tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高考数学二轮全能考评:微课4 解决数列中最值问题的解题策略(新人教A版)


微课 4 解决数列中最值问题的解题策略 [策略诠释] 1.主要类型:(1)数列中的恒成立问题的求解.(2)数列中最大项与最小项问题的求解.(3) 数列中前 n 项和的最值问题.(4)证明不等式时构建函数求最值(值域). 2.解题思路:结合条件与待求问题,把所求问题转化为关于 n 的函数或方程问题求解. 3.注意事项:(1)数列是定义在 N*或其子集上的特殊函数,因此树立函数意识是

解决数列 问题的最基本要求. (2)求解过程中要注意项数 n 的取值范围,防止出错. 【典例】 (12 分)(2014· 天津模拟)已 知函数 f(x)=logmx(m 为常数,0<m<1),且数列{f(an)}是首项为 2,公差为 2 的等差数列. 2 (1)若 bn=an· f(an),当 m= 时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2 (2)设 cn=an· lg an,如果{cn}中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围. [审题:分析信息,形成思路] (1)切入点:求 f(an),进而求出 an; 关注点:求 Sn 时应注意求和方法的选择. (2)切入点:根据 an 求 cn,把恒成立问题转化为求函数的最值问题; 关注点:根据函数的单调性求最值. [解题:规范步骤,水到渠成] 【解】 (1)由题意 f(an)=2+(n-1)×2=2n, 即 logman=2n,所以 an=m2n.bn=an· f(an)=2n· m2n, 2 ?1?n-1.2 分 当 m= 时,bn=an· f(an)=n· ?2? 2 ?1?0+2· ?1?1+3· ?1?2+…+n· ?1?n-1,(i) 所以 Sn=1· ?2? ?2? ?2? ?2? 1 1 1 1 1 ? ?1+2· ? ?2+3· ? ?3+…+n· ? ?n.(ii) S =1· ?2? ?2? ?2? ?2? 2 n (i)-(ii), 1 ?1?0+?1?1+?1?2+…+?1?n-1-n· ?1?n 得 Sn=1· ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 2 1 ? ?n? 1×? ?1-?2? ? ?1?n,4 分 = -n· ?2? 1 1- 2 1?n-1 所以 Sn=-(n+2)? ?2? +4.6 分 ② (2)由(1)知,cn=an· lg an=2n· m2nlg m,要使 cn<cn+1 对一切 n∈Z*成立 , 即 nlg m<(n+1)m2lg m 对一切 n∈N*成立. n 0<m<1,所以 lg m<0,所以 n>(n+1)m2,对一切 n∈N*恒成立,只需 m2<?n+1?min,8 分 ? ? n n 1 1 =1- 单调递增,所以当 n=1 时,?n+1?min= .10 分 2 ? ? n+1 n+1 1 所以 m2< ,且 0<m<1, 2 2 2 所以 0<m< .所以 m 的范围为?0, ?.12 分 2 2? ? [变题] n+13 (2014· 山东济宁二模)已知数列{bn}满足 Sn+bn= ,其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和. 2 1 (1)求证:数列{bn- }是等比数列,并求数列{bn}的通项公式; 2 12k (2)如果对任意 n∈N*,不等式 ≥2n-7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12+n-2Sn
-1-

【解】 (1)对于任意 n∈N*,Sn+bn=

n+13 ① 2

?n+1?+13 Sn+1+bn+1= ② 2 1 1 ②-①得 bn+1= bn+ , 2 4 1 1 1 所以 bn+1- = (bn- ). 2 2 2 14 7 又由①式知,S1+b1= ,即 b1= . 2 2 1 1 1 所以数列{bn- }是首项为 b1- =3,公比为 的等比数列, 2 2 2 1 1 n-1 1 n-1 1 bn- =3×( ) ,bn=3×( ) + . 2 2 2 2 1 - 1 (2)因为 bn=3×( )n 1+ , 2 2 1 3?1- n? 2 1 1 1 n n 1 n 所以 Sn=3(1+ + 2+…+ n-1)+ = + =6(1- n)+ . 2 2 2 1 2 2 2 2 1- 2 2n-7 12k 因为不等式 ≥2n-7,化简得 k≥ n ,对任意 n∈N*恒成立, 2 12+n-2Sn 2n-7 2?n+1?-4 2n-7 9-2n 设 cn= n ,则 cn+1-cn= - n = n+1 , + 2 2 2n 1 2 当 n≥5 时,cn+1≤cn,cn 为单调递减数列, 当 1≤n<5 时,cn+1>cn,cn 为单调递增数列, 1 3 3 =c <c = ,所以,n=5 时,cn 取得最大值 , 16 4 5 32 32 2n-7 3 所以,要使 k≥ n 对任意 n∈N*恒成立,k≥ . 2 32 3 ∴实数 k 的取值范围是[ ,+∞). 32

-2-


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com