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周一1.2.2基本初等函数的导数切线(一)


切线问题

1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( ) ) )

(2)f ′(x 0)是导函数 f ′(x )在 x = x 0 处的函数值.( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( (4)
sin π π 3 ′=cos .

( 3

) ) )

1 1 (5)若(ln x )′= ,则 x ′=ln x .( x

答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)× (6)函数 f (x )= sin (- x )的导数为 f ′(x )=cos x .(

2.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

)

解析:选 C

∵y=sin x+ex,∴y′=cos x+ex,∴y′x

=0=cos 0+e0=2, ∴曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x- 0),即 2x-y+1=0.故选 C.

3.若函数 f (x ) =ax 4+bx 2+c 满足 f′(1)=2,则 f ′(-1) 等于( ) B.-2 D.0
∵f(x)=ax4+bx2+c,

A.-1 C .2
解析:选 B

∴f′(x)=4ax3+2bx.又 f′(1)=2, ∴4a+2b=2, ∴f′(-1)=-4a-2b=-2.

4. (1)(2016·唐山模拟)曲线 y=ex -ln x 在点(1,e)处的切 线方程为( ) B.(1-e)x -y-1=0 D.(e-1)x -y-1=0

A.(1-e)x -y+1=0 C .(e-1)x -y+1=0

1 x (2)(2016·雅安模拟)设曲线 y=e + ax 2 x +2y-1=0 垂直,则实数 a=( A.3 C .2 B.1 D.0 )

在点(0,1)处的切线与直线

答案:(1)C

(2)C

1 解:(1)由于 y′=e- ,所以 y′x=1=e-1,故曲线 y=ex -ln x x 在点(1,e)处的切线方程为 y-e=(e-1)(x -1), 即(e-1)x -y+1=0. (2)∵与直线 x +2y-1=0 垂直的直线斜率为 2, 1 ∴f ′(0)=e0+ a=2,解得 a=2. 2

5. (2015·陕西高考)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 1 y= (x >0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________. x

[解] y′=ex ,曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 1=e0 1 1 =1,设 P(m ,n),y= (x >0)的导数为 y′=- 2(x >0),曲线 x x 1 1 y= (x >0)在点 P 处的切线斜率 k 2=- 2(m >0),因为两切线 x m 垂直, 所以 k 1k 2=-1, 所以 m =1, n =1, 则点 P 的坐标为(1,1).
答案:(1,1)

6.

(1)若曲线 f (x )= acos x 与曲线 g(x )=x 2+ bx +1 在交点 (0,m )处 ) B.0 D.2

有公切线,则 a+b=( A.-1 C .1

(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ )已知函数 f (x )= ax 3+ x + 1 的图象在 点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则 a=________.

(3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x +ln x 在点(1,1)处的切 线与曲线 y=ax 2+(a+2)x +1 相切,则 a=________.

[解] (1)∵两曲线的交点为(0,m ), m =a, ∴ 即 a=1, m =1, ∴f (x )=cos x ,∴f ′(x )=-sin x ,则 f ′(0)=0,f (0)=1. 又 g′(x )=2x +b,∴g′(0)=b, ∴b=0,∴a+b=1. (2)∵f ′(x )=3ax 2+1,∴f ′(1)=3a+1.又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x -1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1.

1 (3)法一:∵y=x+ln x,∴y′=1+x,y′x=1=2. ∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. ∵y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, ∴a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行).
? ?y=2x-1, 由? 2 ? ?y=ax +?a+2?x+1,

消去 y,得 ax2+ax+2=0.

由 Δ=a2-8a=0,解得 a=8.

法二:同法一得切线方程为 y=2x-1. 设 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切于点(x0,ax2 0+ (a+2)x0+1).∵y′=2ax+(a+2), ∴y′x=x0=2ax0+(a+2).
? ?2ax0+?a+2?=2, 由? 2 ? ?ax0+?a+2?x0+1=2x0-1,

1 ? ?x0=- , 2 解得? ? ?a=8.
答案:(1)C (2)1 (3)8

2-2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减 x 2 区间; (2)当 x?[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值 范围. 解: (1)由已知 f?(x)=3x2-x-2, 2 或 x>1. 令 f?(x)<0 得 - 2 < x <1; 令 f ? ( x )>0 得 x < 3 3

1 3 设 f(x)=x -

2 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 3 , 1); 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 2 令 f?(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).

已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值, 且极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值. 4 2
解: ∵f?(x)=5x +3ax +b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值, ∴f?(1)=f?(-1)=0. 即 5+3a+b=0. ∴b=-3a-5. ① 代入 f?(x) 得, f?(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)]. ∵仅当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值, ∴5x2+(3a+5)?0 恒成立. ∴3a+5>0. ∴x>- 5 3. 故当 x<-1 或 x>1 时, f?(x)>0; 当 -1<x<1 时, f?(x)<0.

∴当 x=-1 时, f(x) 取得极大值; 当 x=1 时, f(x) 取得极小值. ∵函数 f(x) 的极大值比极小值大 4, ∴f(-1)-f(1)=4. 即 (-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4. 整理得 a+b=-3. ② 由 ①, ② 得 a=-1, b=-3. 故 a, b 的值分别为 -1, -3.

1 3 2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的 设函数 f(x)=x +2 ax 3 单调区间、极值; (2)若当 x?[a+1, a+2] 时, 恒有 |f?(x)|≤a, 试确定 a的取值范围. 解: (1)由已知 f?(x)=-x2+4ax-3a2, 令 f?(x)=0 得 x=a 或 x=3a. ∵0<a<1, ∴a<3a. 当 x 变化时, f?(x), f(x) 的变化情况如下表: x (-∞, a) a (a, 3a) 3a (3a, +∞) f?(x) 0 0 + f(x) ? 极小值 ? 极大值 ? 由上表可知, f(x) 的单调递增区间是 (a, 3a), 单调递 减区间是(-∞, a) 和 (3a, +∞). 4 3 当 x=a 时, f(x) 取极小值 f(a)=- 3a +b; 当 x=3a 时, f(x) 取极大值 f(3a)=b.

导数的应用举例 3

3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调 设函数 f(x)=- 1 x 3 区间、极值; (2)若当 x?[a+1, a+2] 时, 恒有 |f?(x)|≤a, 试确定 a 的取值范围.

导数的应用举例 3

解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1.

∴f?(x)=-x2+4ax-3a2 在 [a+1, a+2] 上为减函数. ∴f?(x)max=f?(a+1)=2a-1, f?(x)min=f?(a+2)=4a-4.
∵当 x?[a+1, a+2] 时, 恒有 |f?(x)|≤a, 即

-a≤f?(x)≤a 恒成立.
∴ 4a- 4≥ -a 且 2a- 1≤ a. 解得 4 5 ≤a≤1. 又 0<a<1,

故 a 的取值范围是 [ 4 , 1). 5

导数的应用举例 4
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 数, 求实数 a 的取值范围; (2)若 x=- 1 是 f ( x ) 的极值点 , 求 f ( x ) 3 在 [1, a] 上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
解: (1)由已知 f?(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数, ∴在 [1, +∞) 上恒有 f?(x)≥0, 即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立. 由于 f?(0)=-3<0, 则必有 a 3 ≤1 且 f?(1)=-2a≥0. 解得 a≤0. 故实数 a 的取值范围是 (-∞, 0].

1 + 2 a-3=0. 解得 a=4. (2)由题设 f?(- 1 )=0, 即 3 3 3 ∴f?(x)=3x2-8x-3. 令 f?(x)=0 得 x=- 1 3 或 3. 在 [1, 4] 上, 当 x 变化时, f?(x), f(x) 的变化情况如下表:
x f?(x) f(x) 1 -6 (1, 3) 3 0 -18 (3, 4) + 4 -12

?

?

∴f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点, 即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根. ∵x=0 是方程的一个根, ∴方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根. ∴△=16+4(3+b)>0 且 3+b?0. 解得 b>-7 且 b?-3. 故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)∪(-3, +∞).

导数的应用举例 5
已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点 x=1 处有极小值 -1, 试确定 a, b 的值, 并求出 f(x) 的单调区间.
解: 由已知可得: -1=f(1)=1-3a+2b, 即 3a-2b=2. ① 又 f?(x)=3x2-6ax+2b, 0=f?(1)=3-6a+2b, 即 6a-2b=3. ② 1 1 由 ①, ② 解得 a= 3 , b=- 2 . ∴f?(x)=3x2-2x-1. 1 由 f?(x)=0 得, x=1 或 - 3. 1 1 ∴当 x<- 3 或 x>1 时, 有 f?(x)>0; 当 - 3 <x<1 时, 有 f?(x)<0. 1 故 f(x) 的单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞); f(x) 的单调递减区间是 (- 1 3 , 1).

导数的应用举例 6
某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品 2, 且生产 x 吨的 的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24200- 1 x 5 成本为 R=50000+200x 元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使 利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本) 解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x≥0, 且 1 2 y=(24200- 5x )x-(50000+200x) 1 3 =- 5 x +24000x-50000. 2+24000=0 得 x=200(-200舍去). 由 y?=- 3 x 5 ∵在 [0, +∞) 上只有一个点 x=200 使 y?=0, ∴它就是最大值点, 且最大值为 1 - 5?2003+24000?200-50000=3150000(元). 故每月生产 200 吨产品时利润最大, 最大利润是 315 万元.

已知某厂生产 x 件产品的成本为 C=25000+200x+ 1 x2(元), 40 问: (1)要使平均成本最低, 应生产多少件产品? (2)若产品以每 件 500 元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品? 解: (1)设平均成本为 y(元), 1 x2 25000+200x+ 40 25000 x 则 y= = x + 40 +200 x 25000? x +200=250. 当且仅当 x=1000 时取等号. ≥2 x 40 故要使平均成本最低, 应生产 1000 件产品. 1 x2) (2)利润函数为 L=500x-(25000+200x+ 40 1 x2-2500. L?=300- 1 x. =300x- 40 20 令 L?=0 得 x=6000, ∵当 x<6000 时, L?>0; 当 x>6000 时, L?<0, ∴当 x=6000 时, L 取得最大值. 故要使利润最大, 应生产 6000 件产品.

导数的应用举例 7

课堂小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数

经加、减、乘运算得到的简单的函数
均可利用求导法则与导数公式求导, 而不需要回到导数的定义去求此类简 单函数的导数 .

2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′ 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
? f ? x ? ? f′ x ? g ? x ? - f ? x? g′ x? ? ? 3. ? = g ? x ? ? 0? ? ?′ 2 ? ? g ? x? ? ?g ? x ? ? ?


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