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特殊化与一般思想第二篇


GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG

特殊化与一般思想
■俞新龙

第一篇 : 特殊化思想概述
一 、 特殊化思想的含义 特殊化思想是一种重要的数学思想, 也是一种辩证的认 知规律 . 历史上一些重大的科学发现时常是由特殊引发的 . 著名 数学家华罗庚认为 : 善于 “ 退 ”, 一直 “ 退 ” 到原始而不失重 要性的地方 , 是 学 习 数 学 的 一 个 诀 窍 . 波 利 亚 说 : 特 殊 化 是 以 考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子 集 , 或仅一个 对 象 . 希 尔 伯 特 说 : 在 讨 论 数 学 问 题 时 , 我 相 信 特殊化比一般 化 起 着 更 为 重 要 的 作 用 . 我 们 寻 找 一 个 答 案 而 未 能成功的原因, 就在于这样的事实, 即有一些比手头的问题 更简单、 更容易的问题没有完全解决, 这一切都有赖于找出 这些比较容易的问题, 并且用尽可能完善的方法和能够推广 的概念来解决它们 . “特殊化思想 ” 是中学数学里很重要的一种思想方法 , 在各 级各类试题里有许多能够利用特殊化思想解决的问题 .那么什么 是特殊化思想 ? 它是指在解题时采用特殊的判断 、 特殊的数值 、 特殊的几何图形等来解题的策略 , 并且在客观题中所求得的结 果就是问题的结果 ; 或者先解决数学问题的特殊情形或从解决 特殊情形的方法或结果应用或推广到一般问题之中 , 从而获得 一 般 性 问 题 的 解 决 的 思 想.显 而 易 见 , 相 对 于 “一 般 ” 而 言 , “特殊 ” 往往显得简单 、 直观和具体 , 且容易解决. 二 、 特殊化思想解题的一些思路 在解答数学问题时, 特殊化方法常常表现为将一般问题 特殊化处理或从特殊出发探索解题方向 , 以获得问题的解决 , 它是一种以 “ 退 ” 为 “ 进 ” 的 解 题 策 略 . 用 问 题 最 特 殊 情 形 的 解来得到一般问题的解, 因此在选择题和填空题等客观问题 中一定要特别 注 意 特 殊 化 思 想 的 应 用 . 一 些 定 点 、 定 值 类 问 题 常可用特殊化 解 题 . 总 之 , 就 是 从 问 题 的 简 单 化 、 特 殊 化 入 手 解答 . 尤其是 当 我 们 解 题 束 手 无 策 时 一 定 不 能 忘 了 特 殊 化 思 想 这个 “ 大救星 ” . 从形式上看, 将一般性问题特殊化是不困难的, 但某个 一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化 命题 . 因此 , 特 殊 化 思 想 的 关 键 是 能 否 找 到 一 个 最 隹 的 特 殊 化 问题 , 因为 , 较为理想的特殊问题是极易解决的 . 三 、 特殊化思想解题易范错误 为了弄清这个问题先请同学们看下面的问题 : 对于 x∈[0,1]的一切值, a +b>0 是使 ax+b>0 恒成立的 (

C. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件 2

同学们你做好了吗 ? 答案为 C. 因为 a +b>0 推不出 ax+b>0 恒成立 , 而对于 x∈[0 ,1] 的 一 切 值 ax+b>0 成 立 时 , 取 x= 1 ,

2

就应该有 a +b>0. 因此 , 特殊化思想解题实际上是在用问题的 2 必要条件解题, 但因为在选择题和填空题中又是充分的, 所 以, 在客观题中用这种思想解题是等价的, 即是充分必要条 件关系, 但如果是解答题, 则这种做法是不完备的, 犯了 “ 以部分代替全体 , 特殊代替一般 ” 的错误 , 有时甚至是错误 的 . 例 如 , 我 们 知 道 数 列 an= (n2-5n+5)2 并 不 是 常 数 列 {1} , 但 有 的 同 学 在 计 算 了 a1 =1 ,a2 =1 ,a3 =1 ,a4 =1 后 就 得 出 结 论 an=1 , 如果从这四个特殊的例子就得出结论毫无疑问是错误的, 因 为 a5=25≠1. 又如对于问题 : 已知数列 {an} 满足 an=n · 2n -1 (x∈
2 n N*), 是否存在等差数列 {bn} 使等式 an=b1C1 n +b2Cn + … +bnCn 对一切

正 整 数 n 成 立 ? 并 证 明 你 的 结 论.绝 大 多 数 同 学 都 能 这 样 做 :
2 n 假设存在等 差 数 列 {bn} 使 等 式 an=b1C1 n +b2Cn + … +bnCn 对 一 切 正 整

数 n 成 立 , 则 当 n=1 时 得 1=b1C1 1 , 所 以 b1=1 ; 当 n=2 时 得 4=
1 2 3 b1C12 +b2C2 2 , 所 以 b2=2 ; 当 n=3 时 得 12=b1C3 +b2C3 +b3C3 , 所 以

b3=3. 如果由此就给出结论存在 等 差 数 列 {bn=n} 满 足 题 意 , 我 们
认 为 是 不 完 备 的 . 因 为 在 之 前 的 解 答 中 仅 证 明 了 n=1 ,2 ,3 是 成 立的 , 而 n=4,5,6, … 更多的时候还没有证明.因此接下去需证明
2 n · 等式 n 2n -1=1C1 n +2Cn +…+nCn 是否成立 ? 若成立 , 则问题解决.

第二篇 : 集合中的特殊化思想
集合问题虽说大多简单, 但如果能用好特殊化思想也能 节省不少解题的时间 . 例 1. 已知集合 M={(x,y)│2x-y=3},N={(x,y)│x+y=0}, 那么 集合 M∩N=( )

A. x=1 ,y=-1

B. (1,-1 )

C. {1,-1}

D. { (1,-1 )}

解析: 通过联立方程组

∩ x+y=0

2x-y=3,


解得

∩ y=-1
x=1 ,



所以集合

M∩N={ (1,-1 )}.
但 实 际 上 , 我 们 可 以 从 判 断 A、 B、 C、 D 四 个 选 择 项 的 形 式 上 直 接 给 出 答 案 D, 因 为 所 求 结 果 必 须 是 一 个 点 坐 标 为 元素的集合 , 而题中只有 D 是这种形式的 .

2



第三篇 : 函数与导数中的特殊化思想
函数与导数是高中数学的重点内容之一, 题型复杂, 难

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

广东教育·高中 2015 年第 2 期

61


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