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圆锥曲线离心率的几种求法——从高考题中得到的启示


高   中  

解 题 研 究  

中 小学 数学坤 学 版l I 蠢  

圆锥 曲线 离心率 的几种 求法  园寄  碍圈的启  
—  

徐 州 高 级 中学

王 敏 

j l  j  

l   雌 
决 .  

离 心 率 是 圆锥 曲线 的 一 个 重 要 的 基 本 量 , 求 离 心  率 的题 目是 高 考 常 见 的 题 型 , 这类 问题涉及 到的知识  点 比较 多 , 综 合 性 比较 强 , 对 学 生 的 思 维 能 力 和 运 算 
能力 有 较 高 的要 求 , 所 以 学 生 在 解 决 这 类 问题 时 , 往 

二、 利 用 圆锥 曲线 的定 义 

如 果 题 目 中出 现 了 曲 线 上 的 点 到 准 线 上 的 距 离 ,  

我们就要考虑用圆锥曲线的定义 , 将 其 转 化 为 曲 线 上  的 点 到 焦 距 的 距 离 来求 .  
2  


往会感到无从下手. 其 实 解 决 这 类 问 题 是 想 方 设 法 找  到a , 6 , c之 间 的关 系 , 然 后 转 化 为 关 于 离 心 率 e的 问  题, 其关键是如何分析题意 , 深人挖掘 出隐含条件. 本  文 结 合 近 几 年 的 高 考题 , 总 结 出 了几 个 求 圆锥 曲 线 离  心 率 的 常 用 方 法.  


?  

例2 ( 2 0 1 0年 高考 四 川 卷 ) 椭 网  +  
a  o  

=l ( Ⅱ  

>6 >0 )的 右 焦 点 为 F, 其 右 准 线 与  轴 的交 点 为 A,   在椭 圆上 存 在 点 P, 满足线 段 A P 的 垂 直 平 分 线 过 点 
F, 则 椭 圆 的离 心 率 的取 值 范 围是 一  



利 用 平 面 几 何 的 性 质 

很 多 离心 率 问题 是 以平 面 图形 为 载 体 出 现 的 , 平 
面 图 形背 后 有 一 些 隐含 的性 质 , 比如 三 角 形 面 积 的 等 

解: 由题意知 , 只须在 椭 圆上存 在 点 尸, 使l   P ,『  
PA   I= — a —


c.  

价转 化, 三角形两边之和大于第 三边 , 垂线段最短等.  

而 l   P F   I … =n+c , 故 只要 。+c≥   a —c ,   即a c+c  ≥ 。  一c   , 亦即 2 c  +a c—a  ≥ 0 ,  

例1 ( 2 0 0 8 年高考福建卷) 双曲线   一 鲁 =  
U  0 

1 ( n >0 , 6>0 )的 两 个 焦 点 为 F l , F 2 , 若 P为 其 上 一  点, 且l   P F 。 I =2 I   P F 2   l , 则 双 曲线 离 心率 的取 值 范 围 
是—
. 


则有2 e   + e 一 1 ≥ 0 , 解得e ≥÷或e ≤一 1 ( 舍) ,  
故—   1 ≤ e≤ 1
. 

解: 设 I   P F 2   I=r , 则I   P F 】 J =2 r ,  
l  PFl   I—I  P  I= r = 2a .  

巩固练> - 3 : 已 知点F 。 , F z 分别为双曲线x 一 告 =   a  o 
1 ( a >0, b> 0 )的左 、 右 焦点 , P为右支上 一点 , 点P   到 右 准 线 的距 离 为 d , 若P F   , P  , d 成 等差 数 列 , 求 双  曲线 离 心 率 的取 值 范 围.  
三、 利用 函数 值 域 

在 AP F l F 2 中,   I P F l   I ≥2 c ( P, F I , F 2 三 点 可 以共 
线 ),  
即 3 r= 6 a≥ 2 c .  

故  ≤3 , 即e ≤3 : 又 e>1 , 所以 l<e ≤3 .  
Ⅱ 

以e 为函数式利用配方 、 换 元 等 方 法 求 函 数 的值  域 也 是 求 离 心 率 常 用 的 方 法.   例3  ( 2 0 0 8年 高考 全 国卷 Ⅱ) 设 a>1 , 则 双 曲 
『 上   U 

巩固 练习: 已知 双曲 线_ x一 『 告= 1 ( Ⅱ > 0 , b > o )  
的左 、 有焦点 分别 为 ,   , F   , P是 准 线 上 一 点 , 且 
P F 。 j - P F 2 , l   P F   _ .   1 P F 2 I :4 a b , 则 双 曲线 的离 心 率 

. 
— —

线  一 赤

的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是 —— ?  
五   : ̄ , / 2   a " 面 + 2 a + 1  
—  

提示 : 本 题 可 以利 用三 角形 面积 的 等 价 转 换 来 解 

解:   : 一 C:  

3 —  

■l i 卡 小 学数学坤学 版  


解 题研 究 

高 中  

√ (  + ? )  
. .

1 ( 0>b>0 ) 的左 、 右焦点分别为 F   ( 一c , 0 ) ,  ( c , 0 ) ,  

. 。 > l , . . 0 <   < ’ 1 , -   _ f 上’ + ’ 1 )   ∈   ( 1 , 4 l ) .  
j 尊 过   已 知 条 件 的 分 析 , 利 用  锥 曲  

若 椭 圆 上   在 点 P , 使   s l n 靠   f , , 1   ,   .   s I n 乏 盘 舔 f   ,     ’   萼 磐   该  
椭 圆离 心 率 的取 值 范 围.  


线的性质建立 离心率的函数 关 系, 转代 为求 函数值域 
的 问 题 了.  

÷ =   s i n L 丽 P F 2 F t=  
n  S l n厶 r ,   ,,  

l , ,, I  
一  

=  

28 一I  P  I  

2 0  

. 

巩 固练 习 : 已知 梯 形 A B C D中,   I A B1=2l   C DI ,   点 E分 有 向线 段A C 所 成 的 比为 A, 双 曲线 过 C , D, E三 

— 

T一 

一L  

j   ’  

由椭圆的几何性质可得 l   P   I <口+c .  
故 e=   一   >  

点 , 且 以 A , 曰 为 焦 点 , 当 ÷≤ A ≤ ÷ 时 , 求 双 曲 线 离  
心 率 e的取 值 范 围 .  
提示 : 本题 以 “ 形 ”为 解 题 方 向 , 从 焦 半 径 公 式入  

& 口 e>÷
解 得 e>  

一1 , 贝 U   e   + 2 e 一1>0 .  
一1 或 e<一1一   ( 舍去) .  

1 + e  

手, 求出e  =   A ) , 再 求 函数 的值 域 就 可 以 了.  


四  利 用 方 程 的 思 想 

又 由于 0 <e < 1 , 所 以√   一1< e< 1 .  
评论 : 利 用 焦半 径 的 范 围 , 即 。一c ≤I   P FI ≤ 口+  

将直 线 与 圆锥 曲线 的方 程 联 立 , 利 用 判 别 式 来 解 

题也是一种常用的求离心率方法.  

c 是 解题 的 常 用性 质 之 一 .   巩 固练 习 : 已知 设 F 。 ,   是椭 圆 的两 个 焦 点 , 且 满 

例4 ( 2 0 0 9 年高考全国 卷I ) 设双曲 线  一 告 


1 ( n>0 , b>0 )的渐 近 线 与 抛物 线 Y=   + 1 相切 ,  

足而  ?  
的取 值 范 围 .  

=0 ,   总在椭圆的内部 , 求椭 圆离心率 

求 该 双 曲 线 的 离心 率 .   解: 设 双 曲线 的 渐 近 线 方程 为 y :±   将 y=±  
+ 1±  

,  
型.  

六、 利 用 向量 的简 单 性 质 

圆锥 曲线与 向量 相结合 的题 目是 高考 常见 的题 
代 人抛 物线 的方 程 可 得 
=0 .   (木 )  

例6 ( 2 0 1 0年 高考 全 国卷 I)已知 F为 椭 圆 C  

的一个焦点 , B是短轴 的一个端点 , 线段 B F的延长线 

由于 Y=   +1 与渐近线相切 , 则可 知(   )式只 
有一个实根.  

交c 于点D , 且  :2 蔚, 则G的离心率是一
解: 设点 B ( O ,一b ) , 点 F( c , O ) , 点 h( x 。 , Y o ) ,   则  : ( c , 6 ) ,   :(   一c ,  ) ,  

 

所 以 △ : 乓一 4 : o , 即   —   : 4 , 则 — ( 7 2   : 5 ,  
o。   r 上 一   r 上  

由   :2 蔚, 得 c=2 ( x 。 一 c ) , b:2 y o ,  
即e   =5 , 解得 e=   巩固练习: 已知双 曲线的 中心原点 , 焦 点 在  轴  上. 一条斜率为 2 的 直 线 过 该 双 曲线 的右 焦 点 , 与双 曲  


解得 ‰ =  3   c



Y 。=  


代 入 椭 圆 方 程 得 等   1  

1,  

线的两个 交点分别 在左 、 右 两支上 , 求该双 曲线 离心  率的取值范围.  
提示 : 本题 是将直 线方程 与双 曲线方程联 立后 ,  

即  = ÷ ’ 贝 J l   e = 譬 . .  
巩 固练 习: ( 2 0 0 9年 高考浙 江卷 )已知椭 圆 

利 用判别式大于零, 同时注意 。   <0来求解.  
五、 利 用 圆 锥 曲线 的 几 何 性质   圆 锥 曲线 的性 质 在 求 离 心 率 的 过 程 中 更 是 经 常  用到 , 恰 当 的选 用 合 适 的性 质 是 解 题 的 关键 .  

鲁= 1 ( Ⅱ> b > o ) 的 左焦点为F , 右顶点为A , 点  在  
椭圆上 ,  F   j _  轴, 直线 A 曰交 ) , 轴 于 点 P, 若A 户=  

例5 ( 2 0 0 9 年高 考重 庆卷) 已知 椭圆  + 告=  


2 赢, 则椭圆的离心率是 

3 4 一  



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