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浙江省高考数学文科解答题(数列)


高考数学文科解答题(浙江省专用)

数列
(04 年)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n ?

1 (a n ? 1)( n ? N * ) 。 3

(Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)求证数列 {an } 是等比数列。

(05 年)已知实数 a ,b ,c 成等

差数列,a ? 1 ,b ? 1 ,c ? 4 成等比数列,且 a ? b ? c ? 15 ,求 a , b ,c。

(06 年)若 S n 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 S1 , S 2 , S 4 的公比; (Ⅱ)若 S 2 ? 4 ,求 {an } 的通项公式。

(07 年)已知数列 {an } 的相邻两项 a2 k ?1 , a 2 k 是关于 x 的方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ? 2 ? 0 的两个
2 k k

根,且 a2 k ?1 ? a2 k ( k ? 1,2,3,…) 。 (Ⅰ)求数列 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n ? 4) (不必证明) ; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 2 n 项和 S 2 n 。

高考数学文科解答题(浙江省专用) (08 年)已知数列 {an } 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2 n p ? nq( n ? N , p , q 为常数) ,且 x1 , x4 ,
*

x5 成等差数列。求: (Ⅰ) p , q 的值; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和 S n 的公式。

(09 年)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, S n ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数。
*

(Ⅰ)求 a1 及 an ; (Ⅱ)若对于任意的 m ? N , a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,求 k 的值。
*

d 为实数, (10 年) 设 a1 , 首项为 a1 , 公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 满足 S 5 S 6 ? 15 ? 0 。
(Ⅰ)若 S 5 ? 5 ,求 S 6 及 a1 ; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a 2 a 4 1 1 1 1 1 * (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较 与 的大小。 ? ? ??? a1 a 2 a 2 2 a 23 a 2n
(11 年)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a(a ? R) ,且

高考数学文科解答题(浙江省专用) 2004 年第 17 题(满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n ?

1 (a n ? 1)( n ? N * ) 。 3

(Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)求证数列 {an } 是等比数列。 解: (Ⅰ)由题意,得 a1 ? S1 ?

1 1 (a1 ? 1) ,? a1 ? ? 。 3 2 1 1 a1 ? a 2 ? S 2 ? (a 2 ? 1) ,? a 2 ? 。 3 4 1 1 (Ⅱ)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ? 1) , 3 3 a 1 得 n ?? , a n ?1 2 1 1 ? {an } 是首项为 ? ,公比为 ? 的等比数列。 2 2

2005 年第 16 题(满分 14 分) 已知实数 a , b , c 成等差数列, a ? 1 , b ? 1 , c ? 4 成等比数列,且 a ? b ? c ? 15 ,求 a , b , c 。 解:由题意,得 a ? c ? 2b ① ② (a ? 1)(c ? 4) ? (b ? 1) 2 a ? b ? c ? 15 ③ 由①,③两式,解得 b ? 5 , 将 c ? 10 ? a 代入②,整理得 a 2 ? 13a ? 22 ? 0 , 解得 a ? 2 或 a ? 11 , a ? 2 时, c ? 8 ; a ? 11 时, c ? ?1 。 ? a ? 2 , b ? 5 , c ? 8 ;或 a ? 11 , b ? 5 , c ? ?1 。 2006 年第 15 题(满分 14 分) 若 S n 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 S1 , S 2 , S 4 的公比; (Ⅱ)若 S 2 ? 4 ,求 {an } 的通项公式。 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d , 由题意,得 S 2 ? S1 ? S 4 ,
2

? (2a1 ? d ) 2 ? a1 ? (4a1 ?

4?3 d) , 2

? d ? 0 ,? d ? 2a1 , S 2a ? 2a1 ? 4。 ? 公比 q ? 2 ? 1 S1 a1
(Ⅱ) S 2 ? 2a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 4 ,

? a1 ? 1 ,? d ? 2a1 ? 2 。 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1。

高考数学文科解答题(浙江省专用) 2007 年第 19 题(满分 14 分) 已知数列 {an } 的相邻两项 a2 k ?1 , a 2 k 是关于 x 的方程 x 2 ? (3k ? 2 k ) x ? 3k ? 2 k ? 0 的两个根,且 。 a2k ?1 ? a2k ( k ? 1,2,3,…) (Ⅰ)求数列 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n ? 4) (不必证明) ; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 2 n 项和 S 2 n 。 解: (Ⅰ)易求得方程 x 2 ? (3k ? 2 k ) x ? 3k ? 2 k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2 k 。 当 k ? 1 时, x1 ? 3 , x2 ? 2 , a1 ? a 2 ,? a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 , a3 ? a 4 ,? a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 , a5 ? a6 ,? a5 ? 8 ; 当 k ? 4 时, x1 ? 12, x2 ? 16 , a7 ? a8 ,? a7 ? 12 ;

n ? 4 时, 2 n ? 3n ,? a2n ? 2 n 。
(Ⅱ) S 2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2n )

?

n(3 ? 3n) 2(1 ? 2 n ) 3n 2 ? 3n ? ? ? 2 n?1 ? 2 。 2 1? 2 2
*

2008 年第 18 题(满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2 n p ? nq( n ? N , p , q 为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等差 数列。求: (Ⅰ) p , q 的值; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和 S n 的公式。 解: (Ⅰ)由 x1 ? 3 ,得 2 p ? q ? 3 , 又 x4 ? 2 4 p ? 4q , x5 ? 25 p ? 5q ,且 x1 ? x5 ? 2 x4 ,

? 3 ? 25 p ? 5q ? 2(2 4 p ? q) , 解得 p ? 1 , q ? 1 。 (Ⅱ) xn ? 2 n ? n ,
S n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ?
2009 年第 20 题(满分 14 分) 设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, S n ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数。
*

2(1 ? 2 n ) n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 n?1 ? 2 ? 。 1? 2 2 2

(Ⅰ)求 a1 及 an ; (Ⅱ)若对于任意的 m ? N , a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,求 k 的值。
*

解: (Ⅰ)由 S n ? kn2 ? n ,得 a1 ? S1 ? k ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (kn2 ? n) ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1。

a1 ? k ? 1 也满足上式, ? an ? 2kn ? k ? 1 , n ? N * 。
(Ⅱ) a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,

? a2m ? am ? a4m ,即 (2k ? 2m ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(2k ? 4m ? k ? 1) , 整理得 2km(k ? 1) ? 0 , ?m? N* ,
? k ? 0 ,或 k ? 1 。

2

高考数学文科解答题(浙江省专用) 2010 年第 19 题(满分 14 分) 设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 S 5 S 6 ? 15 ? 0 。 (Ⅰ)若 S 5 ? 5 ,求 S 6 及 a1 ; (Ⅱ)求 d 的取值范围。 解: (Ⅰ)由题意,得 S 6 ? ?

15 15 ? ? ? ?3 , S5 5 a6 ? S 6 ? S5 ? ?3 ? 5 ? ?8 , 5?4 d ?5 ? 5a1 ? 2 a1 ? 5d ? ?8 , 解得 a1 ? 7 。 ? S 6 ? ?3 , a1 ? 7 。
? (5a1 ? 5?4 6?5 d )( 6a1 ? d ) ? 15 ? 0 , 2 2 2 即 2a1 ? 9a1d ? 10d 2 ? 1 ? 0 ,

(Ⅱ) S 5 S 6 ? 15 ? 0 ,

9 2 d2 d) ? ? 1, 4 8 ?d 2 ? 8, ? d 的取值范围是 d ? ?2 2 或 d ? 2 2 。 2(a1 ?
2011 年第 19 题(满分 14 分)

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a 2 a 4 1 1 1 1 1 * (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较 与 的大小。 ? ? ??? a1 a 2 a 2 2 a 23 a 2n
已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a(a ? R) ,且 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意得

1 2 1 1 ) ? ? , a2 a1 a 4 1 2 1 1 2 ,即 (a1 ? d ) ? a1 ? (a1 ? 3d ) , ?( ) ? ? a1 ? d a1 a1 ? 3d ? d ? 0 ,? d ? a1 ? a , ? an ? a ? (n ? 1)a ? na 。 (
(Ⅱ) a2n ? 2 a ,
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ( ? 2 ??? n ) ? a 2 a 2 2 a 23 a 2n a 2 2 a 2

1 2[1 ? ( ) n ] 1 1 2 ? [1 ? ( ) n ] , 1 a 2 1? 2

? 当 a ? 0 时,

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ; a 2 a 2 2 a 23 a2n a1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 。 当 a ? 0 时, a 2 a 2 2 a 23 a2n a1


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