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第二章 圆锥曲线与方程(B卷)


第二章

圆锥曲线与方程(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 81 72 81 9 x2 y2 x2

y2 C. + =1 D. + =1 81 45 81 36 2.平面内有定点 A、B 及动点 P,设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,那么甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 a≠0,a∈R,则抛物线 y=ax2 的焦点坐标为( ) ?a,0? ?0, 1 ? A.?2 ? B.? 2a? a 1 C.?4,0? D.?0,4a? ? ? ? ? 4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 2 2 C.x +y =2(x≠± 2) D.x2+y2=4(x≠± 2) 2 2 x y 5.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标是 a b ( ) A.(± 3,0) B.(0,± 3) C.(± 5,0) D.(0,± 5) x2 y2 6.设椭圆 2+ 2 =1 (m>1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1, m m -1 则椭圆的离心率为( ) 2-1 2 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 4 x2 y2 7.已知双曲线的方程为 2- 2=1,点 A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线 a b 的右焦点 F2,|AB|=m,F1 为另一焦点,则△ABF1 的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 8.已知抛物线 y2=4x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1,到直线 3x-4y+9=0 的 距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是( ) 12 6 5 A. B. C.2 D. 5 5 5 9.设点 A 为抛物线 y2=4x 上一点,点 B(1,0),且|AB|=1,则 A 的横坐标的值为( ) A.-2 B.0 C.-2 或 0 D.-2 或 2 2 10.从抛物线 y =8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线

(

的焦点为 F,则△PFM 的面积为( ) A.5 6 B.6 5 C.10 2 D.5 2 11.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标 为 2,则 k 等于( ) A.2 或-1 B.-1 C.2 D.1± 5 ???? ???? ? ? x2 y2 P 12.设 F1、F2 分别是双曲线 - =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 P F 1 · F 2 5 4 =0,则| P F 1 + P F 2 |等于( A.3 B.6 1 2 3 题 号 答 案
???? ?

???? ?

) 4 C.1 5 6 7 D.2 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 ____________. 14.已知抛物线 C:y2=2px (p>0),过焦点 F 且斜率为 k (k>0)的直线与 C 相交于 A、B 两点,若 A F =3 F B ,则 k=________.
????
??? ?

O 15. 已知抛物线 y2=2px (p>0), 过点 M(p,0)的直线与抛物线交于 A、 两点, O A · B B 则 =________. 16.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF| =________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) x2 y2 5 17.(10 分)求与椭圆 + =1 有公共焦点,并且离心率为 的双曲线方程. 9 4 2

??? ??? ? ?

x2 18.(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y2=1 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,求 4 弦 AB 的长.

19.(12 分)已知两个定点 A(-1,0)、B(2,0),求使∠MBA=2∠MAB 的点 M 的轨迹方程.

P 20.(12 分)已知点 A(0,-2),B(0,4),动点 P(x,y)满足 P A · B =y2-8. (1)求动点 P 的轨迹方程;

??? ??? ? ?

(2)设(1)中所求轨迹与直线 y=x+2 交于 C、D 两点.求证:OC⊥OD(O 为原点).

21.(12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直 5 线 OA 与 l 的距离等于 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

22.(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 1 2 5 y= x2 的焦点,离心率为 . 4 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A, 两点, y 轴于点 M, M A =m F A , B 交 若
???? ??? ? M B =n F B ,求 m+n 的值.

????

??? ?

第二章
1.A

圆锥曲线与方程(B)

[2a=18,∵两焦点恰好将长轴三等分, 1 ∴2c= ×2a=6,∴a=9,c=3, 3 b2=a2-c2=72, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1.] 81 72 2.B [点 P 在线段 AB 上时|PA|+|PB|是定值,但点 P 轨迹不是椭圆,反之成立,故选 B.] 3.D 4.D [P 在以 MN 为直径的圆上.] 5.A 6.B [2a=3+1=4.∴a=2, 又∵c= m2-?m2-1?=1, c 1 ∴离心率 e= = .] a 2 7.B [∵A,B 在双曲线的右支上,∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|+|AF1| -(|BF2|+|AF2|)=4a,|BF1|+|AF1|=4a+m, ∴△ABF1 的周长为 4a+m+m=4a+2m.] 8.A

[如图所示过点 F 作 FM 垂直于直线 3x-4y+9=0,当 P 点为直线 FM 与抛物线的交 |3+9| 12 点时,d1+d2 最小值为 = .] 5 5 9.B [由题意 B 为抛物线的焦点.令 A 的横坐标为 x0,则|AB|=x0+1=1,∴x0=0.] 10.A ?y=kx-2 ? 11.C [由? 2 消去 y 得, ? ?y =8x k2x2-4(k+2)x+4=0, 故 Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4 =64(1+k)>0, 4?k+2? 解得 k>-1,由 x1+x2= =4, k2 解得 k=-1 或 k=2,又 k>-1,故 k=2.] → → → → 12.B [因为PF1· 2=0,所以PF1⊥PF2, PF → → 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36, → → → → → → → → 故|PF1+PF2|2=|PF1|2+2PF1· 2+|PF2|2=36,所以|PF1+PF2|=6.故选 B.] PF 2 13. 或 2-1 2

解析 设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,半焦距为 c,当以两锐角顶点为焦点时, c c c 因为三角形为等腰直角三角形,故有 b=c,此时可求得离心率 e= = 2 2= = a 2c b +c 2 ;同理,当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时, 2 设直角边长为 m,故有 2c=m,2a=(1+ 2)m, c 2c m 所以,离心率 e= = = = 2-1. a 2a ?1+ 2?m 14. 3 解析 设直线 l 为抛物线的准线,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足, ??? ? |AE| → 过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E, 则|AA1|=|AF|, 1|=|BF|, AF=3 F B , |BB 由 ∴cos∠BAE= |AB| 1 = , 2 ∴∠BAE=60° ,∴tan∠BAE= 3. 即 k= 3. 15.-p2 16.2 解析 设点 A,B 的横坐标分别是 x1,x2,则依题意有焦点 F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1 =1,直线 AF 的方程是 x=1,故|BF|=|AF|=2. x2 y2 17.解 由椭圆方程为 + =1,知长半轴长 a1=3,短半轴长 b1=2,焦距的一半 c1 9 4 = a2-b2= 5, 1 1 ∴焦点是 F1(- 5,0),F2( 5,0),因此双曲线的焦点也是 F1(- 5,0),F2( 5,0),

?c= 5 ?c =a +b x y 设双曲线方程为 - =1 (a>0, b>0), 由题设条件及双曲线的性质, ? 得 a b c ?a= 25 ?
2 2 2 2 2 2

2



?a=2 ? 解得? , ? ?b=1

x2 故所求双曲线的方程为 -y2=1. 4 18.解 设 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2). 由椭圆的方程知 a2=4,b2=1,c2=3, ∴F( 3,0). 直线 l 的方程为 y=x- 3.① x2 2 将①代入 +y =1,化简整理得 4 2 5x -8 3x+8=0, 8 3 8 ∴x1+x2= ,x1x2= , 5 5 2 ∴|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2?2 8 8 8 3?2 = 1+1 ? -4× = . 5 5 5 ? ? 19.解 设动点 M 的坐标为(x,y). 设∠MAB=β,∠MBA=α,即 α=2β, 2tan β ∴tan α=tan 2β,则 tan α= .① 1-tan2β

y y ,tan α= , x+1 2-x 将其代入①式并整理得 3x2-y2=3 (x>0,y>0); (2)如图(2),当点 M 在 x 轴的下方时, -y -y tan β= ,tan α= , x+1 2-x 将其代入①式并整理得 3x2-y2=3 (x>0,y<0); (1)如图(1),当点 M 在 x 轴上方时,tan β=

(3)当点 M 在 x 轴上时,若满足 α=2β,M 点只能在线段 AB 上运动(端点 A、B 除外), 只能有 α=β=0. 综上所述,可知点 M 的轨迹方程为 3x2-y2=3(右支)或 y=0 (-1<x<2). 20.(1)解 ∵A(0,-2),B(0,4), → → ∴PA=(-x,-2-y),PB=(-x,4-y). →→ 则PA· =(-x,-2-y)· PB (-x,4-y)=x2+y2-2y-8. 2 2 2 ∴y -8=x +y -2y-8, ∴x2=2y. (2)证明 将 y=x+2 代入 x2=2y, 得 x2=2(x+2),即 x2-2x-4=0, 且 Δ=4+16>0, 设 C、D 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则有 x1+x2=2,x1x2=-4. 而 y1=x1+2,y2=x2+2, ∴y1y2=(x1+2)(x2+2) =x1x2+2(x1+x2)+4=4, y1 y2 y1y2 ∴kOC·OD= · = k =-1, x1 x2 x1x2 ∴OC⊥OD. 21.解 (1)将(1,-2)代入 y2=2px, 得(-2)2=2p· 1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. ? ?y=-2x+t, 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? ?y =4x 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 2 5 另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= 5 |t| 1 可得 = ,解得 t=± 1. 5 5 1 1 因为-1?[- ,+∞),1∈[- ,+∞), 2 2 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

x2 y2 22.解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 抛物线方程可化为 x2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1. a2-b2 2 5 c 由 e= = = . a a2 5 x2 得 a2=5,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 5 (2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x x2 -2),代入方程 +y2=1, 5 2 2 得(1+5k )x -20k2x+20k2-5=0. 20k2-5 20k2 ∴x1+x2= . 2,x1x2= 1+5k 1+5k2 → → 又MA=(x1,y1-y0),MB=(x2,y2-y0),
??? ? ??? ? F A =(x1-2,y1), F B =(x2-2,y2). ??? ? ??? ? → → ∵MA=m F A ,MB=n F B ,

x1 x2 ∴m= ,n= , x1-2 x2-2 2x1x2-2?x1+x2? ∴m+n= , 4-2?x1+x2?+x1x2 40k2-10-40k2 又 2x1x2-2(x1+x2)= 1+5k2 10 =- , 1+5k2 4-2(x1+x2)+x1x2 2 -1 40k2 20k -5 =4- , 2+ 2= 1+5k 1+5k 1+5k2 ∴m+n=10.


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