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必修四向量数乘运算及其几何意义(导学案)


§ 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
自我评价 你完成本节导学案的情况为 A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 一、学习目标: 1.理解向量数乘的定义及几何意义;(C 级) 2.运用实数与向量积的运算律解决简单问题;(C 级) 3.理解向量共线定理,证明两向量共线.(B 级) 二、课前自主探究: ? ? ? ? ? ? ? ( ? ( ? ( ,你能说明它

们的几何意义 1.问题:已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a 和 -a) -a) -a) 吗? ? a

探究问题二: 计算: (参照 88 页例 5,结合向量数乘运算律)(C) (1) (-2) 3b ; (2) 2(a ? b) ? (a ? b) ? a ; ?

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(3) (3a ? b ? c) ? (a ? b ? 2c) ;

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探究问题三:判断下列各题中的两个向量是否共线.(参照课前自主探究 4,即:定理中的 ? 是否存 在)(B) (1) a ? ?2e, b ? 2e;

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一般地,我们规定实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长 度与方向规定如下: ? (1) | ? a | =_________________; ? ? ? ? (2)当_________时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当_______时, ? a 的方向与 a 方向相反,当 ? ?? _________时, ? a = O . 2.向量数乘运算律,设 ? , ? 为实数. ? (1) ? ( ? a ) ? _______; ? ? )a (2) (? ? ?? ? _________; (3) ? (a ? b) ? _________; (4) ( ?? ) a?? ___________=___________; ? (5) ? (a ? b) ? ______________; ? ? 3.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a 、 b 及任意实数 ? 、 ?1 、 ? 2 , ? ? ? ? 恒有 ? ( ?1 a ? ?2 b) ? ??1 a ? ??2?b . ? ? 4.向量共线判定定理:非零向量 a 与向量 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b = . ? ? ? ? ? ? ? ? a ? e , b ? 2e ,则有 b ? 2a ,此时 ? ? 2 ,所以向量 a 与向量 b 共线. 例:

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(2) a ? e1 ? e2 , b ? ?e1 ? e2 ;

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四、课后归纳:
本节课你学会了哪些内容?

五、当堂检测
1.教材 90 页练习 3.(C) 2.教材 90 页练习 5.(C)

三、课上合作探究:
探究问题一:点 C 在线段 AB 上,且 (C)

???? ? ??? ??? ? ??? ? AC 1 ? ,则 AC =______ AB , BC =_______ AB . (用作图法) CB 2

3.已知任意两个非零向量 a 、b ,有 OA ?a ?b , OB ? a ? 2b , OC ? a ? 3b ,证明 A、B、C 三点共 线.(A)

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