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周一1.2.2基本初等函数的导数切线(一)


切线问题

1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( ) ) )

(2)f ′(x 0)是导函数 f ′(x )在 x = x 0 处的函数值.( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( (4)
sin π π 3 ′=cos .

( 3

) ) )

1 1 (5)若(ln x )′= ,则 x ′=ln x .( x

答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)× (6)函数 f (x )= sin (- x )的导数为 f ′(x )=cos x .(

2.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

)

解析:选 C

∵y=sin x+ex,∴y′=cos x+ex,∴y′x

=0=cos 0+e0=2, ∴曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x- 0),即 2x-y+1=0.故选 C.

3.若函数 f (x ) =ax 4+bx 2+c 满足 f′(1)=2,则 f ′(-1) 等于( ) B.-2 D.0
∵f(x)=ax4+bx2+c,

A.-1 C .2
解析:选 B

∴f′(x)=4ax3+2bx.又 f′(1)=2, ∴4a+2b=2, ∴f′(-1)=-4a-2b=-2.

4. (1)(2016·唐山模拟)曲线 y=ex -ln x 在点(1,e)处的切 线方程为( ) B.(1-e)x -y-1=0 D.(e-1)x -y-1=0

A.(1-e)x -y+1=0 C .(e-1)x -y+1=0

1 x (2)(2016·雅安模拟)设曲线 y=e + ax 2 x +2y-1=0 垂直,则实数 a=( A.3 C .2 B.1 D.0 )

在点(0,1)处的切线与直线

答案:(1)C

(2)C

1 解:(1)由于 y′=e- ,所以 y′x=1=e-1,故曲线 y=ex -ln x x 在点(1,e)处的切线方程为 y-e=(e-1)(x -1), 即(e-1)x -y+1=0. (2)∵与直线 x +2y-1=0 垂直的直线斜率为 2, 1 ∴f ′(0)=e0+ a=2,解得 a=2. 2

5. (2015·陕西高考)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 1 y= (x >0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________. x

[解] y′=ex ,曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 1=e0 1 1 =1,设 P(m ,n),y= (x >0)的导数为 y′=- 2(x >0),曲线 x x 1 1 y= (x >0)在点 P 处的切线斜率 k 2=- 2(m >0),因为两切线 x m 垂直, 所以 k 1k 2=-1, 所以 m =1, n =1, 则点 P 的坐标为(1,1).
答案:(1,1)

6.

(1)若曲线 f (x )= acos x 与曲线 g(x )=x 2+ bx +1 在交点 (0,m )处 ) B.0 D.2

有公切线,则 a+b=( A.-1 C .1

(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ )已知函数 f (x )= ax 3+ x + 1 的图象在 点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则 a=________.

(3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x +ln x 在点(1,1)处的切 线与曲线 y=ax 2+(a+2)x +1 相切,则 a=________.

[解] (1)∵两曲线的交点为(0,m ), m =a, ∴ 即 a=1, m =1, ∴f (x )=cos x ,∴f ′(x )=-sin x ,则 f ′(0)=0,f (0)=1. 又 g′(x )=2x +b,∴g′(0)=b, ∴b=0,∴a+b=1. (2)∵f ′(x )=3ax 2+1,∴f ′(1)=3a+1.又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x -1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1.

1 (3)法一:∵y=x+ln x,∴y′=1+x,y′x=1=2. ∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. ∵y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, ∴a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行).
? ?y=2x-1, 由? 2 ? ?y=ax +?a+2?x+1,

消去 y,得 ax2+ax+2=0.

由 Δ=a2-8a=0,解得 a=8.

法二:同法一得切线方程为 y=2x-1. 设 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切于点(x0,ax2 0+ (a+2)x0+1).∵y′=2ax+(a+2), ∴y′x=x0=2ax0+(a+2).
? ?2ax0+?a+2?=2, 由? 2 ? ?ax0+?a+2?x0+1=2x0-1,

1 ? ?x0=- , 2 解得? ? ?a=8.
答案:(1)C (2)1 (3)8

2-2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减 x 2 区间; (2)当 x?[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值 范围. 解: (1)由已知 f?(x)=3x2-x-2, 2 或 x>1. 令 f?(x)<0 得 - 2 < x <1; 令 f ? ( x )>0 得 x < 3 3

1 3 设 f(x)=x -

2 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 3 , 1); 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 2 令 f?(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).

已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值, 且极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值. 4 2
解: ∵f?(x)=5x +3ax +b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值, ∴f