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圆和直线 课后作业及讲解


课后作业
【基础】 1.直线 l:y=k(x-2)+2 与圆 C:x2+y2-2x-2y=0 相切,则直线 l 的一个方向向量等于 __________. 【答案】(1,-1) |-k+1| 【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2,圆心到直线 l 的距离 d= = 2, 1+k2 ∴k2-2k+1=2k2+2,即 k2+2k+1=0,∴k=-1. ∴直线

l 的一个方向向量为(1,-1). 2.点 M(x0,y0)是圆 x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置 关系是__________. 【答案】相离
2 2 2 2 【解析】由已知得 x2 0+y0<a ,且 x0+y0≠0,又∵圆心到直线的距离 d=

>a, 2 x0 +y2 0

a2

∴ 直线与圆相离. 3.(2012 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的 夹角是 60° ,则点 P 的坐标是__________. 【答案】( 2, 2) 【解析】如图所示,过点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,连接 OA,OB,OP.由已知得,∠APO=30° ,所以 PO=2. 设点 P 的坐标为(x0,y0), 则?

?x0+y0-2 2=0, ?
2 2 ? ?x0+y0=4,

?x0= 2, ? 解得? 故所求坐标为( 2, 2). ? ?y0= 2,

4.(2012 江苏无锡高三期末)直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若 MN≥2 3,则 k 的取值范围是__________. 3 ? 【答案】? ?-4,0?
1

|3k-2+3| |3k+1| 【解析】 圆心到直线 y=kx+3 的距离为 d,d= = , k2+1 k2+1 由于 MN=2 R2-d2=2 3 4-d2≥2 3,则 d2≤1,所以(3k+1)2≤k2+1,解得- ≤k ≤0. 4

5. (2012 江苏泰州高三期末)过点 C(3,4)且与 x 轴, y 轴都相切的两个不同圆的半径分别为 r1, r2,则 r1r2=__________. 【答案】25 【解析】不妨设两圆的圆心在射线 y=x(x>0)上,其坐标可记为(r,r), 从而由(r-3)2+(r-4)2=r2,得 r2-14r+25=0,于是 r1r2=25. 【巩固】 1.(2012 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y =kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最 大值是__________. 4 【答案】 3 【解析】圆 C 的方程可化为(x-4)2+y2=1,直线 y=kx-2 是过定点(0,-2)的动 直线. 圆心 C 到直线 y=kx-2 的距离 d= |4k-2|
2

|4k-2| k2+1

,要使其满足已知条件,则需 d≤1+1,即

4 4 ≤1+1 ,解得 0≤k≤ ,故 k 的最大值为 . 3 3 k +1

2.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是__________. 【答案】x+2y-5=0 【解析】由圆的几何性质知 kPQ· kOM=-1, 1 ∵kOM=2,∴ kPQ=- . 2 1 故直线 PQ 的方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 3.直线 2ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为__________.
2

【答案】 2+1 【解析】 由已知条件可得圆心到直线的距离 d = b2 1- +(b-1)2= 2 b2 -2b+2= 2 1 2a2+b2 = 2 b2 × 1 ,即得 a2 + = 1 , 2 2

a2+(b-1)2=

1 2 (b-2)2= |b-2|,当 b=- 2时, 2 2

点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 2+1. 4. 两圆 x2+y2+2ax+a2-4=0 和 x2+y2-4by-1+4b2=0 恰有三条公切线, 若 a ? R, b ? R, 1 1 且 ab≠0,则 2+ 2的最小值为__________. a b 【答案】1 【解析】将圆的方程化为标准方程得(x+a)2+y2=4 和 x2+(y-2b)2=1, 两圆有三条公切线, 1 1 1 1 即两圆相外切,所以圆心距等于半径之和,即 a2+4b2=9, (a2+4b2)=1,所以 2+ 2= (a2 9 a b 9 1 1 ? 1? 4b a ? 1 1 2 2 2 +4b )? ?a2+b2?=9?5+ a2 +b2?≥1,当且仅当 a =2b ,即 a =3 时,取“=”,即a2+b2的最
2 2 2

小值为 1.

3


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