 ) ? 0
?? ? 4 ? 8a (?3 ? a ) ? 0 ? 或? , 1 ?1? ? ?1 ? 2a ?

解得 1≤a≤5 或 a=

? 3? 2

7

②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时

34

a ? 0 ? ? 2 ? ? 8a ? 2 4 ? 4 a ? ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1 ? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ?

0

综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数 a 的取值范围为(-∞,
g (x) f (x)

a ? 0 ? ? 2 ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ? ? ? 3? 1 或? 解得 a ? 5 或 a< ?1 ? ? ?1 2 2a ? f ?1 ? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ? ? 3?
2

7

7

]∪[1, +∞)

14. 已知 b>-1,c>0,函数 f (x)=x+b 的图象与函数 g (x)=x2+bx+c 的图象相切。 (1)设 b=h(c),求 h(c); (2)设 D ( x ) ? (x>-b)在 [ ? 1, ?? ) 上是增函数,求 c 的最小值; (3)是否存在常数 c,使得函

数 H(x)= f (x) g (x)在 ( ?? , ?? ) 内有极值点?若存在,求出 c 的取值范围,若不存在,说明理由。 思路点击:本题材不论从函数类型,还是从涉及的函数内容角度欣赏都非常象高考题,尤其是第 (3)题中的探索型问题使题目更显时尚和有档次,不过越是华丽的题目,解法往往越平易近人。 解: (1)依题设令 f / (x)= g / (x),即 2x+b=1, ∴x= ∴f (
1? b 2

1? b 2

为切点横坐标。

)= g (

1? b 2

),故(b+1)2=4c,即 b= h(c)= 2 c ? 1 =x ?
c x ? b

(2)∵ D ( x ) ?

g (x) f (x)

,∴D / (x)= 1 ?

c (x ? b)
2

由于 D (x)在 [ ? 1, ?? ) 上是增函数, ∴D / (x)=( 1 ? ∴1 ?
c x ? b

c x ? b

)( 1 ?

c x ? b

)≥0 在 [ ? 1, ?? ) 上恒成立。又 x>-b ,c>0

≥0 在 [ ? 1, ?? ) 上恒成立,即 c ? x ? b

而由(1)得, c ? x + 2 c ? 1 ,∴ c ? 1 ? x ∵函数 t=1-x 在 [ ? 1, ?? ) 上的最大值为 2,∴ c ? 2 ,即 c≥4 ∴c 的最小值为 4。 (3)由 H(x)= f (x) g (x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc 得 H /(x)= 3x2+4bx+b2+c 令 H /(x)=0 得:△=4(b2-3c)=(c-4 c +1)>0,即 c-4 c +1>0 解得: c <2- 3 ,或 c >2+ 3 ,又∵c>0 ∴0<c<7-4 3 或 c>7+4 3 ∴存在常数 c∈(0,7-4 3 )∪(7+4 3 ,+∞),使 H(x)在 ( ?? , ?? ) 内有极值点。 点评:导数的加盟,大大拓展了命制函数类探索题的空间,从两个样题来看,函数类的探索题 的解决离不开函数的主体知识,因此夯实函数“三基”就可以以不变应万变。

二、过关检测
1.设全集 U=A∪B={x∈N*|lgx<1 }。若则 A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B = 2. A ? { x | ax
2

.
? 2 x ? 1 ? 0 } ,如果 A ? R
2 ?

? ? ,则 a 的取值范围是_
2

__.

3. 已 知 函 数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ( p ? 2 ) x ? 2 p ? p ? 1 在 区 间 [ ? 1 ,1 ] 上 至 少 存 在 一 个 实 数 c , 使

35

f ( c ) ? 0 ,求实数 p 的取值范围是_

__. 条件。

4. “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的

5. (

1 2

)

lo g

2

8

的值为___

_____

6. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x ) ? 0 在 [ ? 2 , 2 ] 上至少有__个 实数根.
x 7. 已知对于任意的 x 1 , x 2 ? R , 若函数 f ( x ) ? 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

______ f (

x1 ? x 2 2

)

(比较大小关系) 8. 函数 f ( x ) ? x ? a x 在区间 ( ? 1, 2 ] 上不存在最大值,则 a 的取值范围是_
3

__.

9.已知奇函数 f ( x ) 是定义在 ( ? 2 , 2 ) 上的减函数,若 f ( m ? 1 ) ? f ( 2 m ? 1 ) ? 0 ,求实数 m 的取值范 围是_ __.
? ?

10. 若 方 程 c o s2 x ? s i n x ? a ? 0 在 ? ? 是
2

?
2

,

? ?

? 上有两个不同的实数解,则 a 的取值范围 2 ?

. ___

11. 若函数 y ? x ? x 与 y ? g ( x ) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x ) =__

12. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,且在 [ ? 3, ? 2 ] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角三 角形的两个内角,则 f (s in ? ), f (c o s ? ) 的大小关系为_____ 13. 已知 a 是实数,函数
f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a
2

____; 在区间[-1,1]上有零点,

,如果函数 y

? f (x)

求实数 a 的取值范围。

14. 已知 b>-1,c>0,函数 f (x)=x+b 的图象与函数 g (x)=x2+bx+c 的图象相切。 (1)设 b=h(c),求 h(c); (2)设 D ( x ) ?
g (x) f (x)

(x>-b)在 [ ? 1, ?? ) 上是增函数,求 c 的最小值;

36


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