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复数


第四节数系的扩充与复数的引入

[知识能否忆起] 一、复数的有关概念 1. 复数的概念: 形如 a+bi(a, b∈R)的数叫复数, 其中 a, b 分别是它的实部和虚部. 若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi 为纯虚数. 2.复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R).

3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b+d=0(a,b,c,d∈R). 4.复数的模:向量 OZ― →的长度叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a +bi|= a2+b2. 二、复数的几何意义 复数 z=a+bi― →复平面内的点 Z(a,b)― →平面向量 OZ . 三、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? = ?ac+bd?+?bc-ad?i (c+di≠0). c2+d2

??? ?

2.复数加法、乘法的运算律 对任意 z1, z2, z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3); z1· z2=z2· z1, (z1· z2)· z3 =z1· (z2· z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知 a∈R,i 为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则 a 的值等于 ( ) A.-6 C.2 B.-2 D.6

2.(2011· 湖南高考)若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1

)

5+3i 3.(2012· 天津高考)i 是虚数单位,复数 =( 4-i A.1-i C.1+i B.-1+i D.-1-i

)

z 4.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于第________象限. 1+i 3+i 5.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=____ i

复数的有关概念

典题导入 b [例 1] (1)(2012· 陕西高考)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯 i 虚数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2-bi (2)(2012· 郑州质检)如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反 1+2i 数,那么 b 等于( 2 A.- 3 C. 2 ) 2 B. 3 D.2

以题试法 x 1.(2012· 东北模拟)已知 =1-yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共 1+i 轭复数为( A.1+2i C.2+i ) B.1-2i D.2-i

复数的几何意义

典题导入 2-i [例 2] (2012· 山西四校联考)已知复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则 (i 为虚部单位) z 在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

以题试法 2.(1)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中 点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i ) B.8+2i D.4+i

(2)(2012· 连云港模拟)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应 的点分别为 A,B,C,若 OC =λ OA +μ OB ,(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是________.

??? ?

??? ?

??? ?

复数的代数运算

典题导入 [例 3] (1)(2012· 山东高考)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( A.3+5i C.-3+5i B.3-5i D.-3-5i ) 1 1 B.- + i 2 2 1 D. 2 )

i2+i3+i4 (2)(2011· 重庆高考)复数 =( 1-i 1 1 A.- - i 2 2 1 1 C. - i 2 2

1.(2012· 江西高考)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2 的虚 部为( A.0 C.1 ) B.-1 D.-2

2.(2012· 北京高考)在复平面内,复数 A.(1,3) C.(-1,3)

10i 对应的点的坐标为( 3+i

)

B.(3,1) D.(3,-1)

3.(2012· 长春调研)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值 是( ) A.1 C. 2 B.-1 D.- 2. )

?1+2i??2+i? 4.(2013· 萍乡模拟)复数 等于( ?1-i?2 5 A. 2 5 C. i 2 5 B.- 2 5 D.- 2

2+i 1 5.(2012· 河南三市调研)已知 i 为虚数单位,复数 z= ,则|z|+ =( z 1-2i A.i C.1+i B.1-i D.-i

)

6. (2012· 安徽名校模拟)设复数 z 的共轭复数为 z , 若(2+i)z=3-i, 则 z·z 的值为( A.1 C. 2 B.2 D.4

)

2 ? 1 ?1+i? ? ?,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集 7.(2013· 长沙模拟)已知集合 M=?i,i2, , i i ? ?

合 Z∩M 中的元素个数是( A.3 个 C.1 个
2

) B.2 个 D.0 个

8.定义:若 z =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是( A.1-2i 或-1+2i C.-7-24i )

B.1+2i 或-1-2i D.7+24i

9.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为坐标原点, 则| AB |=________.

??? ?

??? ?

??? ?

z2-2z 10.已知复数 z=1-i,则 =_____ z-1 11.设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z =_

13.(2011· 上海高考改编)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的 虚部为 2,且 z1· z2 是实数,则 z2=__ 1 14.若复数 z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 的虚部为________. z+a


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