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1.4绝对值三角不等式教案



教学目标:

题:

第 04 课时

绝对值三角不等式

教学札记

1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用。 2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角

不等式公式进行推理和证明。 教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程: 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等 式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1.请同学们回忆一下绝对值的意义。

? x,如果x ? 0 ? x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 ?
几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还 要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1) a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时等号成立。 (2) a ?

a 2 , (3) a ? b ? a ? b ,

(4)

a b

?

a (b ? 0) b

那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 二、讲解新课:

探究: a , b , a ? b , a ? b 之间的什么关系?

结论: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.) 已知 a , b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)

用心 爱心 专心

1

方法一:证明:1 .当 ab≥0 时,

0

2 . 当 ab<0 时,

0

ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

ab ? ? | ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

综合 1 , 2 知定理成立. 方法二:分析法,两边平方(略) 定理 1 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)

0

0

(1)若把 a , b 换为向量 a, b 情形又怎样呢?

? ?

a?b
a

a

b

a?b

根据定理 1,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。 定理(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注:当 a , b 为复数或向量时结论也成立. 推论 1: a1 ? a2 ?

? an ≤ a1 ? a2 ?

? an
用心 爱心 专心 2

推论 2:如果 a、b、c 是实数,那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c ,当且仅当 (a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时, 等号成立. 思考:如何利用数轴给出推论 2 的几何解释? (设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅 当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得 到例 2 的后半部分。 ) 三、典型例题: 例 1、已知 x ? a ?

c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2

证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)

? x ?a ? y ?b

(1)

c c , y ?b ? , 2 2 c c ∴ x?a ? y ?b ? ? ? c 2 2 ? x?a ?
由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c 例 2、已知 x ?

(2)

a a , y ? . 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a 证明 ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2
注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于

不等号方向相同的不等式。 例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路

碑的第 10 公里和第 20 公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队 每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应 该建于何处? 解:如果生活区建于公路路碑的第 x km 处,两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

· 10
四、课堂练习:

· x

· 20

用心 爱心 专心

3

1.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2 a ;⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b 2. (课本 P19 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ x ? a ? x ? b ≥ a ? b ;⑵ x ? a ? x ? b ≤ a ? b 3. (1) 、已知 A ? a ?

c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c (2) 、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6

五、课堂小结: 1.实数 a 的绝对值的意义:

? a (a ? 0) ? ⑴ a ? ? 0 (a ? 0) ;(定义) ? ? a (a ? 0) ?
⑵ a 的几何意义: 2.定理(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注意取等的条件。 六、课后作业:课本 P19 第 2,4,5 题 七.教学后记:

用心 爱心 专心

4


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