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河北省邢台市2015届高考数学摸底试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

河北省邢台市 2015 届高考数学摸底试卷(理科)
一、选择题:本大题包括 l2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2 1. (5 分)已知全集 A={x∈N|x +2x﹣3≤0},B={y|y? A},则集合 B 中元素的个数为()

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. (5 分)已知复数 z1=﹣ A. z1 =z2 3 3 C. z1 ﹣z2 =1
2 2 2

i,则下列命题中错误的是() B. |z1|=|z2| D. zl、z2 互为共轭复数

3. (5 分)双曲线 x ﹣4y =一 1 的渐近线方程为() A. x±2y=0 B. y±2x=0 C. x±4y=0

D. y±4x=0

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的值是 13,则判断框内应为()

A. k<6?

B. k≤6?

C. k<7?

D. k≤7?

5. (5 分)已知 p:1g(x﹣1)≥1g(3﹣x) ,q: A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

≥1,则 p 是 q 的()

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. (5 分)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 l 的正方形,如图所示,则该几何体

的体积为()

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

7. (5 分)给出下列命题: ①函数 f(x)= 是奇函数;

②函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数; ③函数 与 y=﹣l0g3x 的图象关于直线 y=x 对称;

④若 y=f(x)是定义在 R 上的函数,则 y=f(1+x)与 y=f(1﹣x)的图象关于 y 轴对称. 其中正确命题的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. (5 分)设实数 x、y,满足约束条件

,则 z=2x+3y+1 的最小值为()

A. 27

B. 25

C. 17

D. 15

9. (5 分)先把函数 不变) ,再把新得到的图象向右平移 时,函数 g(x)的值域为() A. B.

的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标 个单位,得到 y=g(x)的图象.当 )

C.

D. [﹣1,0)

10. (5 分)已知正项等比数列{an}满足 S3﹣3a1﹣2a2=0,若存在两项 an?am 使得 则 A. 9 的最小值是() B. C. D.



11. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为 F1、F2、A、B 为

其左、右两个顶点,以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M,且 ∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.

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12. (5 分)已知函数 f(x)= A. 1 B. 2 C. 3

,则方程 2f(x)=1 的根的个数为() D. 4

二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)若向量 , 满足| |=1,| |= ,且 ⊥( + ) ,则 与 的夹角为.

14. (5 分)已知 tan(3π ﹣α )=﹣

,则 tanβ =.

15. (5 分)已知 a=

的二项展开式中,x 的系数为.

16. (5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ac=b ﹣a ,A=

2

2

,则 B=.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a1+a5= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1﹣bn=an+1,求数列 的前 n 项和 Tn. =63.

18. (12 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= (I)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)求二面角 B 一 PC﹣D 的余弦值.



19. (12 分)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩 分为 A,B,C,D,E 五个等级,分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,该校某班学生两科 目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人.

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(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分.从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和 ξ 的分布列和数学期望. 20. (12 分)已知圆 C: (x+1) +y =20 点 B(l,0) .点 A 是圆 C 上的动点,线段 AB 的垂直平 分线与线段 AC 交于点 P. (I)求动点 P 的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ)设 ,N 为抛物线 C2:y=x 上的一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交曲线 Cl
2 2 2

于 P,Q 两点,求△MPQ 面积的最大值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax﹣e (e 为自然对数的底数) . (I)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间及极值; (Ⅱ)当 2≤a≤e+2 时,求证 f(x)≤2x.
x

四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,并用 2 日铅笔将答题卡上所选题 目对应的题号方框涂黑-按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂, 按本选考题的首题进行评分. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD. 的中点,E 为 BC 的中点.

【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】 23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐 标方程为: ,曲线 C 的参数方程为: (α 为参数) .

(I)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

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【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣2| (I)解不等式 f(x)≥2; (Ⅱ)当 x∈R,0<y<1 时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤ .

河北省邢台市 2015 届高考数学摸底试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题包括 l2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2 1. (5 分)已知全集 A={x∈N|x +2x﹣3≤0},B={y|y? A},则集合 B 中元素的个数为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 集合的表示法. 专题: 计算题;集合. 2 分析: 由题意,全集 A={x∈N|x +2x﹣3≤0}={0,1},B={y|y? A}中的元素为集合 A 的子集, 从而求解. 2 解答: 解:全集 A={x∈N|x +2x﹣3≤0}={0,1}, B={y|y? A}中的元素为集合 A 的子集, 2 故集合 B 中元素的个数为 2 =4; 故选 C. 点评: 本题考查了集合的元素与集合关系的应用,属于基础题.

2. (5 分)已知复数 z1=﹣ A. z1 =z2 3 3 C. z1 ﹣z2 =1 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 复数 z1=﹣ =0.即可判断出. 解答: 解:∵复数 z1=﹣ ∴ =z2,|z1|=|z2|, =0.
2

i,则下列命题中错误的是() B. |z1|=|z2| D. zl、z2 互为共轭复数

i,可得

=z2,|z1|=|z2|,



i, ,因此 A,B,D 正确.

对于 C:

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则,考查了运算能力,属于基础题. 3. (5 分)双曲线 x ﹣4y =一 1 的渐近线方程为() A. x±2y=0 B. y±2x=0 C. x±4y=0
2 2

D. y±4x=0

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 2 分析: 双曲线 x ﹣4y =﹣1 的渐近线方程为 x ﹣4y =0,由此能求出结果. 2 2 2 2 解答: 解:双曲线 x ﹣4y =﹣1 的渐近线方程为 x ﹣4y =0, 整理,得 x±2y=0. 故选:A. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是基础题,解题时要注意双曲线性质的合理 运用. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的值是 13,则判断框内应为()

A. k<6?

B. k≤6?

C. k<7?

D. k≤7?

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k,c,a,b 的值,当 c=13 时,k=6,此时 应该不满足条件,退出循环,输出 c 的值为 13,故判断框内应为 k<6?. 解答: 解:执行程序框图,有 a=1,b=1,k=0 k=1,满足条件,c=2,a=1,b=2 k=2,满足条件,c=3,a=2,b=3 k=3,满足条件,c=5,a=3,b=5 k=4,满足条件,c=8,a=5,b=8 k=5,满足条件,c=13,a=8,b=13 k=6,此时应该不满足条件,退出循环,输出 c 的值为 13, 故判断框内应为 k<6? 故选:A. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 5. (5 分)已知 p:1g(x﹣1)≥1g(3﹣x) ,q: A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 ≥1,则 p 是 q 的()

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出 p,q 的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义进行判断.

解答: 解:由 1g(x﹣1)≥1g(3﹣x) ,得

,即

,即 2≤x<3,



≥1 解得

,即

,即 2<x≤3,

故 p 是 q 的既不充分也不必要条件, 故选:D 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法求出对应的等价条件 是解决本题的关键. 6. (5 分)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 l 的正方形,如图所示,则该几何体

的体积为() A. B. C. D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断几何体是正方体削去一个角,先计算被消去的三棱锥体积,再求几何体的体积 即可. 解答: 解:该几何体是正方体削去一个角,体积为 1﹣ =1﹣ = .

故选:D. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积和表面积,根据已知的三视图分析出几何体的形 状是关键. 7. (5 分)给出下列命题:

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①函数 f(x)=

是奇函数;

②函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数; ③函数 与 y=﹣l0g3x 的图象关于直线 y=x 对称;

④若 y=f(x)是定义在 R 上的函数,则 y=f(1+x)与 y=f(1﹣x)的图象关于 y 轴对称. 其中正确命题的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 由函数的定义域不关于原点对称判断①;由函数 f(x)=1 的图象不关于原点对称判 断②; 由互为反函数的两个函数图象间的关系判断③;根据函数图象的翻折与平移判断④. 解答: 解:①函数 f(x)= 的定义域为{x|x≠2k ,k∈Z},图象不关

于原点对称,不是奇函数,①错误; ②函数 f(x)=1 是偶函数不是奇函数,②错误; ③函数 与 y=﹣log3x 互为反函数,图象关于直线 y=x 对称,③正确;

④若 y=f(x)是定义在 R 上的函数, 函数 y=f(1+x)是把 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位得到的,y=f(1﹣x)是由 y=f(x) 得到 y=f(﹣x) , 在把 y=f(﹣x)右移 1 个单位得到 y=f[﹣(x﹣1)],∴y=f(1+x)与 y=f(1﹣x)的图象关 于 y 轴对称,④正确. ∴正确的命题是③④. 故选:B. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数奇偶性的性质,考查了函数图象的 对称性,是中档题.

8. (5 分)设实数 x、y,满足约束条件

,则 z=2x+3y+1 的最小值为()

A. 27

B. 25

C. 17

D. 15

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作差可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数 求得 z=2x+3y+1 的最小值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

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联立

,得 A(4,2) .

化则 z=2x+3y+1 为 由图可知,当直线

, 过 A(4,2)时,z 有最小值为 2×4+3×2+1=15.

故选:D. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

9. (5 分)先把函数 不变) ,再把新得到的图象向右平移 时,函数 g(x)的值域为() A. B.

的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标 个单位,得到 y=g(x)的图象.当 )

C.

D. [﹣1,0)

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由调价根据函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,可得 g(x)=sin(2x﹣ 再利用正弦函数的定义域和值域求得当 解答: 解:把函数 标不变) ,可得函数 y=sin(2x﹣ 再把新得到的图象向右平移 的图象. 当 )时,2x﹣ ∈(﹣ , ) , )时,函数 g(x)的值域. 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐 )的图象; )﹣ ]=sin(2x﹣ ) ) ,

个单位,得到 y=g(x)=sin[2(x﹣

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故当 2x﹣ 趋于﹣ 时,g(x)的最小值趋于﹣ ,当 2x﹣ = 时,g(x)取得最

大值为 1, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域, 属于基础题. 10. (5 分)已知正项等比数列{an}满足 S3﹣3a1﹣2a2=0,若存在两项 an?am 使得 则 A. 9 的最小值是() B. C. D. ,

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得数列的公比 q=2,由通项公式易得 (m+n)=1,进而可得 (m+n)= (5+ + ) ,由基本不等式可得. = ( )

解答: 解:设正项等比数列{an}的公比为 q,则 q>0, ∵S3﹣3a1﹣2a2=0,∴a1+a2+a3﹣3a1﹣2a2=0, 2 ∴a3﹣2a1﹣a2=0,∴a1q ﹣2a1﹣a1q=0, 消去 a1 可解得 q=2,或 q=﹣1(舍去) , 又∵存在两项 an?am 使得 ∴am?an=16a1 ,∴a1 q =16a1 , m+n﹣2 m+n﹣2 ∴q =16,即 2 =16, ∴m+n﹣2=4,∴ (m+n)=1, ∴ = ( ) (m+n) )≥ (5+2 )= ,
2 2 m+n﹣2 2



= (5+ + 当且仅当 = ∴

即 m=2 且 n=4 时取等号,

的最小值是

故选:C 点评: 本题考查等比数列的性质和通项公式,涉及基本不等式的应用,属中档题.

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11. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为 F1、F2、A、B 为

其左、右两个顶点,以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M,且 ∠MAB=30°,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的渐近线方程和圆的方程,求出交点 M,再由两点的斜率公式,得到 a, b 的关系,再由离心率公式即可得到所求值. 解答: 解:双曲线
2

=1 的渐近线方程为 y=
2 2

x,

以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =c , 将直线 y= x 代入圆的方程,可得,

x=

=a(负的舍去) ,y=b,

即有 M(a,b) ,又 A(﹣a,0) , 由于∠MAB=30°,则直线 AM 的斜率为 k= 又 k=
2



,则 3b =4a =3(c ﹣a ) ,
2

2

2

2

2

即有 3c =7a , 则离心率 e= .

故选 B. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线和圆的位置关系,直线的斜率公式,考查 离心率的求法,属于基础题.

12. (5 分)已知函数 f(x)= A. 1 B. 2 C. 3

,则方程 2f(x)=1 的根的个数为() D. 4

考点: 利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 根据解析式利用导数判断在(﹣∞,﹣1) (1,+∞)单调递增, (﹣1,1)单调递减, 极大值 f(﹣1)=4,极小值 f(1)=0,画出图象可判断答案.求出

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解答: 解:∵函数 f(x)=



∴x∈[1,+∞)单调递增, f(1)=1﹣1=0, 3 当 x<1 时,f(x)=x ﹣3x+2, 2 f′(x)=3x ﹣3,x<1, 2 f′(x)=3x ﹣3=0,x=±1, 2 f′(x)=3x ﹣3>0,x>1(舍去) ,x<﹣1, 2 f′(x)=3x ﹣3<0,﹣1<x<1, ∴在(﹣∞,﹣1) (1,+∞)单调递增, (﹣1,1)单调递减, 极大值 f(﹣1)=4,极小值 f(1)=0, ∴f(x)= , f(x)与 y= 交点 3 个, ∴方程 2f(x)=1 的根的个数为 3, 故选:C

点评: 本题考查了运用导数判断函数的单调性,极值,结合图象判断函数交点个数,方程 的根的问题,属于中档题. 二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)若向量 , 满足| |=1,| |= ,且 ⊥( + ) ,则 与 的夹角为 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 与 的夹角为 θ ,则有 cosθ 的值,即可求得 θ 的值.
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=0,化简可得 1=﹣1×

×cosθ ,求出

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解答: 解:∵向量 , 满足| |=1,| |= 设 与 的夹角为 θ ,则有 ∴cosθ =﹣ . ,

,且 ⊥( + ) , ,故有 1=﹣1× ×cosθ ,

=0,即

再由 0≤θ ≤π ,可得 θ = 故答案为 .

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于基础题. 14. (5 分)已知 tan(3π ﹣α )=﹣ ,则 tanβ = .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式化简已知条件,然后利用两角和的正切函数求解即可. 解答: 解:tan(3π ﹣α )=﹣ ,∴tan ,∴ = ,

可得

=



解得 tanβ = . 故答案为: ; 点评: 本题考查两角和的正切函数的应用,诱导公式化简求值,考查计算能力.

15. (5 分)已知 a=

的二项展开式中,x 的系数为﹣40.

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由条件求得 a=2,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于,1,求出 r 的值, 即可求得展开式中 x 的系数. 解答: 解:∵a= =sinx =1﹣(﹣1)=2,

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r 5﹣r 10﹣3r



=

的展开式的通项公式为 Tr+1= ?2 =﹣40,
2

?(﹣1) ?2

?x



令 10﹣3r=1,求得 r=3,故展开式中 x 的系数为﹣

故答案为:﹣40. 点评: 本题主要考查定积分的运算,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开 式中某项的系数,二项式系数的性质,属于基础题.
2 2

16. (5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ac=b ﹣a ,A=

,则 B=



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: ac=b ﹣a ,A=
2 2 2

,利用正弦定理可得 sinAsinC=sin B﹣sin A,又 C=
2 2 2

2

2

,可得

=sin B﹣ ,化为 cosB+ 可. 解答: 解:∵ac=b ﹣a ,A= ∴sinAsinC=sin B﹣sin A, ∴ 化为
2 2 2 2 2

sinB=4sin B﹣1,与 sin B+cos B=1 联立解出即



=sin B﹣ , = ,

2

化为 cosB+ sinB=4sin B﹣1, 2 2 又 sin B+cos B=1, 联立解得 ∴B= . ,sinB= .

点评: 本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、同角三角函数基本关系式,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a1+a5= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1﹣bn=an+1,求数列 的前 n 项和 Tn. =63.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (Ⅰ)根据已知条件建立方程组,通过解方程求出首项和公差,进一步求出数列的 通项公式. (Ⅱ)首先利用叠加法求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求数列的和. 解答: 解: (Ⅰ)法一:设正项等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,an>0





得 ∴an=2n+1 法二:∵{an}是等差数列且 ,∴ ,

又∵an>0∴a3=7.?(2 分)∵ ∴d=a4﹣a3=2,∴an=a3+(n﹣3)d=2n+1. (Ⅱ)∵bn+1﹣bn=an+1 且 an=2n+1, ∴bn+1﹣bn=2n+3 当 n≥2 时,bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+?+(b2﹣b1)+b1 =(2n+1)+(2n﹣1)+?+5+3=n(n+2) , 当 n=1 时,b1=3 满足上式,bn=n(n+2) ∴



=



点评: 本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法,利用裂项相消法求数列的和,属于 基础题型. 18. (12 分)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= (I)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)求二面角 B 一 PC﹣D 的余弦值. .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 AB 的中点 O,连接 PO,CO,AC,由已知条件推导出 PO⊥AB,CO⊥AB,从而 AB⊥平面 PCO,由此能证明 AB⊥PC. (Ⅱ)由已知得 OP⊥OC,以 O 为原点,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出二面角 B 一 PC﹣D 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 O,连接 PO,CO,AC, ∵△APB 为等腰三角形,∴PO⊥AB?(2 分) 又∵四边形 ABCD 是菱形,∠BCD=120°, ∴△ACB 是等边三角形,∴CO⊥AB?(4 分) 又 CO∩PO=O,∴AB⊥平面 PCO, 又 PC? 平面 PCO,∴AB⊥PC ?(6 分) (Ⅱ)解:∵ABCD 为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= , 2 2 2 ∴PO=1,CO= ,∴OP +OC =PC , ∴OP⊥OC, 以 O 为原点,OC 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(0,﹣1,0) ,B(0,1,0) ,C( ,0,0) , P(0,0,1) ,D( ,﹣2,0) , =( ,﹣1,0) , =( ) , =(0,2,0) ,

设平面 DCP 的法向量 =(x,y,z) ,



,令 x=1,得 =(1,0,

) ,

设平面 PCB 的法向量 =(a,b,c) , ,令 a=1,得 =(1, ) ,

cos<

>=

=

, .

∵二面角 B 一 PC﹣D 为钝角,∴二面角 B 一 PC﹣D 的余弦值为﹣

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用.

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19. (12 分)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩 分为 A,B,C,D,E 五个等级,分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,该校某班学生两科 目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人.

(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分.从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (I)利用数据统计图求出该班有 40 人,由此能求出该班学生中“立定跳远”科目 中成绩等级为 A 的人数. (II)设两人成绩之和为 ξ ,则 ξ 的值可以为 16,17,18,19,20,分别求出相应的概率, 由此能求出两人成绩之和 ξ 的分布列和数学期望. 解答: 解: (I)因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的考生有 8 人, 所以该班有 8÷0.2=40 人, 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3.?(4 分) (II)设两人成绩之和为 ξ ,则 ξ 的值可以为 16,17,18,19,20 ?(6 分) ,







?(10 分) 所以 ξ 的分布列为 X 16 17 18

19

20

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com P 所以 所以 ξ 的数学期望为 .?(12 分) .

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意数据统计图的合理运用. 20. (12 分)已知圆 C: (x+1) +y =20 点 B(l,0) .点 A 是圆 C 上的动点,线段 AB 的垂直平 分线与线段 AC 交于点 P. (I)求动点 P 的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ)设 ,N 为抛物线 C2:y=x 上的一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交曲线 Cl
2 2 2

于 P,Q 两点,求△MPQ 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知可得动点 P 的轨迹 C1 是一个椭圆,其中

,2c=2,由此能求出

动点 P 的轨迹 C1 的方程. (Ⅱ) 设( N t, t) , 则 PQ 的方程为 y=2tx﹣t , 联立方程组

2

2



得: (4+20t )x ﹣20t x+5t ﹣20=0,由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、 弦长公式,结合已知条件能求出三角形面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知可得, 点 P 满足 ∴动点 P 的轨迹 C1 是一个椭圆,其中 ∴动点 P 的轨迹 C1 的方程为
2

2

2

3

4

,2c=2?(2 分) .?(4 分)
2

(Ⅱ)设 N(t,t ) ,则 PQ 的方程为:y﹣t =2t(x﹣t) , 2 整理,得 y=2tx﹣t ,

联立方程组

,消去 y 整理得: (4+20t )x ﹣20t x+5t ﹣20=0,?(6 分)

2

2

3

4





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点 M 到 PQ 的高为 由 即

,?(10 分) 代入化简得: ;

当且仅当 t =10 时,S△MPQ 可取最大值 当直线的斜率不存在时,x=t,S△MPQ= ∴S△MPQ 最大值 .?(12 分) .

2



点评: 本题考查点的轨迹方程的求法,考查三角形的面积的最大值的求法,解题时要注意 根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax﹣e (e 为自然对数的底数) . (I)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间及极值; (Ⅱ)当 2≤a≤e+2 时,求证 f(x)≤2x. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 时, ,求导并令 ,从而确定
x

函数的单调性,从而求极值. x (Ⅱ)令 F(x)=2x﹣f(x)=e ﹣(a﹣2)x;分 a=2 与 2<a≤2+e 讨论从而确定函数的最值, 从而证明. 解答: 解: (Ⅰ)当 令 时, ,得 x=﹣1;

当 x<﹣1 时,f'(x)>0;当 x>﹣1 时,f'(x)<0; ∴,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) ;单调递减区间为(﹣1,+∞) ; 当 x=﹣1 时,函数 f(x)有极大值
x

;没有极小值.

(Ⅱ)证明:令 F(x)=2x﹣f(x)=e ﹣(a﹣2)x; x ①当 a=2 时,F(x)=e >0; ∴,f(x)≤2x; x x ln(a﹣2) ②当 2<a≤2+e 时,F'(x)=e ﹣(a﹣2)=e ﹣e 当 x<ln(a﹣2)时,F'(x)<0;当 x>ln(a﹣2)时,F'(x)>0;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴F(x)在(﹣∞,ln(a﹣2) )单调递减,在(ln(a﹣2) ,+∞)上单调递增. ln(a﹣2) ∴F(x)≥F(ln(a﹣2) )=e ﹣(a﹣2)ln(a﹣2)=(a﹣2)[1﹣ln(a﹣2)], ∵2<a≤2+e, ∴a﹣2>0,1﹣ln(a﹣2)≥1﹣ln[(2+e)﹣2]=0, ∴F(x)≥0,即 f(x)≤2x; 综上,当 2≤a≤e+2 时,f(x)≤2x. 点评: 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想,属于中档题. 四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,并用 2 日铅笔将答题卡上所选题 目对应的题号方框涂黑-按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂, 按本选考题的首题进行评分. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD. 的中点,E 为 BC 的中点.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题. 分析: (I)欲证 DE∥AB,连接 BD,因为 D 为 的中点及 E 为 BC 的中点,可得 DE⊥BC,

因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90°,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结 论; (II)欲证 AC?BC=2AD?CD,转化为 AD?CD=AC?CE,再转化成比例式 △DAC∽△ECD 即可. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90°, 所以 AB∥DE.?(5 分) (Ⅱ)因为 D 为 的中点,所以∠BAD=∠DAC, 的中点,所以 BD=DC. = .最后只须证明

又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD. 所以 = ,AD?CD=AC?CE,2AD?CD=AC?2CE,

因此 2AD?CD=AC?BC.?(10 分)

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点评: 本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识.解题时,乘积 的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出. 【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】 23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐 标方程为: ,曲线 C 的参数方程为: (α 为参数) .

(I)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)首先,将直线的极坐标方程中消去参数,化为直角坐标方程即可; (2)首先,化简曲线 C 的参数方程,然后,根据直线与圆的位置关系进行转化求解. 解答: 解: (1)∵直线 l 的极坐标方程为: ∴ρ ( ∴ ∴x﹣ sinθ ﹣ cosθ )= , , y+1=0. (α 为参数) . ,

(2)根据曲线 C 的参数方程为:

得 2 2 (x﹣2) +y =4, 它表示一个以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆, 圆心到直线的距离为: d= , ∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 = .

点评: 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识,属 于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣2| (I)解不等式 f(x)≥2; (Ⅱ)当 x∈R,0<y<1 时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤ .

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考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;证明题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)运用绝对值的定义,去掉绝对值,得到分段函数,再由各段求范围,最后求 并集即可; (II)由分段函数可得 f(x)的最大值,再由基本不等式求得 的最小值,即可得证.

解答: (Ⅰ)解:由已知可得:



由 x≥2 时,4>2 成立;﹣2<x<2 时,2x≥2,即有 x≥1,则为 1≤x<2. 所以,f(x)≥2 的解集为{x|x≥1}; (II)证明:由(Ⅰ)知,|x+2|﹣|x﹣2|≤4, 由于 0<y<1, 则 =( )[y+(1﹣y)]=2+ + ≥2+2=4,

则有



点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立,注意转化为函数的最值,考查 基本不等式的运用:求最值,考查运算能力,属于中档题.

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