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北京市东城区普通校2014届高三上学期期中联考数学(文)试题


高三数学(文科) 2013.11 东城区
1. 设 U ? R , A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} , 则 A ? CU B = A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} ( D. {x | x ? 1} ( C. a ? b
2 2

r />
2. 已知 a ? b ,则下列不等式正确的是 A.


b

1 1 ? a b

B. 1 ? a ? 1 ? b

D. 2 ? 2
a

3. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A. y ? ?





1 x

B. y ? ? x2 ? 3

C. y ? e

| x|

D. y ? cos x ( )

4. 已知 ? ? ( A.

?
2

, ? ), sin ? ?
B. 7

3 ? ,则 tan( ? ? ) 等于 5 4
C. ?

1 7

1 7

D. ? 7 ( )

5. 若 a ? R ,则“ a ? 8 ”是“ log 2 a ? 2 ”的 A. 充分而不必要条 件 w.w.w.k.s. C. 充分必要条件 w.w.
3

B.

必 要 而 不 充 分 条 件

D. 既不充分也不必要条件 )

2 x 6. 若 a ? ( ) , b ? x 2 , c ? log 2 x ,当 x ? 1 时, a , b, c 的大小关系为( 3 3
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. c ? a ? b

7. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE BD ? A. 1 B. ? 2 C. 2

( D. 2



8. 已知函数 f ( x) , x ? R 满足 f (2) ? 3 ,且 f ( x) 在 R 上的导数满足 f ?( x) ? 1 ? 0 , 则不等式 f ( x ) ? x ? 1 的解为
2 2





( ? ?, ? 2) A.

B. ( 2 ,??)

( ? ?, ? 2)? ( 2 ,??) C.

(? 2 , 2 ) D.

9.若曲线 y ? x3 ? ax 在原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 ,则实数 a ? 10.若向量 a= ,b=(- 3 , 4 ),则( a· b) = ( 1 , 2) ( a ? b) 。



11.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) ? 。 12.已知 {an } 是公比为 2 的等比数列,若 a3 ? a1 ? 6 ,则 a1 ? ;

5 2

a1 ? a2 ? .....? an ? ______________。
?1 x ?( ) , x ? 1 13.函数 f ( x) ? ? 2 的值域为______________。 ?log x , x ? 1 ? 2
14. 关于函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: ① b ? 0 , c ? 0 时, f ( x) ? 0 只有一个实数根; ② c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数;

2

2

2

(0 , c) 对称; ③ y ? f ( x) 的图象关于点
④函数 f ( x) 至多有两个零点。 其中正确的命题序号为______________。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x , x ? [ , π ] (Ⅰ)求 f (

π 2

2π ) 的值; 3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值。

16.

(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A、B,C,所对的边分别为 a , b, c ,且 C ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 c ? a ? 5 ? 10 ,求 ?ABC 的面积。

3 5 ? , sin A ? 4 5

17.

(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 , S 5 ? 4a3 ? 6 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和公式。 ? Sn ?

18. (本小题满分 13 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a) . (Ⅰ)求 f ' (0) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间。

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅲ)对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围。

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 { an } 是首项为 a1 ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列。设 bn ? 2 ? 3log 1 an , 4 4 4

( n ? N* ) ,数列 { cn } 满足 cn ? anbn ;
(Ⅰ)求证:数列 { bn } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { cn } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)若 cn ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

东城区普通校 2013-2014 学年第一学期联考试卷
高三数学(文科)参考答案
(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分)
题 号 1
[来

源:学科

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 2

12 ;

13

14

网]

答 案

B B
科网]

[

来源:学

C

A

A

D

C

C

2

(-10,30)

1 ? 2

4 n (4 ? 1) 3

?0, ? ? ?

① ② ③

15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f (

2π 2π 2π 2π 3 3 3 3 . ) ? 3 sin 2 ? sin cos ? ? ? 3 3 3 3 4 4 2 3 1 π 3 , ( 1 ? cos2x ) ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2
π 2 π 2 π 5π ?[ , ] , 3 3 3

?????4 分

(Ⅱ) f ( x) ?

?????8 分

因为 x ? [ , π ] ,所以 2 x ? 当 2x ? 当 2x ?

?????9 分 ???? 11 分

π π 2π ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最大值为 3 ; 2 3 3

π 3π 11π 3 ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最小值 为 ?1 ? . 3 2 12 2

????13 分

1 错误!未指定书签。6. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 C ?

3 5 ? , sin A ? 4 5
2

所以 cos A ? 1 ? sin A ? 由已知得 B ?

2 5 , 5

??????2 分 ??????3 分

?
4

?A

所以 sin B ? sin(

?
4

? A) ? sin

?
4

cos A ? cos

?
4

sin A

?

2 2 5 2 5 10 . ? ? ? ? 2 2 2 5 10
3? 4
所以 sin C ?

??????5 分

(Ⅱ)由(1)知 C ?

2 2

??????6 分

由正弦定理得

a sin A 10 , ? ? c sin C 5

??????8 分

又因为 c ? a ? 5 ? 10 ,所以 c ? 5, a ? 10 所以 S ?ABC ?

?????11 分

1 1 10 5 ac sin B ? 10 ? 5 ? ? . 2 2 10 2

?????13 分

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 S 5 ? 4a3 ? 6 所以 5a1 ?

5? 4 d ? 4(a1 ? 2d ) ? 6 2
??????2 分

a1 ? 2d ? 6 ,
又因为 a1 , a3 , a9 成等比数列, 所以 a1a9 ? a3 ,即 a1 (a1 ? 8d ) ? (a1 ? 2d ) 2
2

a1d ? d 2
因为 d ? 0 ,所以 a1 ? d 从而 a1 ? d ? 2 即数列 {an } 的通项公式为: an ? 2n . (Ⅱ)由 an ? 2n ,可知 S n ? n ? n
2

??????4 分

??????6 分 ??????8 分 ?????10 分

所以

1 1 1 1 ? ? ? , S n n?n ? 1? n n ? 1

所以

1 1 1 1 ? ? ...... ? ? S1 S 2 S n ?1 S n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ......... ? ( ? )?( ? ) 1 2 2 3 n ?1 n n n ?1 1 ? 1? n ?1 n ? n ?1
所以数列 ?

?1? n . ? 的前 n 项和为 n ?1 ? Sn ?

??????13 分

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

f ' ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a) ? e x (2 x ? a) ? e x x[ x ? (a ? 2)]
∴ f ' (0) ? 0 . (Ⅱ)令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? a ? 2 函数 f ( x) 定义域为 R,且对任意 x ?R, e ? 0 ,
x

??????3 分 ??????4 分

当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时,

f ' ( x) ? e x x 2 ? 0 , f ( x) 的单调递增区间是 (??,??) .
当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时,

?????6 分

x
f ' ( x) f ( x)

(??,0)
+ ↗

0 0

(0, a ? 2)


a?2
0

(a ? 2,??)
+ ↗

所以 f ( x) 的单调递增区间是 (??,0) , (a ? 2,??) ,单调递减区间是 (0, a ? 2) . ?????9 分 当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时,

x
f ' ( x) f ( x)

(??, a ? 2)
+ ↗

a?2
0

(a ? 2,0)


0 0

(0,??)
+ ↗

所以 f ( x) 的单调递增区间是 (??, a ? 2) , (0,??) ,单调递减区间是 (a ? 2,0) . ?????12 分 综上, a ? 2 时, f ( x) 的单调递增区间是 (??,??) .
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

a ? 2 时, f ( x) 的单调递增区间是 (??,0) , (a ? 2,??) ,
单调递减区间是 (0, a ? 2) .

a ? 2 时, f ( x) 的单调递增区间是 (??, a ? 2) , (0,??) ,
单调递减区间是 (a ? 2,0) . 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0,??) , ?????1 分 ?????2 ?????13 分

f ' ( x) ? 1 ?


1 , x

f ' ( 2) ?

1 , f (2) ? 1 ? ln 2 , 2

?????3 分

1 ? 曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (1 ? ln 2) ? ( x ? 2) , 2
即 x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 , (Ⅱ)令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 列表: ?????4 分 ?????5 分

x
f ' ( x) f ( x)

(0,1)


1
0

(1,??)
+ ↗ ?????7 分

0

? 函数 y ? f ( x) 的极小值为 f (1) ? 0 ,
(Ⅲ)依题意对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立 等价于 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立

?????8 分

1 ln x ? 在 (0, ??) 上恒成立, x x 1 ln x 1 ? ? g ( x ) ? 令 x x ln x ? 2 g ' ( x) ? x2
可得 b ? 1 ? 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? e 列表:
2

?????10 分

?????11 分

x
g ' ( x) g ( x)

(0, e 2 )


e2
0

(e 2 ,??)
+ ↗ ?????13 分 ?????14 分

1 e2 1 ? 函数 y ? g ( x) 的最小值为 g (e 2 ) ? 1 ? 2 , e 1 根据题意, b ? 1 ? 2 . e 1?
20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知可得, a n ? a1 q
n ?1

1 1 ? ( ) n , bn ? 2 ? 3 log 1 ( ) n ? 3n 4 4 4

?bn ? 3n ? 2

? bn?1 ? bn ? 3,

?{bn } 为等差数列,其中 b1 ? 1, d ? 3 .
1 4

?????5 分

(Ⅱ) cn ? an bn ? (3n ? 2)( )

n

Sn ? 1?

1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ?? ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 4 4



1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? ? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ② 4 4 4 4 4 4
① - ② 得

3 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ( ) 4 ? ?? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 4

1 1 ( ) 2 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 4 ? ? 3? 4 ? (3n ? 2)( ) n ?1 1 4 4 1? 4
? 1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 2 4 2 12 n ? 8 1 n ?1 ? ?( ) 3 3 4 1 4
n

? Sn ?

?????9 分

(Ⅲ) c n ? (3n ? 2) ? ( )

1 1 c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 1 3n ? 1 1 ? ( )n [ ? (3n ? 2)] ? ?9 ? ( ) n ?1 ( n ? 1) 4 4 4
当 n ? 1 时, cn?1 ? cn ,当 n ? 2 时, cn?1 ? cn

? (cn ) max ? c1 ? c2 ?
若 cn ?

1 , 4

1 2 1 1 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,则 m 2 ? m ? 1 ? 即可 4 4 4

? m2 ? 4m ? 5 ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 1 .

?????14 分


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