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山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文


山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试

数学(文)试题
本试卷分为选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和 科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2. I 卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 第 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 P ? {3,log2 a}, Q ? {a, b}, 若P ? Q ? {0}, 则P ? Q 是 A.{3,0} B.{3,2,0} C.{3,1,0} D. {3, 2, ?1, 0}

2.已知 cos(

?
2

? ?) ? ?

3 ? 且 | ? |? , 则 tan ? = 2 2
B.

A. ?

3 3
?x

3 3

C. ? 3

D. 3

3.函数 f ( x) ? x ? 2 的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

4.已知数列 {an } 的前n项和为Sn , 且Sn ? 2an ? 2, 则a2 = A.4 B.2 C.1 D.-2

3 2 5.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c, 其导函数 f ?( x) 的图象如右图,则函数 f ( x ) 的极小值是

A. a ? b ? c C. 3a ? 2b

B. 8a ? 4b ? c D.c

-1-

k 6. x ? 2 ?? “

?

k? ) ( Z 4

”是“ tan x ? 1 ”成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分与不必要条件 7.如图,已知 AP ? A. OA ?

??? ?

? ? 1 ??? 4 ??? OB 3 3 ? ? 1 ??? 4 ??? B. OA ? OB 3 3 ? ? 1 ??? 4 ??? C. ? OA ? OB 3 3 ??? 4 ??? ? ? 1 D. ? OA ? OB 3 3

? ? ? ??? ? ??? ? 4 ??? ??? ??? AB, 用OA, OB表示OP, 则OP 等于 3
ks5u

8.已知 a ? b,函数f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象如右图,则函数

g ( x) ? loga ( x ? b) 的图象可能为

9.某几何体的正视图和侧视图均如右图,则该几何体的俯视图不可能有是

10.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 3, 则cos B A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

? x ? 0, ? 11.若不等式组 ? x ? y ? 2, 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 2 分成面积相等的两部分,则 ?3 x ? y ? 5 ?
k 的值为 A.4 B.1 C.2 D.3

-2-

12.设定义在 B 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x)是f ( x) 的导函数,当

x ? [0, ? ]时, 0 ? f ( x) ? 1;当x ? (0, ? )且x ? f ( x) ? cos x在[?2? , 2? ] 上的根的个数为
A.2 B.5

?

时, ( x ? ) f ?( x) ? 0. 2 2

?







C.4

D.8

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知 a ?
2

16 (a ? 0), 则 log 2 a = 81 3



2 14.若命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 是真命题” ,则实数 a 的取值范围是



15.将函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2 倍(纵坐标不变) ,再将所得图象向左平移

? 个单位,则所得函 3

数图象对应的解析式为 。 16.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个 动点 E、F,且 EF=1,则四面体 A—EFB 的体积 V 等于 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin (I)求 f ( x ) 的值域; (II)试画出函数 f ( x ) 在区间[-1,5]上的图象。
2

?
6

x ? sin(

?
3

x?

?
6

) ? 1.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角α 和钝角β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点。

4 12 , , 求 cos( ? ? ? ) 的值; 5 13 ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? (II)已知点 C 是单位圆上的一点,且 OC ? OA ? OB, 求OA和OB 的夹角θ 。
(I)若 A,B 两点的纵会标分别为

-3-

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB//CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD,E 是 PA 的 中点。 (I)求证:DE//平面 PBC; (II)求证:AD⊥PB。

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , a1 ? 2, an?1 ? an ? cn(c 是不为零的常数, n ? N * ), 且a1 , a2 , a3 成等比 中 数列。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ?

an ? c , 求数列{bn }的前n项和Tn . n ? cn

21. (本小题满分 13 分) 国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某种钻石的价值 v(美元)与其重量 w(克 拉)的平方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元。 (I)写出 v 关于 w 的函数关系式; (II)若把一颗钻石切割成重量比为 1:x( x ? 1 )的两颗钻石,价值损失的百分率为 y, 写出 y 关于 x 的函数关系式; (III)试证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为 1:1 切割,价值损失的百分率 最大。 (注: 价值损失的百分率= 不计)

原有价值 ? 现有价值 ×100%, 在切割过程中的重量损耗忽略 原有价值

-4-

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax (a ? R, a ? 0). 2

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)已知点 A(1, ?

1 a), 设B( x1 , y1 )( x1 ? 1)是曲线C : y ? f ( x) 图角上的点,曲线 C 上是 2

否存在点 M ( x0 , y0 ) 满足:① x0 ? 说明理由。

1 ? x1 ;②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB?请 2

-5-

-6-

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