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清北学堂数学联赛考前练习题八套


2012 年高中数学奥林匹克模拟真题(八)
一:填空题(每题 8 分,共 8 题) 1、直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距相等,且到点 P(5,6)的距离为 6,则这样的直线共 2、 ? ?n ? 表示 n 的个位数, an ? ? n 2 ? ? ?n? ,则数列 ?an ? 的前 2006 项之和 S2006= 3、已知 cos? ? cos ? ? 2m ,

sin ? ? sin ? ? 2n ,则 cot? cot ? = .

条. .

? ?

4、曲线 x 2 ? my2 ? 1 ,焦点 F1、F2 及准线 ? 1 、 ? 2 与 x 轴交点 K1、K2,这四个点在 x 轴上等距排列,则 m 的值为 . 5、二次项三项式 f ?x ? 满足对任意 a、b ? R, f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ? 1 ,则抛物线 y ? f ( x) 的顶点的轨 迹方程为 . . .

6、方程 x 2 ? x ? y 4 ? y 3 ? y 2 ? y 的整数解为

7、若数列 ?an ? 满足 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 2 n ,且 a1 ? 0 , a2 ? 1 ,则 a2006 = 8.若实数 a , b , x , y 满足

ax ? by ? 3, ax2 ? by 2 ? 7 , ax3 ? by3 ? 16 , ax4 ? by 4 ? 42 ,
则 ax ? by ? ______.
5 5

二:解答题: 9、 (16 分)已知:定义在 ? ??,4? 上的减函数 f ? x ? ,使得 f ? m ? sin x ? ? f 切实数 x 均成立,求实数 m 的范围. 10、 (20 分)数列 ?an ? 中, an ? n ?
3

? cos x ? ? 1 ? 2m ? 7 4
2

对一

??n
i ?1

99

2

? i 2 ? ,求该数列前 n 项和 Sn .
2

11、 (20 分)椭圆 C1 :

2 x 2 ? y ? 1 a ? b ? 0 的左、右焦点分别为 F 、 F ,右顶点为 A , P 为椭圆 C 上 ? ? 1 2 1 a 2 b2

2 2 ? c 2 , 3c 2 ? 任意一点,且 PF 1 ? PF2 最大值的取值范围是 ? ? ,其中 c ? a ? b .

⑴求椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围; ⑵设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C2 在第一象限上任意一点,当 e 取得最 小值时,试问是否存在常数 ? ? ? ? 0? ,使得 ?BAF 1 ? ??BF 1 A 恒成立?若存在求出 ? 的值;若不存在, 请说明理由.

二试:
一、 (40 分)圆 O 是△ ABC 的内切圆. D 、 E 、 F 是 BC 、 CA 、 AB 上的切点, DD ? , EE ? , FF ? 都 是圆 O 的直径.求证: AD ? , BE ? , CF ? 共点. 二、 (40 分)若 x , y , z 是正实数,且 xy ? yz ? zx ? xyz ,求 x7 ( yz ?1) ? y 7 ( zx ?1) ? z 7 ( xy ?1) 的最 小值. 三、 (50 分)证明:对于大于 2 的任意正整数 a ,存在无限多个 n ? N .使得 n | a n ? 1 .
*

四、 (50 分) 设n? N , 把集合{1, 2, …, n}分拆为两个非空集合 A 与 B (即有 A∩B=Φ , A∪B={1, 2, …,

?

n}) , 使得对 A 中任意两个不同的元素 a、 b, 有a ?b? A ; 对 B 中任意两个不同的元素 c、 d, 有 cd ? B . 求 n 的最大可能值,使得存在满足题意的分拆.

2012 年高中数学奥林匹克模拟真题(八)答案
1、简解:y=0,y+x=11±6 2 ,共 3 条 2、10.解析:∵an 是一个以 10 为周期的数列,而

?a
i ?1

10

i

? 0,故 S2006=S6= ? ai ? 10.
i ?1

6

?m 3、 ?m

2

? n2 ?n

2

2 2

? ?n ? ?m
2

2 2

.简解:令 A ?cos? , sin ? ? ,B ?cos ? , sin ? ? ,则知 A,B 在圆 x ? y ? 1 上,AB 中
2 2

点 C(m,n) ,m ?

1 ?o s c ? ?o s c 2

? ?, n ?

1 ?sin ? ? sin ? ? ,且 koc= n ,kAB=- m ,AB⊥OC,由射影 2 m n

定 理 及

C ( m , n ), 知

AB : y ? ?

m m2 ? n2 x? , 并 代 入 圆 的 方 程 , 得 n n

? m 2 ? 2 2m m 2 ? n 2 n2 ? m2 ? n2 ? ? x? ? 0. ?1 ? n 2 ? x ? n2 n2 ? ?

?

?

?

?

2

?n cos? , cos? 为此方程两根,∴有 cos? cos ? ?
?m sin ? sin ? ?
以 y 为主元,同理有 4、 当m ?
2

2

? m2 ? n2 , m2 ? n2
2

?

2

2 ?m 2 ? n 2 ? ? n 2 ? n2 ? m2 cot? cot ? ? 2 2 2 ? ? ? m2 . m ? n m2 ? n2 ,∴

?

1 3 、? . 简解: 当 m>0, 曲线为双曲线, 显然点 F1、 F2 与点 K1、 K2 分别关于原点 0 对称, 且 OF2 2 2

> OK2 ,不妨设点 K2、F2 在 y 轴右侧. 由已知点 K1、K2 、F1、F2 等距排列,可得 F1 K1 ? K1 K 2 ? K 2 F2 ? d , ∴

K 2O ?

1 d 3 K1 K 2 ? , ? OF2 ? d ? 3 OK 2 2 2 2

由 曲 线 方 程 推 得 F2 ? 1 ?

? ? ?

1 ? ,0 ? , m ? ?

? ? ? ? 1 1 1 1 ? ? m ? 。当 m<0 时,曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,显然点 F1、 K2 ,0 ? ? 1 ? ? 3 ? ? ? m 2 1 1 ? 1? ? 1? m m ? ?
F2 与 K1、K2 分别关于原点 0 对称,且 OK2 > OF2 .同理得

1 1? 1 m

? 3?

3 ? m ? ? .综上得 2 1 1? m

1

1 3 ,? . 2 2 1 2 5、 y ? ? x ? 1 ,解析:令 a=b=0,得 2 f (0) ? f (0) ?1 2 m?
∴ f (0) ? ?1 ,设 f ?x ? ? px2 ? qx ? 1 ,比较两边 a、b 项的系数得 p ?

f ?x ? ?

1 2 1 2 x ? qx ? 1 ? ? x ? q ? 2 2

1 ,而观察知 q 可取一切实数,即 2 1 1 ? q2 ?1 顶 点 坐 标 为 ( - q , - q2 ?1 ) ,故所求方程为 2 2

1 y ? ? x2 ? 1 2
6、 (0,-1) , (-1,-1) , (0,0) , (-1,0) , (-6,2) , (5,2) 简解: ?2x ? 1? ? 4 y 4 ? y 3 ? y 2 ? y ? 1= 2 y 2 ? y ? 1 ? y 2 ? 2 y ? 2 y 2 ? y
2

?

?

?

?

2

?

?

2

? 3y 2 ? 4 y ? 1

从而 y>2 或 y<-1 时,有(2y +y) < ?2 x ? 1? < 2 y 2 ? y ? 1
2

2

?

?

2

矛盾

∴-1≤y ≤2。当 y=-1 时,x=0,-1;y=0 时,x=0,-1;y=2 时,x=-6,5,共 6 组. 7、 501? 2
2007

? 1,简解: ?an ?2 ? 2an?1 ? ? ?an?1 ? 2an ? ? 2n
则 bn?1 ? bn ? 2 n ∴ bn ? b1 ?

令 bn ? an?1 ? 2an

? ?b
k ?2

n

k

? bk ?1 ? ? 2 n ? 1

即 an?1 ? 2an ? 2 ? 1 得
n

n ?1 a n ?1 an an 1 1 ? ak ?1 ak ? ? ? 1 ? ∴ ? a ? ? k ?1 ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 1 ? n n ?1 n n ?1 k 2 2 2 2 2 ? 2 k ?1 ? 2

∴ an ? ?n ? 2? ? 2 n?1 ? 1 ∴ a2006 ? 2004? 2 9、由题意可得 ? 8.20.

2005

? 1 ? 501? 22007 ? 1

? ?m ? sin x ? 1 ? 2m ? 7 ? cos 2 x, 4 ? ?m ? sin x ? 4.

因为 ax3 ? by3 ? 16 ,所以 (ax3 ? by3 )( x ? y) ? 16( x ? y) . 所以 (ax4 ? by 4 ) ? xy(ax2 ? by 2 ) ? 16( x ? y) .即 42 ? 7 xy ? 16( x ? y) ……⑴ 因为 ax2 ? by 2 ? 7 ,所以 (ax2 ? by 2 )( x ? y) ? 7( x ? y) . 所以 (ax3 ? by3 ) ? xy(ax ? by) ? 7( x ? y) .即 16 ? 3xy ? 7( x ? y) ……⑵ 由⑴、⑵,解得 x ? y ? ?14 , xy ? ?38 .又因为 ax4 ? by 4 ? 42 ,所以 (ax4 ? by 4 )( x ? y) ? 42( x ? y) . 所以 (ax5 ? by5 ) ? xy(ax3 ? by3 ) ? 42( x ? y) .所以 ax5 ? by5 ? 42( x ? y) ?16xy ? 20 . 注:用递归数列也可求解. 即?

? ?m ? 1 ? 2m ? ? sin 2 x ? sin x ? 3 , 4 对x ? R恒成立 , ?m ? 4 ? sin x. ?

又 ? sin 2 x ? sin x ? 所以 ?

3 ? ?(sin x ? 1 )2 ? 1 ,所以 4 ? sin x ? 3 . 4 2 2

? ? ? m ? 1 ? 2m ? ? 1 , ? m ? 1 ? 1 ? 2m , 1 3 所以 m ? ? ,或 ? m ? 3 . 2 所以 ? 2 2 2 ?m ? 3. ? ? ?m ? 3.
3

10、 an ? n ?

? (n
i ?1

99

2

? i 2 )2 ? (n ? 99)2 (n ? 98) 2 ...(n ? 1) 2 n2 (n ? 1) 2 ...(n ? 98) 2 (n ? 99) 2

? 1 [(n ? 100)2 ? (n ? 100)2 ] ? (n ? 99)2 ? (n ? 98)2 ...(n ? 99)2 , 400 1 (n ? 100)2 ? (n ? 99)2 ? (n ? 98)2 ...(n ? 99)2 所以 Sn ? Sn?1 ? 400 ? 1 (n ? 99)2 ? (n ? 98)2 ...(n ? 99)2 (n ?100)2 . 400 1 (n ? 100)2 ? (n ? 99)2 ? (n ? 98)2 ...(n ? 99)2 即得 Sn ? 400 ? Sn?1 ? 1 (n ? 99)2 ? (n ? 98)2 ...(n ? 99)2 (n ? 100)2 . 400 1 n 2 所 以 新 数 列 {Sn ? 是 其 首 项 为 (? 1 0 ?0n)? ( 2 ? n 9?9 ) 2(n ? 9 8 ) 2 .常 . .数 ( 数 9列 9, ) } 400 S1 ? 1 ? 0 ? 0 .所以 Sn ? 1 (n ? 100)2 ? (n ? 99)2 ? (n ? 98)2 ...(n ? 99)2 . 400 400
即 Sn ?

n2 (n ? 100)2 ? (n2 ? i 2 )2 . ? 400 i ?1

99

11、⑴设 P ? x, y ? ,又 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,
2 2 2 ∴ PF1 ? ? ?c ? x, ? y ? , PF2 ? ? c ? x, ? y ? . PF 1 ? PF 2 ? x ? y ?c .

2 2 2 y2 x , 0 ? x2 ? a2 . ? ? 1 ,得 y 2 ? b 2 ? b x 又 2 2 2 a a b

∴ PF1 ? PF2 ? ? ?1 ?

?

b2 ? x 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 x 2 ? b 2 ? c 2 . ? a2 ? a2
max

∴当 x ? a 时 PF1 ? PF2
2 2

? b2 , c2 ? b2 ? 3c2 , c2 ? a2 ? c2 ? 3c2 .



1 2 1 ? c 2 ? 1 ,即 1 . ? e2 ? 1 .∴ ? e ? 2 2 2 4 a 2 4 2
2 1 时, a ? 2c, b ? 3c .∴ C : x 2 ? y ? 1, A 2c,0 . ? ? 2 2 c 2 3c 2

⑵当 e ?

设 B ? x0 , y0 ? , ? x0 ? 0, y0 ? 0? ,则

x0 2 y0 2 ? ?1. c 2 3c 2

当 AB ? x 轴时, x0 ? 2c , y0 ? 3c ,则 tan ?BF1 A ? 故 ?BAF1 ?

3c ? 1 .故 ?BF A ? ? . 1 3c 4

? ? 2?BF A ,猜想 ? ? 2 ,使 ?BAF ? ??BF A 总成立. 1 1 1
2
? y0 ? y0 y ? , tan ?BF1 A ? 0 . x0 ? a x0 ? 2c x0 ? c

当 x0 ? 2c 时, tan ?BAF1 ?

∴ tan 2?BF1 A ?

2 tan ?BF1 A ? 1 ? tan 2 ?BF1 A

2 y0 x0 ? c ? y ? 1? ? 0 ? ? x0 ? c ?
2



又 y0 2 ? 3c 2 ?

? x0 2 ? ? 1? ? 3 ? x0 2 ? c 2 ? , 2 ?c ?
2 y0 ? x0 ? c ?

? y0 2 ? ? tan ?BAF1 . ∴ tan 2?BF1 A ? 2 ? x0 ? c ? ? 3 ? x02 ? c 2 ? x0 ? 2c
又 2?BF1 A 与 ?BAF1 同在 0,

? ?2 ? ? ?2 ,? ?

内,

∴ 2?BF1 A = ?BAF1 ,故存在 ? ? 2 ,使 ?BAF 1 ? ??BF 1 A 恒成立.

二试答案
一、设直线 AD?, BE ?, CF ? 交 BC , CA, AB 于 A?, B?, C ? .过 D ? 作圆 O 的切线交 AB, AC 于 M , N .显然

MN / / BC ?△AMD? ∽△ABA?,△AD?N ∽△AA?C .



MD? ? AD? ? D?N ? BA? ? MD? ……⑴ BA? AA? A?C A?C D?N

连 结 OM , ON , 记 圆 O 半 径 为 r . 易 证 B 、 D 、 O 、 F 与 C 、 D 、 O 、 E 分 别 共 圆 , 则

?FOD? ? ?B, ?EOD? ? ?C .

1 ?FOD? ? 1 ?B , ?NOD? ? 1 ?EOD? ? 1 ?C . 2 2 2 2 MD? ? tan ?MOD? ? tan B , ND? ? tan ?NOD? ? tan C , 因为 r 2 r 2
所以 ?MOD? ?

B B ? tan 2 ? tan 2 MD BA 所以 ……⑵将⑵代入⑴得: . ? ? A?C tan C D?N tan C 2 2 C A ? tan 2 AC ? tan 2 BA? ? CB? ? AC? ? 1 . CB 同理可知: , . 此时 根据塞瓦逆定理, 可知 AA?, BB?, CC? ? ? B?A tan A C ?B tan B A?C B?A C?B 2 2
三线共点.即 AD?, BE ?, CF ? 共点.

?x ? a ? b ? c ? a ? 1 ? 1 ? 1 ?1 a ? b ? c 其中 a, b, c 是正实数, 二、由题设条件得: ,设 ? y ? x y z b ? a?b?c ?z ? c ?
则左边 ?

(a ? b ? c) 7 ? (a ? b ? c) 2 ? ? a7 ? bc ?1? ? ?

??

(a ? b ? c)7 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ab ? bc ? ac ? ac ? bc a7
7 6 5 5 7 6 5 5

37 (abc) 3 8a 8 b 8 c 8 (abc) 3 a 8 b 8 c 8 ?? ? ? 37 ? 8 ? 3 3 ? ? 8 ? 38 . 7 7 bc a a bc
当且仅当 a ? b ? c 时,即 x ? y ? z ? 3 时取等号.
k p * 三、不妨设 p 为 a ? 1 的一个素因子,则我们证明 p a ? 1 (其中 k ? N ) .
k

由于 a
m

pk

m m , ? 1 ? [(a ? 1) ? 1] ? 1 ? p (a ?1) ? ? C p k ( a ? 1) pk k m? 2

pk

而 C p k ( a ? 1) ?
m

p k ( p k ? 1)...( p k ? m ? 1) ( a ? 1) m , m ! 中含有素因子 p 的个数为 m!

? ? ?m? ? m ? m m 中含有素因子 p 的个数大于 ? ? 2 ? ? ... ? ? m ? ... ? m ? ... ? m ? ... ? m ,所以 C p k ( a ? 1) t ? t ? ? p p p ? 1 p p p ? ? ? ? ? ?

m ?k m m m m k ? m ? m 个, 又k ?m? , 所以 C p k (a ? 1) 可以被 p k 整除,? C p 可以被 p k 整除, k ( a ? 1) p ?1 p ?1 m? 2
因此 a
pk m m 可以被 p k 整除.由于 k 有无穷多个,所以,原命题成立. ? 1 ? p (a ? 1) ? ? C p k (a ? 1) k m? 2 pk

pk

四、 (1)若 1∈B,∵1×2=2,1×3=3,1×5=5,∴2,3,5∈A 或 n≤4.假设 n≥5,则∴2,3,5∈A, 2+3=5,与题意矛盾! (2)当 1∈A,2∈B,不防假定 n≥4. 当 3∈A 时,∵1+3=4,∴4∈B. ∵2,4∈B,2×4=8,∴8∈A 或 n≤7. 当 n≥8 时,∵1,3,8∈A,3+5=8,1+8=9,∴5,9∈B 或 n≤8. 当 n≥9 时,∵2,5∈B,2×5=10,∴10∈A 或 n≤9. 当 n≥10 时,∵8,10∈A,8+10=18,∴18∈B 或 n≤17. 设 n≥18 时,由于 2,9,18∈B,2×9=18,所以产生矛盾! ∵3∈A 时,n≤17. 当 n≥6 时,∵1,6∈A,1+5=6,1+6=7,∴5,7∈B 或 n≤6. 当 n≥7 时,∵2,5,7∈B,2×5=10,2×7=14. ∴10,14∈A 或 n≤13. 当 n≥14 时,∵6,14∈A,6+8=14,∴8∈B. ∵2,8∈B,2×4=8,∴4∈A.但 4,6,10∈A,4+6=10,矛盾! ∴当 3∈B 时,n≤13. (3)若 1∈A,2∈A,不防假设 n≥18,则由 1+2=3 知 3∈B. 当 4∈B 时,∵3,4∈B,3×4=12,∴12∈A. ∵2,12∈A,2+10=12, ∴10∈B ∴3,10∈B,3×10=30, ∴30∈A 或 n≤29. 当 n≥30 时,∵2,12,30∈A,2+28=30,12+18=30, ∴18,28∈B. ∵3,18∈B,3×6=18,∴6∈A.∵4,28∈B,4×7=28,∴7∈A. 但 1,6,7∈A,1+6=7,矛盾!故 n≤29. 当 4∈A 时,∵1+4=5,2+4=6,∴5,6∈B. ∵3,5,6∈B,3×5=15,3×6=18,∴15,18∈A. ∵4,15∈A,∵4+11=15,∴11∈B.

若 n≥33,∵15,18∈A,15+18=33,∴33∈B. ∵3,11∈B,3×11=33,∴33∈A,与 33∈B 矛盾!故 n≤32. (1) 、 (2) 、 (3)说明:nmax≤32. (4)使 n=32 成立的例子有:

A={1,2,4,15,18,21,24,27,30},B={1,2,3,…,32}/A.
其中,A 中 1+2=3,1+4=5,2+4=6,而任意一个不小于 15 的数加上另一个数,或者大于 30,或 者大于 15 且不是 3 的倍数,这些都不属于 A. 再考虑 B 中,若取出的两数的积在 33 以内,则两数中必有 3 或 6(否则,若 3 与 6 均不在其中,则两 数之积不小于 5×7>32) ,易知此积必为不小于 15 的 3 的整倍数,但这些都不在 B 中. 由此上述例子成立.综上可知:nmax=32.


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