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2016首钢工学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)


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限时:45 分钟

满分:70 分

一、选择题(共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) x 2 y2 3 1.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过 F 点且斜率为 的直线与 a b 3 双曲线的渐近线平行,则此双曲线的离心率为( 2 3 3 )

A.

B. 3 D.2 3 3 b 3 c ,即 = ,所以 e= = a 3 a 3

C.2

解析:选 A 由题知,双曲线的一条渐近线的斜率为 b 2 3 1+?a?2= . ? ? 3

x2 y2 2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB a b 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为 ( 3-1 2 1+ 5 4 5-1 2 3+1 4 )

A.

B.

C.

D.

解析:选 B 由题意得 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0, 解得 e= -1± 5 5-1 ,又因为 e>0,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2

???? ? ????? x2 3.已知椭圆 +y2=1 的两焦点为 F1、F2,点 M 在椭圆上, MF1 · MF2 =0,则 4
M 到 y 轴的距离为( )

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A. 2 3 3 3 3 2 6 B. 3 D. 3

C.

解析:选 B 由条件知,点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2+y2 x2 8 2 6 =3,即 y2=3-x2,代入椭圆方程得 +3-x2=1,解得 x2= ,则|x|= ,此即点 4 3 3 M 到 y 轴的距离. x2 4.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 a -y2=1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 等于( 1 9 1 3 1 B. 4 D. 1 2 )

A.

C.

解析:选 A ∵点 M(1,m)在抛物线上,∴m2=2p,而 M 到抛物线的焦点的距离 p p 为 5,根据抛物线的定义点 M 到准线 x=- 的距离也为 5,∴1+ =5,∴p=8,由此 2 2 可以求得 m=4,双曲线的左顶点为 A(- a,0),∴kAM= x 4 1 1 方程为 y=± ,根据题意, = ,∴a= . 9 a 1+ a a x2 y2 5.已知点 P 在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 a b ∠F1PF2=90° ,且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( A.2 C.4 B.3 D.5 ) 4 ,而双曲线的渐近线 1+ a

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解析:选 D 不妨设|PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,则 2|PF2|=2c+|PF1|,且 |PF2|-|PF1|=2a,解得|PF1|=2c-4a,|PF2|=2c-2a,又因为∠F1PF2=90° ,则 4c2= |PF1|2+|PF2|2,故 4c2=(2c-2a)2+(2c-4a)2,化简得 c2-6ac+5a2=0,解得 c=a(舍 c 去)或 c=5a,故 e=a=5. 6.已知等边三角形 ABC 的边长为 4,点 P 在其内部及边界上运动,若 P 到顶点 A 的距离与其到边 BC 的距离相等,则△PBC 面积的最大值是( A.2 3 C.3 3 B.16 3-24 D.8 3-12 )

解析:选 B 由题易知点 P 在以 A 为焦点,BC 边所在直线为 准线的抛物线的一段(图中曲线 EF)上运动.设线段 AN 为 BC 边上 的高,曲线 EF 与线段 AN 的交点为 M,由图易知,当 P 位于点 E 或点 F 处时,△PBC 的面积最大.过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H, 设 AE=EH=x,则 EB=4-x.在 Rt△EHB 中,EH=BE· sin 60° ,则 x= 得 x=8 3-12,即 EH=8 3-12, 1 故△PBC 面积的最大值为 ×4×(8 3-12)=16 3-24. 2 7.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 |FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) ) 3 (4-x),解 2

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解析:选 C 圆心到抛物线准线的距离为 p,即 4,根据已知只要|FM|>4 即 可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由 y0+2>4,解得 y0>2,故 y0 的取值范围是(2, +∞). x2 y2 a2 8.设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= c 上存在 a b 点 P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是( )

A.?0,

? ?

2? ? 2?

B.?0,

? ?

3? ? 3?

C.?

? 2 ? ? ? 2 ,1?

D.?

? 3 ? ? ? 3 ,1?

b2 y a2 解析:选 D 设 P? c ,y?,线段 F1P 的中点 Q 的坐标为?2c,2?,则直线 F1P 的斜

?

?

?

?

cy cy 率 kF1P= 2 2,当直线 QF2 的斜率存在时,设直线 QF2 的斜率为 kQF2= 2 (b2 a +c b -2c2 -2c2≠0),由 kF1P· kQF2=-1 得 y2= ?a2+c2??2c2-b2? ≥0,但注意到 b2-2c2≠0,故 c2

1 3 2c2-b2>0,即 3c2-a2>0,即 e2> ,故 <e<1.当直线 QF2 的斜率不存在时,y=0,F2 3 3 a2 3 3 为线段 PF1 的中点.由 c -c=2c 得 e= ,综上得 ≤e<1. 3 3 二、填空题(共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) x2 y2 9..已知直线 y=m 与椭圆 + =1 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为 3 4 ________. x2 y2 解析:注意到椭圆 + =1 上的点的纵坐标的取值范围是[-2,2],故要使直线 y 3 4 x2 y2 =m 与椭圆 + =1 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是(-2,2). 3 4 答案:(-2,2)

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10.已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上,因为 PF1⊥PF2,所以(2 2)2=|PF1|2+ |PF2|2,因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得 2|PF1|· |PF2|=4,则(|PF1|+ |PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2 3. 答案:2 3 b2+1 x2 y2 11.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率是 2,则 的最小值为________. a b 3a b2+1 3a2+1 2 3a c 解析:依题意得a=2,则 c=2a,又 b2=c2-a2=3a2,所以 = ≥ 3a 3a 3a b2+1 2 3 2 3 = ,即 的最小值是 . 3 3a 3 2 3 3

答案:

x2 y2 12.已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离 a b

???? ???? 5 心率是 ,且 PF1 · PF2 =0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为________. 4
解析:由 PF1 · PF2 =0 得 PF1 ⊥ PF2 ,设| PF1 |=m,| PF2 |=n,不妨设 m>n,

???? ????

????

????

????

????

?a=4, 1 c 5 则 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9,又a= ,解得? ∴b=3,a+b=7. 2 4 ?c=5,
答案:7 13.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A、B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的 中点到直线 x+ 1 =0 的距离等于________. 2

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1 x- ?,即直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y2= 解析:直线 4kx-4y-k=0,即 y=k? ? 4? 1 ? 1 7 x 的焦点? ?4,0?.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4,故 x1+x2=2,则弦 7 1 7 1 9 AB 的中点的横坐标是 ,弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离是 + = . 4 2 4 2 4 答案: 9 4

x2 y2 3 14.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的 a b 2 直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF =3 FB ,则 k=________. c 3 4 1 3x2 3y2 解析:根据a= ,可得 a2= c2,则 b2= c2,故椭圆方程为 2 + 2 =1,即 3x2 2 3 3 4c c 1 +12y2-4c2=0.设过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线的方程为 x=my+c?其中m=k?,

????

??? ?

? ???? 代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据 AF =3 ??? ? FB ,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据根与系数的关系得 y1+y2
2cm c2 cm c2 2 =- 2 ,y1y2=- ,由-y1=3y2 得 y2= 2 ,y2 = ,故 9m2=m2 2 m +4 3?m +4? m +4 9?m2+4? 1 +4,所以 m2= ,从而 k2=2,k=± 2,又 k>0,故 k= 2. 2 答案: 2

?


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