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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第二章 函数、导数及其应用(含解析)


第二章
对应学生用书P12 基础盘查一 函数的有关概念 (一)循纲忆知

函数、导数及其应用

第一节函数及其表示

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数是建立在其定义域到值域的映射( ) ) ) ) )

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a 最多有 2 个交点( (3)函数 f(x)=x -2x 与 g(t)=t -2t 是同一函数(
2 2

(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数(

(5)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A 到 B 的映射( 答案:(1)√ (2)? (3)√ (4)? (5)?

x-4 2.(人教 A 版教材复习题改编)函数 f(x)= 的定义域是________________. |x|-5
答案:[4,5)∪(5,+∞) 3.已知函数 y=f(n),满足 f(1)=2,且 f(n+1)=3f(n),n∈N ,则 f(4)=________. 答案:54 基础盘查二 分段函数 (一)循纲忆知 了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段). (二)小题查验 1.判断正误
? ?1,x≥0, (1)函数 f(x)=? ?-1,x<0, ?
*

是分段函数(

)

(2)若 f(x)=?

? 1-x2,-1≤x≤1, ?x+1,x>1或x<-1,
( )

? 1-x2,-1≤x≤1, 则 f(-x)=? ?-x+1,x>1或x<-1
答案:(1)√ (2)√

2. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________, 其值域等于各段函数的值域的 ________. 答案:并集 并集
?4 ,x≤1, ? 3.已知函数 f(x)=? ? ?-x,x>1,
x

若 f(x)=2,则 x=________.

1 答案: 2

对应学生用书P12

考点一 函数的概念(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.函数的定义 设 A、B 为两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数,记作 y=f(x). 2.函数的三要素

[题组练透] 1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1? C.y=4lg x 与 y=2lg x 答案:D 2.下列所给图象是函数图象的个数为( )
2 2

) B.y= x-1与 y=

x-1 x-1 x
100

D.y=lg x-2 与 y=lg

A.1 C.3

B. 2 D. 4

解析:选 B ①中当 x>0 时,每一个 x 的值对应两个不同的 y 值,因此不是函数图象,

②中当 x=x0 时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值, 因此是函数图象,故选 B. [类题通法] 两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用 x 表示, 但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数. 考点二 函数的定义域问题(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分,研 究函数问题必须树立“定义域优先”的观念.求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴. 常见的命题角度有: (1)求给定函数解析式的定义域; (2)求抽象函数的定义域; (3)已知定义域确定参数问题. 角度一:求给定函数解析式的定义域 1.函数 f(x)= 1-|x-1| (a>0 且 a≠1)的定义域为________. ax-1
? ?0≤x≤2, ?? ?x≠0 ?

? ?1-|x-1|≥0, 解析:由? x ?a -1≠0 ?

? 0<x≤2,

故所求函数的定义域为(0,2]. 答案:(0,2]

? 1? 2 2.(2013?安徽高考)函数 y=ln?1+ ?+ 1-x 的定义域为________. ?
x?
1 ? ?1+ >0, 解析:要使函数有意义,需? x ? ?1-x2≥0,
?x<-1或x>0, ? 即? ?-1≤x≤1, ?

x+1 ? ? >0, 即? x ? ?x2≤1,

解得 0<x≤1,所以定义域为(0,1].

答案:(0,1] 角度二:求抽象函数的定义域 3.若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 014],则函数 g(x)= A.[0,2 013] C.(1,2 014]

f?x+1? 的定义域是( x-1

)

B.[0,1)∪(1,2 013] D.[-1,1)∪(1,2 013]

解析:选 B 令 t=x+1,则由已知函数的定义域为[1,2 014],可知 1≤t≤2 014.要 使函数 f(x+1)有意义,则有 1≤x+1≤2 014,解得 0≤x≤2 013,故函数 f(x+1)的定义域 为[0,2 013].
?0≤x≤2 013, ? 所以使函数 g(x)有意义的条件是? ? ?x-1≠0,

解得 0≤x<1 或 1<x≤2 013.故函数

g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2 013].故选 B.
4.若函数 f(x +1)的定义域为[-1,1],则 f(lg x)的定义域为( A.[-1,1] C.[10,100]
2 2

)

B.[1,2] D.[0,lg 2]
2 2

解析:选 C 因为 f(x +1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故 0≤x ≤1,所以 1≤x
2

+1≤2.因为 f(x +1)与 f(lg x)是同一个对应法则,所以 1≤lg x≤2,即 10≤x≤100,所 以函数 f(lg x)的定义域为[10,100].故选 C.

角度三:已知定义域确定参数问题 5.(2015?合肥模拟)若函数 f(x)= 为________. 解析:函数 f(x)的定义域为 R,所以 2x +2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立,即 2x +2ax -a≥2 ,x +2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ =(2a) +4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0] [类题通法] 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f(g(x))的定义域,是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取 值范围,而已知 f(g(x))的定义域是[a,b],指的是 x∈[a,b]. 考点三 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)函数的解析式是表示函数的一种方法,对于不是 y=f(x)的形式,可根据题目的条件 转化为该形式. (2)求函数的解析式时, 一定要注意函数定义域的变化, 特别是利用换元法求出的解析式, 不注明定义域往往导致错误. [典题例析]
0 2 2 2 2

2x +2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围

2

? 1? 2 1 (1)已知 f?x+ ?=x + 2,求 f(x)的解析式; ?
x? x

?2 ? (2)已知 f? +1?=lg x,求 f(x)的解析式; ?x ?
(3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x);

?1? (4)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f? ?? x-1,求 f(x). x ? ? ? 1? 2 1 ? 1?2 解:(1)由于 f?x+ ?=x + 2=?x+ ? -2, ?
x? x

?

x?

所以 f(x)=x -2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x -2,x≥2 或 x≤-2. 2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg
2 2

2

2

x-1

,x>1.

(3)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax +bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1) +b(x+1)=ax +bx+x+1, 即 ax +(2a+b)x+a+b=ax +(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1, 所以? ?a+b=1, ?
2 2 2 2 2

1 解得 a=b= . 2

1 2 1 所以 f(x)= x + x,x∈R. 2 2

?1? (4)在 f(x)=2f? ? x-1 中, x ? ?
1 1 ?1? 用 代替 x,得 f? ?=2f(x) -1,

x

?x?

x

?1? 2f?x?-1 代入 f(x)=2f?1? x-1 中, 将 f? ?= ? ? ?x?
x

?x?

2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 [类题通法] 求函数解析式常用的方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)换元法: 已知复合函数 f(g(x))的解析式, 可用换元法, 此时要注意新元的取值范围; (3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;

?1? (4)消去法:已知关于 f(x)与 f? ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 x ? ?
个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [演练冲关] 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 解:法一:设 t= x+1,则 x=(t-1) ,t≥1,代入原式有
2

f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
故 f(x)=x -1,x≥1. 法二:∵x+2 x=( x) +2 x+1-1=( x+1) -1, ∴f( x+1)=( x+1) -1, x+1≥1, 即 f(x)=x -1,x≥1. 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x) 的解析式. 解:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x +2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ =4-4c=0,解得 c=1.故 f(x)=x +2x+1. 考点四 分段函数(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数. [提醒] 分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. [典题例析]
?log3x,x>0, ? 1.已知 f(x)=? x ?a +b,x≤0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

且 f(0)=2,f(-1)=3,则 f(f(-3))=( B. 2 D.-3
0

)

A.-2 C.3

解析:选 B 由题意得 f(0)=a +b=1+b=2, 解得 b=1.

f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得 a= .

1 2

?1?-3 故 f(-3)=? ? +1=9, ?2?

从而 f(f(-3))=f(9)=log39=2.
?2x+a,x<1, ? 2.已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ?-x-2a,x≥1. ?

若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为

________. 解析:当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,

f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.
3 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,解得 a=- . 2 不合题意,舍去. 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,

f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a.
3 由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综上可知,a 的值为- . 4 3 答案:- 4 [类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. [提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. [演练冲关] 1 ? ? x+1, x≤0, (2015?榆林二模)已知 f(x)=?2 ? ?-?x-1?2, x>0, 使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是________.

x≤0, ? ? 解析:由题意知?1 x+1≥-1 ? ?2

或?

? ?x>0, ?-?x-1? ≥-1, ?
2

解得-4≤x≤0 或 0<x≤2,故 x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]

对应B本课时跟踪检测?四?

一、选择题 1+x 1.(2015?大同调研)设全集为 R,函数 f(x)=ln 的定义域为 M,则?RM=( 1-x A.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.[-1,1] )

1+x 1+x 解析:选 C 由 f(x)=ln ,得到 >0, 1-x 1-x 即(x+1)(x-1)<0, 解得-1<x<1,即 M=(-1,1), ∵全集为 R, ∴?RM=(-∞,-1]∪[1,+∞).
? ?x +1,x≤1, 2.已知函数 f(x)=? x ?2 +ax,x>1, ?
2

若 f(f(1))=4a,则实数 a 等于( 4 3

)

A.

1 2

B.

C.2

D. 4

解析:选 C ∵f(1)=2,∴f(f(1))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2.故选 C. 3. 若二次函数 g(x)满足 g(1)=1, g(-1)=5, 且图象过原点, 则 g(x)的解析式为( A.g(x)=2x -3x C.g(x)=3x +2x
2 2 2

)

B.g(x)=3x -2x D.g(x)=-3x -2x
2

2

解析:选 B (待定系数法)设 g(x)=ax +bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且图 象过原点,

a+b+c=1, ? ? ∴?a-b+c=5, ? ?c=0,
2

a=3, ? ? 解得?b=-2, ? ?c=0,

∴g(x)=3x -2x,选 B. 4.函数 f(x)= A.[1,10] C.(1,10] 10+9x-x 的定义域为( lg?x-1?
2

) B.[1,2)∪(2,10] D.(1,2)∪(2,10]

解析:选 D 要使函数 f(x)有意义, 10+9x-x ≥0, ? ? 则 x 需满足?x-1>0, ? ?lg?x-1?≠0,
2

-1≤x≤10, ? ? 即?x>1, ? ?x≠2,

所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10].故选 D. 5 . 根 据 统 计 , 一名 工 人组 装 第 x 件某 产 品 所 用的 时 间 ( 单 位 : 分钟 ) 为 f(x) =

c ? ? x,x<A, ?c ? ? A,x≥A,

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产

品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( A.75,25 C.60,25

) B.75,16 D.60,16

解析:选 D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, 所以

c =15,① A c
= =30.② 4 2

所以必有 4<A,且

c

联立①②解得 c=60,A=16.

?1? 6.?创新题?具有性质:f? ?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下 x ? ?
列函数:

x,0<x<1, ? ?0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 - ,x>1. ? ? x
其中满足“倒负”变换的函数是( A.①② C.②③ 解析:选 B ) B.①③ D.① 1 ?1? 1 ?1? 1 对于①,f(x)=x- ,f? ?= -x=-f(x),满足;对于②,f? ?= +x x ?x? x ?x? x

,0< <1, x x ? ? 1 ?1? =f(x),不满足;对于③,f? ?=?0, =1, x x ? ? 1 ? ?-x,x>1, 1 1

1 ,x>1, ? 1? ?x ? 即 f? ?=? 0,x=1, ?x? ? ?-x,0<x<1,



f? ?=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. ?x?
二、填空题 7 .(2015?太原月考)已知 y= f(2 )的定义域为[- 1,1] ,则 y =f(log2x)的定义域是 ________. 解析:∵函数 f(2 )的定义域为[-1,1], 1 x ∴-1≤x≤1,∴ ≤2 ≤2. 2 1 ∴在函数 y=f(log2x)中, ≤log2x≤2,∴ 2≤x≤4. 2 答案:[ 2,4]
x x

?1?

?1? 8.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f? ?log2x,则 f(2)=________. ?2?
1 ?1? ?1? ?1? 1 解析:由已知得 f? ?=1-f? ??log22,则 f? ?= ,则 f(x)=1+ ?log2x,故 f(2)= 2 ?2? ?2? ?2? 2 1 3 1+ ?log22= . 2 2 3 答案: 2 9. 已知函数 y=f(x -1)的定义域为[- 3, 3], 则函数 y=f(x)的定义域为________. 解析:∵y=f(x -1)的定义域为[- 3, 3], ∴x∈[- 3, 3],x -1∈[-1,2], ∴y=f(x)的定义域为[-1,2]. 答案:[-1,2]
? ?3 +a,x≥0, 10. (2015?岳阳模拟)已知奇函数 f(x)=? ?g?x?,x<0, ?
0 2 2 2

x

则 f(-2)的值为________.

解析:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(0)=3 +a=0,即 a=-1.所以 f(-2)=g(-2) =-f(2)=-(3 -1)=-8. 答案:-8 三、解答题
2

x ?1? 11.(1)如果 f? ?= ,则当 x≠0 且 x≠1 时,求 f(x)的解析式; ?x? 1-x
(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式. 1 1 解:(1)令 =t,得 x= (t≠0 且 t≠1),

x

t

1

t 1 1 ∴f(t)= = ,∴f(x)= (x≠0 且 x≠1). 1 t-1 x-1 1- t
(2)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立, ∴?
?a=2, ? ?b+5a=17, ?

解得?

?a=2, ? ?b=7, ?

∴f(x)=2x+7.

12.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 3 所示. 你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? 解:(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图 1、2 中的票价是 2 元.图 3 中的票价是 4 元.

第二节

函数的单调性与最值

对应学生用书P15

基础盘查一 函数的单调性

(一)循纲忆知 1.理解函数的单调性及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. (二)小题查验 1.判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) )

(2)函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3)(

(3) 在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变 量”( )

1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)(

x

) )

(5)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)( 答案:(1)? (2)√ (3)? (4)? (5)? 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x -2x(x∈[2,4])的增区间为________. 答案:[2,4]
2

3.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 k 的取值范围是________. 1? ? 答案:?-∞,- ? 2? ? 基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知 1.理解函数最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的最值. (二)小题查验 1.判断正误 (1)所有的单调函数都有最值( ) )

1 1 (2)函数 y= 在[1,3]上的最小值为 ( x 3 答案:(1)? (2)√

2 . ( 人教 A 版教材例题改编 ) 已知函数 f(x) = ________. 答案:2

2

x-1

(x ∈ [2,6]) ,则函数的最大值为

对应学生用书P15 考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)

[必备知识] 1.定义法 设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D? I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 2.导数法 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间上单调递增;如果

f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间上单调递减.
[题组练透] 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x C.f(x)=- 1 x+1
2

)

B.f(x)=x -3x D.f(x)=-|x|

解析:选 C 当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数;

? 3? 2 当 x∈?0, ?时,f(x)=x -3x 为减函数, ? 2? ?3 ? 2 当 x∈? ,+∞?时,f(x)=x -3x 为增函数; ?2 ?
当 x∈(0,+∞)时,f(x)=- 1

x+1

为增函数;

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.故选 C. -2x 2.判断函数 g(x)= 在(1,+∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, -2x1 -2x2 2?x1-x2? 则 g(x1)-g(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 因为 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数. [类题通法] 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数判断.但是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定义法 进行判断. 考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)

[必备知识] 单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. [典题例析] 求下列函数的单调区间: (1)y=-x +2|x|+1; 1 2 (2)y=log (x -3x+2). 2
? ?-x +2x+1,x≥0, 解:(1)由于 y=? 2 ?-x -2x+1,x<0, ? ?-?x-1? +2,x≥0, ? 即 y=? 2 ?-?x+1? +2,x<0. ?
2 2 2

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1], 单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)令 u=x -3x+2,则原函数可以看作 y=log 1 u 与 u=x -3x
2
2 2

+2 的复合函数. 令 u=x -3x+2>0,则 x<1 或 x>2. ∴函数 y=log 1 (x -3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2
2 2

3 2 又 u=x -3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 ∴u=x -3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而 y=log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数,
2
2

∴y=log 1 (x -3x+2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
2

2

[类题通法] 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观 性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. [提醒] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分

别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. [演练冲关] 1.若将典例(1)中的函数变为“y=|-x +2x+1|”,则结论如何? 解:函数 y=|-x +2x+1|的图象如图所示. 由图象可知,函数 y= |- x + 2x+ 1|的单调递增区间为 (1- 2,1)和(1+ 2,+∞);单调递减区间为(-∞,1- 2)和(1,1 + 2). 2.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)=
? ?f?x?,f?x?≤k, ? ?k,f?x?>k, ?
2 2 2

取函数 f(x)=2

-|x|

1 .当 k= 时,求函数 fk(x)的单调递增区间. 2

1 解:由 f(x)> ,得-1<x<1. 2 1 由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2 2 ,x≥1, ? ?1 (x)=? ,-1<x<1, 2 ? ?2 ,x≤-1.
x
-x

所以 f 1
2

故 f 1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 函数的最值 (1)函数最大(小)值的几何意义: 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标; 函数的最小值 对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在 区间[b,c]上单调递减,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y =f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在

x=b 处有最小值 f(b).
[多角探明] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某 一问中.

函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一:求函数的值域或最值 1 ? ? ,x≥1, 1.函数 f(x)=?x ? ?-x2+2,x<1

的最大值为________.

1 解析:当 x≥1 时,函数 f(x)= 为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=

x
2

1;当 x<1 时,易知函数 f(x)=-x +2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 答案:2 角度二:比较两个函数值或两个自变量的大小 2.已知函数 f(x)=log2x+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 1 ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

1 解析:选 B ∵函数 f(x)=log2x+ 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0, 1-x ∴当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. 角度三:解函数不等式 3. f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数, 满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, 当 f(x) +f(x-8)≤2 时,x 的取值范围是( A.(8,+∞) C.[8,9] 解析:选 B ) B.(8,9] D.(0,8) 2 = 1 + 1 = f(3) + f(3) = f(9) ,由 f(x) + f(x -8)≤2,可得 f[x(x -

x>0, ? ? 8)]≤f(9),因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有?x-8>0, ? ?x?x-8?≤9,
解得 8<x≤9. 角度四:利用单调性求参数的取值范围或值

?a-2?x,x≥2, ? ? 4 . 已 知 函 数 f(x) = ??1?x ? ? -1,x<2 ? ??2?

满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 , 都 有

f?x1?-f?x2? <0 成立,则实数 a 的取值范围为( x1-x2
A.(-∞,2) C.(-∞,2]

)

13? ? B.?-∞, ? 8? ?

?13 ? D.? ,2? ?8 ?

解析:选 B 由题意可知,函数 f(x)是 R 上的减函数,

a-2<0, ? ? 于是有? ?1?2 ?a-2??2≤? ? -1, ? ?2? ?
13 由此解得 a≤ , 8 13? ? 即实数 a 的取值范围是?-∞, ? . 8? ? [类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数 的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符 号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调 区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a, b]上是单调的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.

对应A本课时跟踪检测?五?

一、选择题 1.(2014?北京高考)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

)

B.y=x

3

C.y=ln x

D.y=|x|

解析:选 B 因为对数函数 y=ln x 的定义域不是 R,故首先排除选项 C;因为指数函数

y=e-x,即 y=? ?x,在定义域内单调递减,故排除选项 A;对于函数 y=|x|,当 x∈(-∞, e
0)时,函数变为 y=-x,在其定义域内单调递减,因此排除选项 D;而函数 y=x 在定义域 R 上为增函数.故选 B. 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] C.[0,2]
2 3

?1? ? ?

) B.[-1,0] D.[2,+∞)

?x -2x,x≥2, ? 解析:选 A 由于 f(x)=|x-2|x=? 2 ? ?-x +2x,x<2.

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 3.(2015?黑龙江牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对 称,且当 x≥1 时,f(x)=3 -1,则(
x

)

?1? ?3? ?2? A.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?2? ?3? ?2? ?3? ?1? B.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?2? ?3? ?2? ?1? ?3? C.f? ?<f? ?<f? ? ?3? ?3? ?2? ?3? ?2? ?1? D.f? ?<f? ?<f? ? ?2? ?3? ?3?
解析:选 B 由题设知,当 x<1 时,f(x)单调递减,当 x≥1 时,f(x)单调递增,而 x=1 1 1 2 ?3? ? 1? ? 1? ?1? 为对称轴,∴f? ?=f?1+ ?=f?1- ?=f? ?,又 < < <1, 3 2 3 ?2? ? 2? ? 2? ?2?

?1? ?1? ?2? ?1? ?3? ?2? ∴f? ?>f? ?>f? ?,即 f? ?>f? ?>f? ?. ?3? ?2? ?3? ?3? ?2? ?3?
4.?创新题?定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b ,则函数 f(x) =(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 B. 1 D.12 )
2

解析:选 C 由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2, 当 1<x≤2 时,f(x)=x -2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x -2 在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为 f(2)=2 -2=6.
?log2x,x≥1, ? 5 .已知函数 f(x) =? ?x+c,x<1, ?
3 3 3

则“c =-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的

(

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若函数 f(x)在 R 上递增,则需 log21≥c+1,即 c≤-1.由于 c=-1? c≤ -1,但 c≤-1? / c=-1,所以“c=-1”是“f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件.故 选 A. 6.(2015?长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(-x)=0,且在(-∞, 0)上单调递增,如果 x1+x2<0 且 x1x2<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.可能为 0 C.恒小于 0 解析:选 C 由 x1x2<0 不妨设 x1<0,x2>0. ∵x1+x2<0,∴x1<-x2<0. 由 f(x)+f(-x)=0 知 f(x)为奇函数. 又由 f(x)在(-∞,0)上单调递增得,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),所以 f(x1)+f(x2)<0. 故选 C. 二、填空题 B.恒大于 0 D.可正可负 )

??1?? 7.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 f?? ??<f(1),则实数 x 的取值范围是________. x ?? ?? ??1?? 解析:由题意知 f(x)为 R 上的减函数且 f?? ??<f(1); x ?? ?? ?1? 则? ?>1,即|x|<1,且 x≠0.故-1<x<1 且 x≠0. x ? ?
答案:(-1,0)∪(0,1) 8.已知函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a 的取值范围为 ________________. 解析:函数 f(x)=x -2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a, 画出草图如图所示. 由图象可知,函数在(-∞,a]和[a,+∞)上都具有单调性,因此要 使函数 f(x)在区间[1,2]上具有单调性,只需 a≤1 或 a≥2,从而 a∈(- ∞,1]∪[2,+∞). 答案:(-∞,1]∪[2,+∞) 1,x>0, ? ? 9 .设 函数 f(x) = ?0,x=0, ? ?-1,x<0, ________.
2 2

g(x) = x2f(x - 1) , 则函数 g(x) 的递 减区间 是

x ,x>1, ? ? 解析:由题意知 g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1.
间是[0,1). 答案:[0,1)

2

函数图象如图所示,其递减区

2x+k 10.使函数 y= 与 y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,则实数 k 的取 x-2 值范围是________________. 解析:由 y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,故在(3,+∞)上是增函 数. 2x+k 2?x-2?+4+k 4+ k 又函数 y= = =2+ , x-2 x-2 x- 2 使其在(3,+∞)上是增函数, 故 4+k<0,得 k<-4. 答案:(-∞,-4) 三、解答题 11.已知 f(x)=

x

x-a

(x≠a).

(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=

x2 2?x1-x2? - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

x1

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a?x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时, x

?x1? ? 2?

f(x)<0.

(1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 解:(1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0, 故 f(1)=0. (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2, 则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, 所以 f? ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0, 因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). 由 f? ?=f(x1)-f(x2)得,

x1 x2

?x1? ?x2?

?x1? ?x2?

f? ?=f(9)-f(3), 3
而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

?9? ? ?

第三节

函数的奇偶性及周期性

对应学生用书P17

基础盘查一 函数的奇偶性 (一)循纲忆知 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. (二)小题查验 1.判断正误

(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0( (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点(

) ) )

(3)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x)+g(x)是偶函数( (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( 答案:(1)√ (2)? (3)√ (4)√ )

2.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) =x(1+x),则 x<0 时,f(x)=________. 答案:x(1-x) 3.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 1 答案: 3 基础盘查二 函数的周期性 (一)循纲忆知 了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若 T 是函数的一个周期,则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期( )
2

(2)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数 ( ) 答案:(1)√ (2)√ 2.若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(8)-f(14)= ________. 答案:-1

对应学生用书P18 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)

[必备知识] 函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x)[或 f(-x)=-f(x)], 那 么函数 f(x)就叫做偶函数(奇函数). [提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. [题组练透] 判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)= 1-x + x -1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3 -3 ; 4-x (4)f(x)= ; |x+3|-3
? ?x +x,x>0, (5)f(x)=? 2 ?x -x,x<0. ? ?x -1≥0, ? 解:(1)∵由? 2 ?1-x ≥0, ?
2 2 2

2

2

x

-x

得 x=±1,

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=±f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
?3? (2)∵函数 f(x)= 3-2x+ 2x-3的定义域为? ?, ?2?

不关于坐标原点对称, ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)∵f(x)的定义域为 R, ∴f(-x)=3 -3 =-(3 -3 )=-f(x), 所以 f(x)为奇函数.
? ?4-x ≥0, (4)∵由? ? ?|x+3|-3≠0,
2 -x

x

x

-x

得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x 4-x 4-x ∴f(x)= = = , |x+3|-3 ?x+3?-3 x ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (5)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当 x>0 时,f(x)=x +x, 则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x -x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x -x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x +x=f(x),故原函数是偶函数. [类题通法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路
2 2 2 2 2 2 2

1.定义法:

2.图象法:

3.性质法: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇?奇”是偶,“奇÷奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶?偶”是偶,“偶÷偶”是偶; (3)“奇?偶”是奇,“奇÷偶”是奇. [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有对各段上的 x 都 满足相同的关系时,才能判断其奇偶性. 考点二 函数的周期性(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1.周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有

f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.
2.最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. [一题多变] [典型母题] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x . (1)求函数的最小正周期; (2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015). [解] (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的最小正周期为 4.
2

(2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.
又∵f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2 012)+f(2 013)+

f(2 014)+f(2 015)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)=0.

[题点发散 1] 本例条件若改为:设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当

x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2.试计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)的值.
解:因为 f(x+2)=f(x),所以周期 T=2. 又 f(0)=0,f(1)=1, 所以 f(0)=f(2)=f(4)=?=f(2 014)=0,

f(1)=f(3)=f(5)=?=f(2 015)=1,
所以 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)=1 008. [题点发散 2] 若本例中条件变为“f(x+2)=- 解:∵对任意 x∈R,都有 f(x+2)=- ∴f(x+4)=f(x+2+2)=- 1 , 1 1

f?x?

”,求函数 f(x)的最小正周期.

f?x?

1 =- f?x+2?

=f(x), 1 - f?x?

∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. [题点发散 3] 在本例条件下,求 f(x)(x∈[2,4])的解析式. 解:当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x) =-2x-x , 又 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-2x-x . ∴f(x)=x +2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4) +2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4) +2(x-4)=x -6x+8. 故 x∈[2,4]时,f(x)=x -6x+8. [类题通法] 1.判断函数周期性的两个方法
2 2 2 2 2 2 2 2

(1)定义法. (2)图象法. 2.周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1

f?x?

,则 T=2a;

(3)若 f(x+a)=-

1 ,则 T=2a.(a>0) f?x?

[提醒] 应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内. 考点三 函数性质的综合应用(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 高考对于函数性质的考查,一般不会单纯地考查某一个性质,而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查. 归纳起来常见的命题角度有: (1)单调性与奇偶性结合; (2)周期性与奇偶性结合; (3)单调性、奇偶性与周期性结合. 角度一:单调性与奇偶性结合 1.(2015?洛阳统考)下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是( A.y=x
2

)

B.y=2 1 |x|
2

|x|

C.y=log2

D.y=sin x
|x|

解:选 C 函数 y=x 在(-∞,0)上是减函数;函数 y=2 在(-∞,0)上是减函数;函 1 数 y=log2 =-log2|x|是偶函数, 且在(-∞, 0)上是增函数; 函数 y=sin x 不是偶函数. 综 |x| 上所述,选 C. 2. 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2], 且在区间[-2,0]上递减, 求满足 f(1-m)+f(1 -m )<0 的实数 m 的取值范围. 解:∵f(x)的定义域为[-2,2],
?-2≤1-m≤2, ? ∴? 2 ?-2≤1-m ≤2, ?
2

解得-1≤m≤ 3.①

又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m )=f(m -1)? 1-m>m -1,
2 2 2

解得-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 即实数 m 的取值范围是[-1,1). 角度二:周期性与奇偶性结合 3.(2015?石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,

f(5)=

2a-3 ,则实数 a 的取值范围为( a+1

) B.(-2,0) D.(-1,2)

A.(-1,4) C.(-1,0)

解:选 A ∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数, ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),∵f(1)<1,f(5)= 解得-1<a<4,故选 A. 角度三:单调性、奇偶性与周期性结合 4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数, 则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 2a-3 2a-3 a-4 ,∴ <1,即 <0, a+1 a+1 a+1

解:选 D ∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f(x),∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80) =f(0),f(11)=f(3). 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11)=f(3)=-f(-1) =f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f(11). [类题通法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的 对称性. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)周期性、 奇偶性与单调性结合. 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 间,然后利用奇偶性和单调性求解.

对应B本课时跟踪检测?六?

一、选择题 1.(2015?河南信阳二模)函数 f(x)=lg|sin x|是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 解析:选 C 易知函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z},关于原点对称,又 f(-x)=lg )

|sin(-x)|=lg |-sin x|=lg |sin x|=f(x),所以 f(x)是偶函数,又函数 y=|sin x| 的最小正周期为 π ,所以函数 f(x)=lg|sin x|是最小正周期为 π 的偶函数. 2.(2015?大连测试)下列函数中,与函数 y=-3 的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单 调性也相同的是( 1 A.y=- ) B.y=log2|x|
2 |x|

x

C.y=1-x

D.y=x -1
|x|

3

解析:选 C 函数 y=-3 为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项 B 的函数是偶函数, 但其单调性不符合,只有选项 C 符合要求. 3.(2015?唐山统考)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +ln(1+x).则当 x <0 时,f(x)=(
3 3

) B.x +ln(1-x) D.-x +ln(1-x)
3 3 3

A.-x -ln(1-x) C.x -ln(1-x)
3

解析:选 C 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +ln(1-x),∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x) +ln(1-x)],∴f(x)=x -ln(1-x).
3 3

x2+x+1 2 4.(2015?长春调研)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( x +1 3
A. C. 2 3 4 3 2 B.- 3 4 D.- 3

)

解析:选 C 根据题意,f(x)=

x2+x+1 x x =1+ 2 ,而 h(x)= 2 是奇函数,故 f(- x2+1 x +1 x +1
2 4 3 3

a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2- = ,故选 C.
5. (2015?甘肃天水一模)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数, g(x)是 R 上的奇函数, 且 g(x) =f(x-1),若 f(2)=2,则 f(2 014)的值为( )

A.2 C.-2

B. 0 D.±2

解析:选 A ∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1). 又 g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1), ∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 f(2 014)=f(2)=2. 6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2-a )>f(a), 则实数 a 的取值范围是( ) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2 2 2

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

解析:选 C ∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x +2x.作 出函数 f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知 f(x)是 R 上的 增函数,由 f(2-a )>f(a),得 2-a >a,解得-2<a<1. 二、填空题 7.若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立, ∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a =0. 法二:由 f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|得 a=0. 答案:0 8.(2015?江苏南通二模)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-
2 2 2

x)=0; ②f(x)=f(x+2); ③当 0≤x≤1 时, f(x)=2x-1, 则 f? ?+f(1)+f? ?+f(2)+f? ? 2 2 2
=________. 解析:依题意知:函数 f(x)为奇函数且周期为 2,

?1? ? ?

?3? ? ?

?5? ? ?

?1? ?3? ?5? ∴f? ?+f(1)+f? ?+f(2)+f? ? ?2? ?2? ?2? ?1? ? 1? ?1? =f? ?+f(1)+f?- ?+f(0)+f? ? ?2? ? 2? ?2? ?1? ?1? ?1? =f? ?+f(1)-f? ?+f(0)+f? ? 2 2 ? ? ? ? ?2? ?1? =f? ?+f(1)+f(0) ?2?
1

=2 2 -1+2 -1+2 -1 = 2.

1

0

答案: 2

?1?x 则 f(1), 9. 已知 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且 f(x)-g(x)=? ? , ?2?
g(0),g(-1)之间的大小关系是______________.

?1?x x 解析:在 f(x)-g(x)=? ? 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x) ?2?
分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x) -g(x)=2 .于是解得 f(x)=
x

2 -2 2 +2 3 ,g(x)=- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(- 2 2 4

-x

x

-x

x

5 1)=- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 4 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 10 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?

?3? ? 1? 且 f(-1)=f(1), 解析: 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2?
1 b+2 2 1 1 1 ? ? ? ? 故 f? ?=f?- ?,从而 =- a+1,即 3a+2b=-2.① 1 2 ?2? ? 2? +1 2 由 f(-1)=f(1),得-a+1=

b+2
2

,即 b=-2a.②

由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10 三、解答题 -x +2x,x>0, ? ? 11.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx,所以 m=2.
2 2 2 2 2

是奇函数.

(2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知?
?a-2>-1, ? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 12.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 解:(1)由 f(x+2)=-f(x),得

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(π )=f(-1?4+π )=f(π -4)=-f(4-π )=-(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 从而可知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所 示.

设当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,

?1 ? 则 S=4S△OAB=4?? ?2?1?=4. ?2 ?
(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

第四节

函数的图象

对应学生用书P20

基础盘查一 利用描点法作函数图象 (一)循纲忆知

会利用描点法作一些函数图象(如 y=sin x). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 f(x)=

x-1 与 g(x)= x-1的图象相同( x-1

)

?1 1? 3 (2)点(0,0),? , ?,(1,1),(2,8)为 y=x 的关键点( ?2 8?
答案:(1)? (2)√ 2.函数 y= (a>1)的图象的大致形状是( |x|

)

xax

)

答案:A 基础盘查二 利用图象变换法作函数图象 (一)循纲忆知 能用变换法作函数图象,并会运用函数图象理解和研究函数的性质. (二)小题查验 1.判断正误 (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同( (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同( (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称( ) ) )

(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称 ( ) (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象( 答案:(1)? (2)? (3)? (4)√ (5)? 2.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应的函数为( ) )

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) 答案:C

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

对应学生用书P20 考点一 作函数的图象(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 描点法作函数图象的基本步骤:列表、描点、连线. 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. [题组练透] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2
x+2



(3)y=x -2|x|-1.
? ?lg x,x≥1, 解:(1)y=? ?-lg x,0<x<1. ?
x

2

图象如图 1.

(2)将 y=2 的图象向左平移 2 个单位.图象如图 2. (3)y=?
?x -2x-1,x≥0, ? ? ?x +2x-1,x<0.
2 2

图象如图 3.

[类题通法] 画函数图象的一般方法 1.直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数 的特征直接作出; 2.图象变换法.变换包括:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换. (1)平移变换:

a>0,右移a个单位 y=f(x)a― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(x-a); <0 ,左移 | a― |个单位 b>0,上移b个单位 y=f(x)b― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(x)+b. <0 ,下移 | b― |个单位
(2)伸缩变换: 1 0<ω <1,伸长为原来的 倍 ω y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(ω x); 1 ω >1,缩短为原来的 ω

A>1,伸为原来的A倍 y=f(x)0< ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → A <1 ,缩为原来的 Ay=Af(x).
(3)对称变换: 关于x轴对称 y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=-f(x); 关于y轴对称 y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=f(-x);

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― →y=-f(-x).
(4)翻折变换: 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(|x|); 将 y― 轴右边的图象翻折到左边去 留下x轴上方图 y=f(x)将― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=|f(x)|. x轴下方图翻折上去 考点二 识图与辨图(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] 1.(2015?海淀区期中测试)函数 f(x)=2x+sin x 的部分图象可能是( )

关于原点对称

解析:选 A 因为 x∈R,f(-x)=-2x-sin x=-f(x),所以函数图象关于原点对称, 又 f′(x)=2+cos x>0,所以函数单调递增,因此选 A. 2.已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-

x)的图象为(

)

解:选 B 法一:由 y=f(x)的图象知
? ?x,0≤x≤1, f(x)=? ?1,1<x≤2. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],

?1,0≤x≤1, ? 所以 f(2-x)=? ?2-x,1<x≤2, ? ? ?-1,0≤x≤1, 故 y=-f(2-x)=? ?x-2,1<x≤2. ?

法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各选项,可知应选 B. [类题通法] 识图常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解 决问题. [演练冲关]

?-2x,-1≤x≤0, 1.已知 f(x)=? ? x,0<x≤1,

则下列函数的图象错误的是(

)

解析:选 D 先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,如图所示, 再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 y=f(x-1)的图 象,因此 A 正确; 作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的 图象,因此 B 正确;

y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,C 正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x,相
应这部分图象不是一条线段,因此选项 D 不正确.

综上所述,选 D. 2.如图,不规则四边形 ABCD 中:AB 和 CD 是线段,AD 和 BC 是圆弧,直 线 l⊥AB 交 AB 于 E,当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时,把四边形

ABCD 分成两部分,设 AE=x,左侧部分的面积为 y,则 y 关于 x 的图象大致是
( )

解析:选 C 当 l 从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了 D 点后面积 保持匀速增加,图象呈直线变化,过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢,故选 C. 3.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别 为(0,0),(1,2),(3,1),则 f?

? 1 ?的值等于________. ? ?f?3??

解析:∵由图象知 f(3)=1, ∴ 1

f?3?

=1.∴f?

? 1 ?=f(1)=2. ? ?f?3??

答案:2 考点三 函数图象的应用(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系 提供了“形”的直观性. 归纳起来图象的应用常见的命题角度有: (1)研究函数的性质; (2)确定方程根的个数; (3)求参数的取值范围; (4)求不等式的解集. 角度一:研究函数的性质 1.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) 解析:选 C 将 函 数 f(x) = x|x| - 2x 去 掉 绝 对 值 得 f(x) = )

?x -2x,x≥0, ? ? 2 ?-x -2x,x<0, ?

2

画出函数 f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数 f(x)的图象关于原

点对称,故函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减. 角度二:确定方程根的个数
? ?|lg x|,x>0, 2.(2015?日照一模)已知 f(x)=? |x| ?2 ,x≤0, ?

则函数 y=2f (x)-3f(x)+1 的零

2

点个数是________. 1 2 解析:方程 2f (x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1.作出 y=f(x)的图象,由图象知 2 零点的个数为 5.

答案:5

角度三:求参数的取值范围 3.(2014?山东高考)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个 不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( )

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.(1,2)

?1 ? B.? ,1? ?2 ?
D.(2,+∞)

解析: 选 B 在同一坐标系中分别画出函数 f(x), g(x)的图象如图所示, 方程 f(x)=g(x) 有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线 y=

kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y=x-1 的斜率时符合题意,故
<k<1.

1 2

角度四:求不等式的解集 4.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式

f?x? <0 的解集为______. cos x

? π? 解析:在?0, ?上 y=cos x>0, 2? ?
在?

?π ,4?上 y=cos x<0. ? ?2 ?

? π ? f?x?<0, 由 f(x)的图象知在?1, ?上 2 ? cos x ?
因为 f(x)为偶函数,y=cos x 也是偶函数, 所以 y= 所以

f?x? 为偶函数, cos x

f?x? ? π ? ? π? <0 的解集为?- ,-1?∪?1, ?. 2? cos x ? 2 ? ?

? π ? ? π? 答案:?- ,-1?∪?1, ? 2? ? 2 ? ?
[类题通法] 1.利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图象的左右范围对应 定义域;上下范围对应值域;上升、下降趋势对应单调性;对称性对应奇偶性. 2. 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数; 利用此法也可由 解的个数求参数值. 3.有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解.

对应A本课时跟踪检测?七?

一、选择题 1.函数 y=e1-x 的图象大致是(
2

)

解析:选 C 易知函数 f(x)为偶函数,因此排除 A,B;又因为 f(x)=e1-x >0,故排 除 D,因此选 C. 2.为了得到函数 y=2
x-3

2

-1 的图象,只需把函数 y=2 的图象上所有的点(

x

)

A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

解析: 选A

x- 3 x-3 y=2x ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=2 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=2 -1.故选 A.

向右平移3个单位长度

向下平移1个单位长度

?1? 3.(2015?海淀区期中测试)下列函数 f(x)图象中,满足 f? ?>f(3)>f(2)的只可能是 ?4?
( )

?1? ?1? 解析:选 D 因为 f? ?>f(3)>f(2),所以函数 f(x)有增有减,排除 A,B.在 C 中,f? ? ?4? ?4? ?1? <f(0)=1,f(3)>f(0),即 f? ?<f(3),排除 C,选 D. ?4?
π? ? 4.设函数 F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,且?-π ,- ?是函数 F(x)的一个单调递增区 2? ? 间.将函数 F(x)的图象向右平移 π 个单位,得到一个新的函数 G( x)的图象,则 G(x)的一 个单调递减区间是( π? ? A.?-π ,- ? 2? ? C.? )

? π ? B.?- ,0? 2 ? ?
D.?

?π ,π ? ? ?2 ?

?3π ,2π ? ? ? 2 ?

解析:选 D ∵F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,∴F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)

?π ? 为偶函数,∴? ,π ?为函数 F(x)的一个单调递减区间. 将 F(x)的图象向右平移 π 个单位, ?2 ?
得到一个新的函数 G(x)的图象,则 G(x)的一个单调递减区间是?

?3π ,2π ?. ? ? 2 ?

5.(2015?成都模拟)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式

f?x?-f?-x? <0 的解集为( x
A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

解析: 选 D f(x)为奇函数, 所以不等式

f?x?-f?-x? f?x? <0 化为 <0, 即 xf(x)<0, x x

f(x)的大致图象如图所示.所以 xf(x)<0 的解集为(-1,0)∪(0,1).

6.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?

?a,a-b≤1, ? ?b,a-b>1. ?

设函数f?x?=(x -2)?(x )

2

-1), x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] 解析:选 B ∵a?b=?
2

B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

? ?a,a-b≤1, ?b,a-b>1, ?

∴函数 f(x)=(x -2)?(x-1)
? ?x -2,-1≤x≤2, =? ?x-1,x<-1或x>2. ?
2

结合图象可知,当 c∈(-2,-1]∪(1,2]时,函数 f(x)与 y=c 的图象有两个公共点, ∴c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2]. 二、填空题 7.已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x)=log 解析:当 f(x)>0 时,函数 g(x)=log
2 2

f(x)的定义域是________.

f(x)有意义,

由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 的 x∈(2,8]. 答案:(2,8] 8.函数 f(x)=

x+ 1 的图象的对称中心为________. x x+1 1 =1+ ,故 f(x)的对称中心为(0,1). x x

解析:因为 f(x)= 答案:(0,1)

9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成, 则 f(x)的解析式为____________.

解析:当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b,
? ?-k+b=0, 则? ?b=1, ?

得?

? ?k=1, ?b=1. ?

∴y=x+1.
2

当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2) -1, 1 2 ∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2) -1,得 a= . 4

x+1,-1≤x≤0, ? ? 答案:f(x)=?1 2 ?x-2? -1,x>0 ? ?4
10.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立, 则实数 a 的取值范围是____________. 解析:如图作出函数 f(x)=|x+a|与 g(x)=x-1 的图象,观 察图象可知:当且仅当-a≤1,即 a≥-1 时,不等式 f(x)≥g(x) 恒成立,因此 a 的取值范围是[-1,+∞). 答案:[-1,+∞) 三、解答题
? ?3-x ,x∈[-1,2], 11.已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈?2,5]. ?
2

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知, 函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. (3)由图象知当 x=2 时,f(x)min=f(2)=-1, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=3. 1 12.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称.

x

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在

a x

h(x)的图象上,

1 即 2-y=-x- +2,

x

1 ∴y=f(x)=x+ (x≠0).

x

(2)g(x)=f(x)+ =x+

a x

a+1 , x

a+1 g′(x)=1- 2 . x
∵g(x)在(0,2]上为减函数, ∴1-

a+1 ≤0 在(0,2]上恒成立, x2
2

即 a+1≥x 在(0,2]上恒成立, ∴a+1≥4,即 a≥3, 故 a 的取值范围是[3,+∞).

见课时跟踪检测A本

命题点一 函数的概念及其表示 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014?山东高考)函数 f(x)= A.(0,2) C.(2,+∞)

1 log2x-1

的定义域为(

)

B.(0,2] D.[2,+∞)

解析:选 C 由题意可知 x 满足 log2x-1>0,即 log2x>log22,根据对数函数的性质得

x>2,即函数 f(x)的定义域是(2,+∞).
2.(2014?江西高考)已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax -x(a∈R),若 f[g(1)]=1,则 a =( ) A.1 C.3 B. 2 D.-1
|x| 2 |x| 2

解析:选 A 因为 f[g(1)]=1,且 f(x)=5 ,所以 g(1)=0,即 a?1 -1=0,解得 a =1. 3.(2012?安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| )

C.f(x)=x+1

D.f(x)=-x

解析:选 C 对于选项 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项 B,f(x)=x-|x|=
?0?x≥0? ? ? ? ?2x?x<0?

,当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2?2x=2f(x),

恒有 f(2x)=2f(x);对于选项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+ 1=2f(x)-1.
?x +2x+2,x≤0, ? 4 .(2014?浙江高考 ) 设函数 f(x) =? 2 ?-x , x>0. ?
2

若 f(f(a))= 2 ,则 a=

________. 解析:当 a≤0 时,f(a)=a +2a+2>0,f(f(a))<0,显然不成立;当 a>0 时,f(a)=-
2

a2,f(f(a))=a4-2a2+2=2,则 a=± 2或 a=0,故 a= 2.
答案: 2

命题点二 函数的基本性质 难度:中

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1. (2014?湖南高考)下列函数中, 既是偶函数又在区间 (-∞, 0)上单调递增的是( A.f(x)= 1
3

)

x2

B.f(x)=x +1 D.f(x)=2
-x

2

C.f(x)=x

1 2 解析:选 A 因为 y=x 在(-∞,0)上是单调递减的,故 y= 2在(-∞,0)上是单调递

x

1 2 3 增的,又 y= 2为偶函数,故 A 对;y=x +1 在(-∞,0)上是单调递减的,故 B 错;y=x

x

为奇函数,故 C 错;y=2 为非奇非偶函数,故 D 错.选 A. 2.(2014?湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-

-x

g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=(
A.-3 C.1

) B.-1 D. 3
3 2

解析: 选 C 用“-x”代替“x”, 得 f(-x)-g(-x)=(-x) +(-x) +1, 化简得 f(x) +g(x)=-x +x +1,令 x=1,得 f(1)+g(1)=1,故选 C. 3. (2014?陕西高考)下列函数中, 满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是(
1
3 2

)

A.f(x)=x 2

B.f(x)=x

3

?1?x C.f(x)=? ? ?2?
=3 是增函数,所以 D 正确.
x

D.f(x)=3

x

解析:选 D 根据各选项知,选项 C、D 中的指数函数满足 f(x+y)=f(x)f(y).又 f(x)

4.(2014?新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 ) B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

解析:选 C f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故 f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函 数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选 C. 5.(2014?四川高考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时, f(x)
? ?-4x +2,-1≤x<0, =? ?x, 0≤x<1, ?
2

?3? 则 f? ?=________. ?2?

?3? ? 1? ? 1? ? 1?2 解析:f? ?=f?2- ?=f?- ?=-4??- ? +2=1. ?2? ? 2? ? 2? ? 2?
答案:1 6.(2014?新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x- 1)>0,则 x 的取值范围是________. 解析:由题可知,当-2<x<2 时,f(x)>0,f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的,若 f(x-1)>0,则-1<x<3. 答案:(-1,3)

命题点三 函数的图象 难度:高、中

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

? ?x +1,x>0, 1.(2014?福建高考)已知函数 f(x)=? ?cos x,x≤0, ?

2

则下列结论正确的是(

)

A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数 解析:选 D
? ?x +1,x>0, 函数 f(x)=? ?cos x,x≤0 ?
2

B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 的图象如图所示,由图象知只有 D 正确.

2.(2013?北京高考)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.e C.e
x+1

x

) B. e
x-1

-x+1

D. e
x

-x-1

解析:选 D 与曲线 y=e 关于 y 轴对称的曲线为 y=e ,函数 y=e 的图象向左平移 一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象,即 f(x)=e
-(x+1)

-x

-x

=e

-x-1

.
2

3.(2013?湖南高考)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x -4x+5 的图象的交点个 数为( A.3 C.1 ) B. 2 D. 0
2

解析:选 B 在同一直角坐标系下画出函数 f(x)=2ln x 与函数 g(x)=x -4x+5=(x -2) +1 的图象,如图所示. ∵f(2)=2ln 2>g(2)=1,∴f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2,故选 B.
2

4.(2013?四川高考)函数 y= x 的图象大致是( 3 -1

x3

)

解析:选 C 因为函数的定义域是非零实数集,所以 A 错;当 x<0 时,y>0,所以 B 错; 当 x→+∞时,y→0,所以 D 错,故选 C. |x -1| 5. (2012?天津高考)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, x-1 则实数 k 的取值范围是________________.
?x+1,x≤-1或x>1, |x -1| ? 解析: 因为函数 y= =? x-1 ?-x-1,-1<x<1, ?
2 2

又函数 y

=kx-2 的图象恒过点(0,-2),根据图象易知,两个函数图象有两 个交点时,0<k<1 或 1<k<4. 答案:(0,1)∪(1,4)

第五节

二次函数与幂函数

对应学生用书P22

基础盘查一 幂函数 (一)循纲忆知 1.了解幂函数的概念(f(x)=x ). 1 2 3 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= ,y=x 2 的图象,了解它们的变化情况.
1
α

x

(二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 f(x)=x 与函数 f(x)=2x 都是幂函数( (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)( (3)幂函数的图象不经过第四象限(
α 2 2

)

)

) )

(4)当 α <0 时,幂函数 y=x 是定义域上的减函数( 答案:(1)? (2)? (3)√ (4)?

2.(人教 A 版教材习题改编)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2),则函数的解析式 为________________.
1

答案:f(x)=x 2 (x≥0) 基础盘查二 二次函数 (一)循纲忆知 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质;会求二次函数在闭区间上的最值. 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. (二)小题查验 1.判断正误 (1)二次函数 y=ax +bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 (2)二次函数 y=ax +bx+c,x∈R,不可能是偶函数(
2 2 2

4ac-b ( 4a )

2

)

(3)在 y=ax +bx+c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角系中的开口大小 ( ) 答案:(1)? (2)? (3)√

2.(北师大版教材习题改编)二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,对称轴为 x=3,与 y 轴交于点(0,3).则它的解析式为________________. 1 2 答案:y= x -2x+3 3 3.已知函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范 围为____________. 答案:(-∞,-2]
2

对应学生用书P23 考点一 幂函数的图象与性质(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.幂函数的概念 形如 y=x (α ∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数. [提醒] 幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变 量. 2.幂函数的性质 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义; (2)幂函数的图象过定点(1,1); (3)当 α >0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; (4)当 α <0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. [题组练透] 1.幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是( )
α

解析:选 C 令 f(x)=x ,则 4 =2, 1 ∴α = ,∴f(x)=x 2 . 2 2.已知幂函数 f(x)=(n +2n-2)x 是减函数,则 n 的值为( A.-3 C.2
2 2

α

α

1

n -3n

2

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上

) B. 1 D. 1 或 2

解析:选 B 由于 f(x)为幂函数,所以 n +2n-2=1, 解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意,故选 B.

3 . (2015? 安 徽 安 庆 三 模 ) 若 (a + 1) ________________. 解析: 不等式(a+1) -2a. 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2
? 1 3

?

1 3

<(3 - 2a)

?

1 3

,则实数 a 的取值范围是

<(3-2a)

?

1 3

等价于 a+1>3-2a>0 或 3-2a<a+1<0 或 a+1<0<3

?2 3? 答案:(-∞,-1)∪? , ? ?3 2?
[类题通法] 幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域, 即 x= 1,y=1,y=x 分区域.根据 α <0,0<α <1,α =1,α >1 的取值确定位置后,其余象 限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比 较. 考点二 求二次函数的解析式(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 二次函数解析式的三种表示方法 (1)一般式:y=ax +bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),其中(h,k)为抛物线顶点坐标; (3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标. [典题例析] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次 函数的解析式. 解:法一(利用一般式): 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0). 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2 2 2 2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.
2

∴所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 法二(利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m) +n. ∵f(2)=f(-1),
2

2+?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. 2

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x- ? +8. ? 2? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2- ? +8=-1,解得 a=-4, ? 2? ? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7. ? 2?
法三(利用零点式): 由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax -ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 解得 a=-4 或 a=0(舍). ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. [类题通法] 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; (3)已知图象与 x 轴两交点坐标,宜选用零点式. [演练冲关] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线段长为 2,并且对任意 x∈ R,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对 x∈R 恒成立, ∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2, ∴f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1. ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)(x-3), 即 f(x)=x -4x+3.
2 2 2

4a?-2a-1?-a =8. 4a

2

考点三 二次函数的图象与性质(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频 率非常高的一个热点,考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根 的分布等问题.

归纳起来常见的命题角度有: (1)二次函数的最值问题; (2)二次函数中恒成立问题; (3)二次函数的零点问题. 角度一:二次函数的最值问题 1.已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解:函数 f(x)=-x +2ax+1-a=-(x-a) +a -a+1,对称轴方程为 x=a. 当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. 当 0≤a≤1 时,f(x)max=a -a+1, ∴a -a+1=2,∴a -a-1=0, 1± 5 ∴a= (舍去). 2 当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 2.设函数 y=x -2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(x),求 g(x). 解:∵函数 y=x -2x=(x-1) -1, ∴对称轴为直线 x=1, ∵x=1 不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论. 当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a -2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,y 取得最 小值,即 ymin=-1.
? ?a -2a,-2<a≤1, 综上,g(x)=? ?-1,a>1. ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

角度二:二次函数中恒成立问题 3.已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax +2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,求实数 a 的取
2

值范围. 解:2ax +2x-3<0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,适合; 3?1 1?2 1 1 当 x≠0 时,a< ? - ? - ,因为 ∈(-∞,-1] 2?x 3? 6 x 1 1 ∪[1,+∞),当 x=1 时,右边取最小值 ,所以 a< . 2 2 1? ? 综上,实数 a 的取值范围是?-∞, ?. 2? ? 角度三:二次函数的零点问题 4.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x +(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根; 1 3 ? 1? (2)若 <t< ,求证:函数 f(x)在区间(-1,0)及?0, ?上各有一个零点. 2 4 ? 2? 证明:(1)∵f(x)=x +(2t-1)x+1-2t, ∴f(x)=1?(x+2t)(x-1)=0,(*) ∴x=1 是方程(*)的根,即 f(1)=1. 因此 x=1 是 f(x)=1 的实根,即 f(x)=1 必有实根. 1 3 (2)当 <t< 时,f(-1)=3-4t>0, 2 4
2 2 2

? ? f(0)=1-2t=2? -t?<0,
1 ?2

?

f? ?= + (2t-1)+1-2t= -t>0. 2
又函数 f(x)的图象连续不间断.

?1? 1 1 ? ? 4 2

3 4

? 1? 因此 f(x)在区间(-1,0)及?0, ?上各有一个零点. ? 2?
[类题通法] 二次函数图象与性质问题解题策略 1.对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题,应对参数分类讨论,分类讨 论的标准就是二次项系数与 0 的关系. 2. 当二次函数的对称轴不确定时, 应分类讨论, 分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、 中、右三种情况. 3.求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要 求.

对应B本课时跟踪检测?八?

一、选择题 1.(2015?湖北孝感调研)函数 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为 增函数,则实数 m 的值是( A.-1 C.3 解析: 选B ) B. 2 D.-1 或 2
2

m

f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数? m2-m-1=1? m=-1 或 m=2.又 x∈(0,+

∞)上是增函数,所以 m=2. 2 .(2015?阿克苏 3 月模拟 ) 已知幂函数 f(x) =x 的部分对应值如下表,则不等式
α

f(|x|)≤2 的解集是(

)

x f(x)

1 1

1 2 2 2

A.{x|-4≤x≤4} C.{x|- 2≤x≤ 2} 解析:选 A 由题意知
1

B.{x|0≤x≤4} D.{x|0<x≤ 2} 2 ?1?α =? ? , 2 ?2?

1 ∴α = ,∴f(x)=x 2 , 2
1

由|x| 2 ≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4. 3.(2015?洛阳统考)设函数 f(x)=x -23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2) +?+g(20)=( A.56 C.0 ) B.112 D.38
2

解析:选 B 由二次函数图象的性质得,当 3≤x≤20 时,f(x)+|f(x)|=0,∴g(1)+

g(2)+?+g(20)=g(1)+g(2)=112.
4.(2015?北京西城期末)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),且当 x∈(0,1] 时,f(x)=x -x,则当 x∈[-2,-1]时,f(x)的最小值为( 1 A.- 16 1 B.- 8
2

)

1 C.- 4

D. 0
2

解析:选 A 设 x∈[-2,-1],则 x+2∈[0,1],则 f(x+2)=(x+2) -(x+2),又

f(x+2)=f[(x+1)+1]=2f(x+1)=4f(x),∴f(x)= (x2+3x+2),∴当 x=- 时,取最
1 小值为- . 16 5.(2015?吉林松原月考)设函数 f(x)=x +x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( A.f(m+1)≥0 C.f(m+1)>0 B.f(m+1)≤0 D.f(m+1)<0
2

1 4

3 2

)

1 解析:选 C ∵f(x)的对称轴为 x=- ,f(0)=a>0, 2 ∴f(x)的大致图象如图所示.

由 f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.
?x +ax+1,x≥1, ? 6. 已知函数 f(x)=? 2 ?ax +x+1,x<1, ?
2

则“-2≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”

的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B
?x -x+1,x≥1, ? 当 a=-1 时,f(x)=? 2 ?-x +x+1,x<1, ?
2

作出图象可知,函数 f(x)在

R 上不是单调递增函数,所以充分性不满足;反之,若函数 f(x)在 R 上是单调递增函数,则

a 1 1 1 当 a=0 时满足,当 a≠0 时,- ≤1,a<0 且- ≥1,解得- ≤a<0,即- ≤a≤0.所以 2 2a 2 2
能够推出-2≤a≤0,故“-2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要不充分条件. 二、填空题 7 .二次函数的图象过点 (0,1) ,对称轴为 x = 2 ,最小值为- 1 ,则它的解析式为 ________________.

解析:依题意可设 f(x)=a(x-2) -1, 又其图象过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 2 ∴f(x)= (x-2) -1. 2 1 2 答案:f(x)= (x-2) -1 2 8.对于任意实数 x,函数 f(x)=(5-a)x -6x+a+5 恒为正值,则 a 的取值范围是 ________.
? ?5-a>0, 解析:由题意可得? ?36-4?5-a??a+5?<0, ?
2

2

解得-4<a<4. 答案:(-4,4) 9.已知幂函数 f(x)=x 解析:∵f(x)=x 2a),
? 1 2 ? 1 2

,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________.



1

x

(x>0),易知 x∈(0,+∞)时为减函数,又 f(a+1)<f(10-

a+1>0, ? ? ∴?10-2a>0, ? ?a+1>10-2a,
∴3<a<5. 答案:(3,5)

a>-1, ? ? 解得?a<5, ? ?a>3,

10.已知函数 f(x)=2x +(4-m)x+4-m,g(x)=mx,若存在实数 x,使 f(x)与 g(x) 均不是正数,则实数 m 的取值范围是________. 4- m m 2 解析:当 m≤0 时,函数 f(x)=2x +(4-m)x+4-m 的对称轴为 x=- =-1+ ≤ 4 4 -1, 且 f(0)≥4, 直线 g(x)=mx 过原点且过二、 四象限, 不符合题意; 当 m>0 时, 函数 f(x) 4-m m 2 =2x +(4-m)x+4-m 的对称轴 x=- =-1+ >-1,直线 g(x)=mx 过原点且过一、 4 4 Δ ≥0, ? ? 4-m <0, 三象限,由题意得?-1<- 4 ? ?f?0?>0 答案:[4,+∞)

2

或 f(0)≤0,解得 m≥4.综上所述,m≥4.

三、解答题 11.已知幂函数 f(x)=x
2 1 (m +m)-

(m∈N ).

*

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数 f(x)的图象经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a -1)的实数 a 的取值范围. 解:(1)∵m +m=m(m+1)(m∈N ),而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m +m 为偶数, ∴函数 f(x)=x 数. (2)∵函数 f(x)的图象经过点(2, 2), ∴ 2=2
2 2 1 (m +m)- 2 1 (m +m)- 2 2 *

(m∈N )的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函

*

1

,即 2 2 =2

2 1 (m +m)-



∴m +m=2,解得 m=1 或 m=-2.
1

又∵m∈N ,∴m=1,f(x)=x 2 . 又∵f(2-a)>f(a-1), 2-a≥0, ? ? ∴?a-1≥0, ? ?2-a>a-1, 3 解得 1≤a< , 2

*

故函数 f(x)的图象经过点(2, 2)时,m=1.

? 3? 满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围为?1, ?. ? 2?
12.已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小 值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故?
? ?f?3?=5, ?f?2?=2 ? ? ?9a-6a+2+b=5, ?? ?4a-4a+2+b=2 ?
2 2

??

? ?a=1, ?b=0. ?

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故?
? ?f?3?=2, ?f?2?=5 ? ? ?9a-6a+2+b=2, ?? ?4a-4a+2+b=5 ?
2

??

? ?a=-1, ?b=3. ?

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x -2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
2+m m+2 ∵g(x)在[2,4]上单调,∴ ≤2 或 ≥4. 2 2 ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).

第六节

指数与指数函数

对应学生用书P25

基础盘查一 根式 (一)循纲忆知 理解根式的概念并能化简. (二)小题查验 1.判断正误 (1) a 与( a) 都等于 a(n∈N )( (2)当 n∈N 时,( -3) 都有意义( (3) ?π -4? =4-π ( 答案:(1)? (2)? (3)√
2 *

n

n

n

n

*

) )

n

n

)

2.化简
-1

a3b2 ab2
1 4 1 2
4

3

?a b ? a 答案:ab

?

1 3

b

1 3

(a>0,b>0)的结果为____________.

基础盘查二 有理数指数幂 (一)循纲忆知 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (二)小题查验 1.判断正误
m

(1)分数指数幂 a n 可以理解为 个 a 相乘(

m n

)

(2)(-1) =(-1) = -1( 答案:(1)? (2)? 2.(人教 A 版教材习题改编)

2 4

1 2

)

3 6 (1)2 3? 1.5? 12=________. (2)(2a b )(-6a b )÷(-3a b )=________. 答案:(1)6 (2)4a 基础盘查三 指数函数的图象与性质 (一)循纲忆知 1.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 2.知道指数函数是一类重要的函数模型. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 y=3?2 与 y=2
m n x x+1

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

都不是指数函数( ) )

)

(2)若 a <a (a>0 且 a≠1),则 m<n( (3)函数 y=2 在 R 上为单调减函数(
2 -x

(4)函数 y=ax +1(a>1)的值域是(0,+∞)( (5)函数 y=a
x-1

) )

(a>0 且 a≠1)恒过点(1,1)(

答案:(1)√ (2)? (3)√ (4)? (5)√ 2.(人教 A 版教材习题改编)已知 0.2 <0.2 ,则 m______n(填“>”或“<”). 答案:> 3.指数函数 y=(2-a) 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是__________. 答案:(1,2)
x m n

对应学生用书P25 考点一 指数幂的化简与求值(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] (1)幂的有关概念: ①正分数指数幂:a = a (a>0,m,n∈N ,且 n>1). ②负分数指数幂:a
? m n

m n

n

m

*



1
m n



1

(a>0,m,n∈N ,且 n>1).

*

a

n

am

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.

(2)有理数指数幂的性质: ①a a =a
r s r s r+s

(a>0,r,s∈Q);

②(a ) =a (a>0,r,s∈Q); ③(ab) =a b (a>0,b>0,r∈Q). [提醒] 有理数指数幂的运算性质中,要求指数的底数都大于 0,否则不能用性质来运 算. [题组练透] 求值与化简:
r r r

r s

? 3?0 -2 ? 1? ? 0.5 (1)?2 ? +2 ??2 ? 2 -(0.01) ; ? 5? ? 4?
? 5 -2 -1 -3 (2) a 3 ?b ?(-3a 2 b )÷(4a 3 ?b ) 2 ; 6 2 ? 1 2 ? 1 2
1 1

1

1

2

1

?a 3 ?b ? (3) 6

-1

?a

?b 3

a?b5
1 1

1 ?4? 1 2 1 1 1 16 ? 1 ? 解:(1)原式=1+ ?? ? 2 -? ? 2 =1+ ? - =1+ - = . 4 ?9? 4 3 10 6 10 15 ?100? 5 ? -3 -3 (2)原式=- a 6 b ÷(4a 3 ?b ) 2 2
? 5 ? -3 =- a 6 b ÷(a 3 b 2 ) 4 ? 5 ? =- a 2 ?b 2 . 4 1 3 1
1

1

2

1

3

5 1 5 ab =- ? =- 2 . 3 4 4ab ab

(3)原式=

a

?

1 3

1

b 2 ?a a b
1 6 5 6

?

1 2

1

b3

=a

1 1 1 ? ? ? 3 2 6

?b 2

1 1 5 ? ? 3 6

1 = .

a

[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分 数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解

答. [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二 指数函数的图象及应用(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)当 a>1 时,指数函数的图象“上升”;当 0<a<1 时,指数函数的图象“下降”. (2)指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象过定点(0,1),且函数图象经过第一、二象限. [典题例析] 1 x 1.函数 y=a - (a>0,且 a≠1)的图象可能是(
x

a

)

1 x 解析:选 D 法一:当 0<a<1 时,函数 y=a - 是减函数,且其图象可视为是由函数 y

a

1 x =a 的图象向下平移 个单位长度得到的,结合各选项知选 D.

a

1 x 法二:因为函数 y=a - (a>0,且 a≠1)的图象必过点(-1,0),所以选 D.

a

2.(2015?衡水模拟)若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是 ________. 解析:曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图可知:如果|y|=2 +1 与直 线 y=b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1].
x x

x

答案:[-1,1] [类题通法] 指数函数图象的画法及应用

?-1,1?. x (1)画指数函数 y=a (a>0, a≠1)的图象, 应抓住三个关键点: (1, a), (0,1), ? ? ?
a?
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对 称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [演练冲关]

?1?x x 1. (2015?北京模拟)在同一坐标系中, 函数 y=2 与 y=? ? 的图象之间的关系是( ?2?
A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

)

?1?x -x 解析:选 A ∵y=? ? =2 , ?2?
∴它与函数 y=2 的图象关于 y 轴对称. 2.若将典例 2 中“|y|=2 +1”改为“y=|2 -1|”,且与直线 y=b 有两个公共点, 求 b 的取值范围. 解:曲线 y=|2 -1|与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得,如果曲线 y=|2 -1| 与直线 y=b 有两个公共点,则 b 的取值范围是(0,1).
x x x x x

考点三 指数函数的性质及应用(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 指数函数的性质 (1)定义域是 R; (2)值域是(0,+∞); (3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1; (4)当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. [多角探明] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用,难度偏小,属中低档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)比较指数式的大小; (2)简单的指数方程或不等式的应用; (3)探究指数型函数的性质. 角度一:比较指数式的大小

?3? ?2? ?2? 1.设 a=? ? 5 ,b=? ? 5 ,c=? ? 5 ,则 a,b,c 的大小关系是________. ?5? ?5? ?5?
2

2

3

2

解析:∵y=x 5 (x>0)为增函数,∴a>c.

?2?x ∵y=? ? (x∈R)为减函数,∴c>b,∴a>c>b. ?5?
答案:a>c>b 角度二:简单的指数方程或不等式的应用 1? ? ?? ?2?x-7,x<0, 2.设函数 f(x)=?? ? ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1)

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是(

)

B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

?1?a ?1?a ?1?a ?1?-3 解析:选 C 当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为? ? -7<1,即? ? <8,即? ? <? ? , ?2? ?2? ?2? ?2?
1 因为 0< <1,所以 a>-3,此时-3<a<0; 2 当 a≥0 时,不等式 f(a)<1 可化为 a<1, 所以 0≤a<1.故 a 的取值范围是(-3,1),故选 C. 角度三:探究指数型函数的性质

?1?ax2-4x+3. 3.已知函数 f(x)=? ? ?3?
(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.

?1?-x2-4x+3, 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=? ? ?3?
令 g(x)=-x -4x+3,
2

?1?t 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ? 在 R 上单 ?3?
调递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递 增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).

?1?g(x) 2 (2)令 g(x)=ax -4x+3,f(x)=? ? , ?3?
由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,

a>0, ? ? 因此必有?3a-4 =-1, ? ? a
解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知,

?1?g(x) 要使 y=? ? 的值域为(0,+∞). ?3?
应使 g(x)=ax -4x+3 的值域为 R, 因此只能 a=0.(因为若 a≠0,则 g(x)为二次函数,其值域不可能为 R). 故 a 的值为 0. [类题通法] 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题. 解决此类问题应利用指数函数的单调性, 要特 别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶 性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.
2

对应A本课时跟踪检测?九?

一、选择题 1.函数 f(x)=2
|x-1|

的图象是(

)

2 ,x≥1, ? ? 解析:选 B f(x)=??1?x-1 ? ? ,x<1, ? ??2? 2.已知 f(x)=3 A.[9,81]
x-b

x-1

故选 B.

(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域( B.[3,9]

)

C.[1,9]

D.[1,+∞)
x-2

解析:选 C 由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2,因 f(x)=3 =f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.可知 C 正确. 3.已知 a=2 ,b=0.4 ,c=0.4 ,则( A.a>b>c C.c>a>b
0.2 0.2 0.6

在[2,4]上是增函数,f(x)min

)

B.a>c>b D.b>c>a
0.2 0.6

解析:选 A 由 0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.4 >0.4 ,即 b>c;因 为 a=2 >1,b=0.4 <1,所以 a>b.综上,a>b>c. 4.(2015?太原一模)函数 y=2 -2 是( A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 解析:选 A 令 f(x)=2 -2 ,则 f(-x)=2 -2 =-f(x),所以函数 f(x)是奇函数, 排除 C,D. 又函数 y=-2 ,y=2 均是 R 上的增函数, 故 y=2 -2 在 R 上为增函数. 5.(2015?丽水模拟)当 x∈(-∞,-1]时,不等式(m -m)?4 -2 <0 恒成立,则实数
2 -x 0.2 0.2

x

-x

)

x

-x

-x

x

x

x

-x

x

x

m 的取值范围是(
A.(-2,1) C.(-1,2)

) B.(-4,3) D.(-3,4)

?1?x 2 解析:选 C 原不等式变形为 m -m<? ? , ?2? ?1?x ∵函数 y=? ? 在(-∞,-1]上是减函数, ?2? ?1?x ?1?-1 ∴? ? ≥? ? =2, ?2? ?2? ?1?x 2 2 当 x∈(-∞,-1]时,m -m<? ? 恒成立等价于 m -m<2,解得-1<m<2. ?2?
6.(2015?济宁三模)已知函数 f(x)=|2 -1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列 结论中,一定成立的是( A.a<0,b<0,c<0 C.2 <2
-a

x

) B.a<0,b≥0,c>0 D.2 +2 <2
x a c

c

解析:选 D 作出函数 f(x)=|2 -1|的图象,如图, ∵a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),结合图象知

0<f(a)<1,a<0,c>0,∴0<2 <1. ∴f(a)=|2 -1|=1-2 <1,∴f(c)<1,∴0<c<1. ∴1<2 <2,∴f(c)=|2 -1|=2 -1, 又∵f(a)>f(c),∴1-2 >2 -1, ∴2 +2 <2,故选 D.
a c a c c c c a a

a

二、填空题 7.已知函数 f(x)=ln?1- x?的定义域是(1,+∞),则实数 a 的值为________. ? 2? 解析: 由题意得, 不等式 1- x>0 的解集是(1, +∞), 由 1- x>0, 可得 2 >a, 故 x>log2a, 2 2 由 log2a=1 得 a=2. 答案:2 8.(2015?南昌一模)函数 y=8-2
3-x

?

a? a

a

x

(x≥0)的值域是________.

解析:∵x≥0,∴-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<2
3-x

≤2 =8,∴0≤8-2
3-x

3

3-x

<8,

∴函数 y=8-2 答案:[0,8)

的值域为[0,8).

9. 定义区间[x1, x2]的长度为 x2-x1, 已知函数 f(x)=3 的定义域为[a, b], 值域为[1,9], 则区间[a,b]的长度的最大值为________,最小值为________. 解析:由 3 =1 得 x=0,由 3 =9 得 x=±2,故满足题意的定义域可以为[-2,
|x| |x|

|x|

m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0),故区间[a,b]的最大长度为 4,最小长度为 2.
答案:4 2
x

10.(2015?济宁月考)已知函数 f(x)=(a-2)a (a>0,且 a≠1),若对任意 x1,x2∈R,

f?x1?-f?x2? >0,则 a 的取值范围是__________________. x1-x2
解析:当 0<a<1 时,a-2<0,y=a 单调递减,所以 f(x)单调递增;当 1<a<2 时,
x

a-2<0,y=ax 单调递增,所以 f(x)单调递减;当 a=2 时,f(x)=0;当 a>2 时,a-2>0, y=ax 单调递增,所以 f(x)单调递增.又由题意知 f(x)单调递增,故 a 的取值范围是(0,1)
∪(2,+∞). 答案:(0,1)∪(2,+∞) 三、解答题

11.化简下列各式: 37 ? 7?0.5 ? 10? ? -2 0 (1)?2 ? +0.1 +?2 ? 3 -3π + ; 9 27 48 ? ? ? ? 3 (2)
7 2
2

a ? a-3÷
1

3

a-3? a-1.
2

1 ?25? ?64? ? 3 -3+37 解:(1)原式=? ? 2 + ? 2+? 0.1 ?27? 48 ?9? 5 9 37 = +100+ -3+ =100. 3 16 48 3 (2)原式= 3 =
7 7 2 7 2 ? 3 2

3 ÷

a ?a
3
? 1 2

a

?

3 2

?a

?

1 2

a ÷
? 1 6

a
8

4

=a 6 ÷a

=a 6 =a 3 .

1 x 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 - |x|. 2 3 (1)若 f(x)= ,求 x 的值; 2 (2)若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 x 当 x≥0 时,f(x)=2 - x, 2 1 3 x 由 2 - x= , 2 2 得 2?2 -3?2 -2=0, 看成关于 2 的一元二次方程, 1 x x 解得 2 =2 或 2 =- , 2 ∵2 >0,∴x=1. 1 ? ? t 1? t? 2t (2)当 t∈[1,2]时,2 ?2 - 2t?+m?2 - t?≥0, 2 ? ? 2? ? 即 m(2 -1)≥-(2 -1),∵2 -1>0, ∴m≥-(2 +1), ∵t∈[1,2],∴-(2 +1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).
2t 2t 2t 4t 2t 2x

t

x

x

x

第七节

对数与对数函数

对应学生用书P27

基础盘查一 对数与对数运算 (一)循纲忆知 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)(-2) =-8 可化为 log(-2)(-8)=3( (2)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN( (3)logax?logay=loga(x+y)( 答案:(1)? (2)? (3)? 2.(人教 A 版教材习题改编)计算: (1)log35-log315=________. (2)log23?log34?log45?log52=________. 答案:(1)-1 (2)1 基础盘查二 对数函数的图象与性质 (一)循纲忆知 1.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 2.知道对数函数是一类重要的函数模型. 3.了解指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0 且 a≠1). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 y=log2x 及 y=log 1 3x 都是对数函数(
3
x
3

) )

)

) ) )

(2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数( (3)函数 y=ln 1+ x 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同( 1- x

?1 ? (4)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ,-1?,函数 ?a ?

图象只在第一、四象限(

)

答案:(1)? (2)? (3)√ (4)√ 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为________.

?3 ? 答案:? ,1? ?4 ?
3.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是________. 答案:(1,0) 4.已知 a>0,且 a≠1,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象可能是________(填序号).
x

答案:②

对应学生用书P28 考点一 对数式的化简与求值(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 对数的运算 (1)loga(MN)=logaM+logaN(a>0,且 a≠1,M>0,N>0); (2)loga =logaM-logaN(a>0,且 a≠1,M>0,N>0); (3)logaM =nlogaM(a>0,且 a≠1,M>0,n∈R); (4)对数换底公式:logbN= logaN (a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0); logab
n

M N

(5)对数恒等式:alogaN=N(a>0,a≠1,N>0). [提醒] 在应用 logaM =nlogaM 时,易忽视 M >0. [题组练透] 1. (2013?陕西高考)设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是( A.logab?logcb=logca C.loga(bc)=logab?logac B.logab?logca=logcb D.loga(b+c)=logab+logac )
n

logcb 解析:选 B 利用对数的换底公式进行验证,logab?logca= ?logca=logcb,则 B logca 对. 2.计算下列各题: 3 2 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3? -lg 9+1; 7

4 (2)log3

log 2 10 27 log 2 ?log5[4 2 -(3 3) 3 -7 7 ]. 3

1

2

3 ?70 7 2 2 解:(1)原式=lg - ?lg 3? -2lg 3+1=lg 10- ?lg 3-1? =1-|lg 3 3 -1|=lg 3.
3

34 log 10 (2)原式=log3 ?log5[2 2 -(3 2 ) 3 -7log72] 3

3

2

?3 ? =? log33-log33??log5(10-3-2) 4 ? ?
1 ?3 ? =? -1??log55=- . 4 ?4 ? [类题通法] 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算. 考点二 对数函数的图象及应用(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 对数函数图象的特点 (1)当 a>1 时,对数函数的图象呈上升趋势; 当 0<a<1 时,对数函数的图象呈下降趋势.

?1 ? (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ,-1?,函 ?a ?
数图象只在第一、四象限. [一题多变] [典型母题]

1 x 当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

? ?

2? ? 2?

B.?

? 2 ? ,1? ?2 ?

C.(1, 2)
x

D.( 2,2)

[解析] 法一:构造函数 f(x)=4 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时, 1 2 ? 1? ?1? ?1? 画出两个函数在?0, ?上的图象,可知,f? ?<g? ?,即 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取值范 2 2 ? 2? ?2? ?2? 围为?

? 2 ? ,1?. ?2 ?
1 x x 法二:∵0<x≤ ,∴1<4 ≤2,∴logax>4 >1, 2 1 1 ∴0<a<1,排除选项 C,D;取 a= ,x= , 2 2 1 x 则有 4 =2,log 1 =1,显然 4 <logax 不成立,排除选项 A. 2
2
1 2

[答案] B

? 1? 2 [题点发散 1] 若本例变为:若不等式 x -logax<0 对 x∈?0, ?恒成立,求实数 a 的取 ? 2?
值范围. 解:由 x -logax<0 得 x <logax, 设 f1(x)=x ,f2(x)=logax,
2 2 2

? 1? 2 要使 x∈?0, ?时,不等式 x <logax 恒成立, ? 2? ? 1? 2 只需 f1(x)=x 在?0, ?上的图象在 f2(x)=logax 图象的下方即可. ? 2?
当 a>1 时,显然不成立;

? 1? ?1? ?1? 2 当 0<a<1 时,如图所示,要使 x <logax 在 x∈?0, ?上恒成立,需 f1? ?≤f2? ?, ? 2? ?2? ?2?
1 1 1 ?1?2 所以有? ? ≤loga ,解得 a≥ ,∴ ≤a<1. 2 16 16 ?2?

?1 ? 即实数 a 的取值范围是? ,1?. ?16 ?
1 [题点发散 2] 若本例变为:当 0<x≤ 时, x<logax,求实数 a 的取值范围. 4

? 1? 解:若 x<logax 在 x∈?0, ?成立,则 0<a<1,且 y= x的图象在 ? 4?
y=logax 图象的下方,如图所示,
由图象知 0<a<1, ? ? ∴? 1 1 a2 > , ? 4 ? 1 1 <loga , 4 4 1 解得 <a<1. 16

即数 a 的取值范围是?

? 1 ,1?. ? ?16 ?
2

[题点发散 3] 若本例变为:已知不等式 loga(2a +1)<loga(3a)<0 成立,求实数 a 的取 值范围.
? ?0<a<1, 解:原不等式?? 2 ?2a +1>3a>1 ? ? ?a>1, ①或? 2 ?2a +1<3a<1, ?



1 1 解不等式组①得 <a< ,不等式组②无解, 3 2

?1 1? 所以实数 a 的取值范围为? , ?. ?3 2?
[类题通法] 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、 对称变换作出其图象的对数型函数, 在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 对数函数的性质 (1)定义域为(0,+∞); (2)值域为 R; (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0; (4)当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数; [典题例析] 已知函数 f(x)=log4(ax +2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,
2

因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x +2x+3). 由-x +2x+3>0 得-1<x<3, 函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x +2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax +2x+3 应有最小值 1,
2 2 2 2

a>0, ? ? 因此应有?3a-1 =1, ? ? a

1 解得 a= . 2

1 故存在实数 a= ,使 f(x)的最小值为 0. 2 [类题通法] 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质: (1)要分清函数的底数是 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域, 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质, 都要在其定义 域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. [演练冲关] 1 1 1.已知 a=3 2 ,b=log 1 ,c=log2 ,则( 2 3
3
1

)

A.a>b>c C.c>b>a
1

B.b>c>a D.b>a>c

1 1 解析:选 A ∵a=3 2 >1,0<b=log 1 =log32<1,c=log2 <0,∴a>b>c,故选 A. 2 3
3

2.已知函数 f(x)=a +logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6, 则 a 的值为( A. 1 2 ) B. 1 4

x

C.2
x

D. 4
x

解析:选 C 显然函数 y=a 与 y=logax 在[1,2]上的单调性相同,因此函数 f(x)=a

+logax 在[1,2]上的最大值与最小值之和为 f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a +loga2)=a+a +loga2=loga2+6,故 a+a =6,解得 a=2 或 a=-3(舍去).故选 C. 3.若 f(x)=lg(x -2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( A.[1,2) B.[1,+∞)
2 2 2

2

2

)

B.[1,2] D.[2,+∞)
2 2

解析:选 A 令函数 g(x)=x -2ax+1+a=(x-a) +1+a-a ,对称轴为 x=a,要使 函数在(-∞,1]上递减,则有? 故选 A.
? ?g?1?>0, ?a≥1, ?

即?

? ?2-a>0, ?a≥1, ?

解得 1≤a<2,即 a∈[1,2),

对应B本课时跟踪检测?十?

一、选择题 5 1.(2015?内江三模)lg 1 000-8 3 =( A. 23 5
2

) 17 B.- 5 D. 4

18 C.- 5 解析:选 B lg 5
2 3
3 5

3 17 1 000-8 =lg 10 -(2 ) = -4=- . 5 5
3

2 3

2. 若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0, 且 a≠1)的反函数, 且 f(2)=1, 则 f(x)=( A.log2x C.log 1 x
2

x

)

B.

1 x 2
x-2

D. 2

解析:选 A f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x. 3.(2014?天津高考)函数 f(x)=log 1 (x -4)的单调递增区间是(
2
2

)

A.(0,+∞) C.(2,+∞)

B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

解析:选 D 函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数 y=f(x)是由

y=log 1 t 与 t=g(x)=x2-4 复合而成,又 y=log 1 t 在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-
2 2

∞,-2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增.选 D. 4.(2015?福州模拟)函数 y=lg|x-1|的图象是( )

解析:选 A 因为 y=lg|x-1|={lg?x-1?,x>1,?lg?1-x?,x<1. 当 x=1 时,函数无意义,故排除 B、D. 又当 x=2 或 0 时,y=0,所以 A 项符合题意. 5.(2015?长春质检)已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) )

解析:选 B 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3). 又函数 f(x)=loga|x|为偶函数,所以 f(2)=f(-2),所以 f(1)<f(-2)<f(3). 6.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 4? ? B.?-1, ? 3? ? D.[1,2) )

? 3? C.?0, ? ? 2?

解析:选 D 当 2-x≥1,即 x≤1 时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数 f(x)在 (-∞,1]上单调递减.当 0<2-x≤1,即 1≤x<2 时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此 时函数 f(x)在[1,2)上单调递增,故选 D. 二、填空题 7.函数 y=log 1 (x -6x+17)的值域是________.
2
2

解析:令 t=x -6x+17=(x-3) +8≥8,y=log 1 t 为减函数,所以有 log 1 t≤log 1 8
2 2 2

2

2

=-3. 答案:(-∞,-3] 8.函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为________,单调递增区间为________. 解析:作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得到函数 y= log2|x|的图象, 再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=log2|x+1| 的图象(如图所示).由图知,函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞, -1),单调递增区间为(-1,+∞). 答案:(-∞,-1) (-1,+∞) 9.(2015?山东莱芜二模)已知函数 f(x)={log4x,x>0,?2 ,x≤0, 则 f(f(-4))
-x

1? ? +f?log2 ?=________. 6? ?

解析:f(f(-4))=f(2 )=log416=2,
- log 2 1? 1 ? log 6 6 ∵log2 <0,∴f?log2 ?=2 =2 2 =6, 6 6 ? ? 1

4

1? ? 即 f(f(-4))+f?log2 ?=2+6=8. 6? ? 答案:8 10.已知 f(3 )=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(2 )的值为________. 4log2t x 解析:令 t=3 ,则 x=log3t,f(t)=4log3t?log23+233= ?log23+233=4log2t log23 +233,所以 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(2 )=4?(1+2+3+?+8)+8?233=144+1 864 =2 008. 答案:2 008 三、解答题 11.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 解:(1)要使函数 f(x)有意义.
?x+1>0, ? 则? ? ?1-x>0,
8

x

8

解得-1<x<1.

故所求函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2)由(1)知 f(x)的定义域为(-1,1), 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,

x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x
所以使 f(x)>0 的 x 的解集是(0,1). 1 2 12.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)?loga(a x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最 2 1 小值是- ,求 a 的值. 8 1 解:由题意知 f(x)= (logax+1)?(logax+2) 2

1 2 = (logax+3logax+2) 2 3?2 1 1? = ?logax+ ? - . 2? 8 2? 1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 3?2 1 1? 1 若 ?loga2+ ? - =1,则 a=2- , 2? 8 2? 3 此时 f(x)取得最小值时,

x=(2

?

1 3

)

?

3 2

= 2?[2,8],舍去.

3?2 1 1? 1 若 ?loga8+ ? - =1,则 a= , 2? 8 2? 2 1 ?1? ? 此时 f(x)取得最小值时,x=? ? 2 =2 2∈[2,8],符合题意,∴a= . 2 ?2?
3

第八节

函数与方程

对应学生用书P30 基础盘查一 函数的零点 (一)循纲忆知 1.了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系. 2.掌握函数零点存在的条件,并会判断函数零点的个数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数的零点是函数 y=f(x)与 x 轴的交点( ) )

(2)若 f(x)在(a,b)上有零点,一定有 f(a)?f(b)<0( (3)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个( 答案:(1)? (2)? (3)√ 2.函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0)
x

)

)

C.(0,1) 答案:B

D.(1,2)

3.函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则 k 的取值范围是________. 1? ? 答案:?-1,- ? 2? ? 基础盘查二 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与零点的关系 (一)循纲忆知 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)在 b -4ac<0 时没有零点(
2 2 2 2

)

(2) 已知函数 f(x) = x + x + a 在区间 (0,1) 上有零点,则实数 a 的取值范围是 ( - 2,0)( )

答案:(1)√ (2)√ 2.函数 f(x)=(x -2)(x -3x+2)的零点为________. 答案:- 2, 2,1,2
2 2

对应学生用书P30

考点一 函数零点所在区间的判定(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)?f(b)<0, 那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就 是方程 f(x)=0 的根. [提醒] 此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数. [题组练透] 6 1.已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是(

x

)

A.(0,1) C.(2,4)

B.(1,2) D.(4,+∞)

3 解析:选 C 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- 2 1 <0,所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4). 2

2 x 2.函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(

x

)

A.(1,3) C.(0,3)

B.(1,2) D.(0,2)

解析:选 C 由条件可知 f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解得 0<a<3. 3.函数 f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 解析:法一:∵f(1)=1 -3?1-18=-20<0,
2 2

f(8)=82-3?8-18=22>0,∴f(1)?f(8)<0,
又 f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]的图象是连续的, 故 f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]存在零点. 法二:令 f(x)=0,得 x -3x-18=0, ∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x -3x-18 在区间[1,8]存在零点. 答案:存在 [类题通法] 确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续, 再看是否有 f(a)?f(b)<0.若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点二 判断函数零点个数(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 2.几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. [典题例析] 1.(2013?天津高考)函数 f(x)=2 |log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 C.3 B. 2 D. 4
x
2 2 2 2

)

?1?x x 解析:选 B 由 f(x)=2 |log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=? ? . ?2?

?1?x 设 g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ? ,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x)的图象,可 ?2?
以发现两个函数图象一定有 2 个交点,因此函数 f(x)有 2 个零点.
? ?x -2,x≤0, 2.(2014?福建高考)函数 f(x)=? ?2x-6+ln x,x>0 ?
2 2

的零点个数是________.

解析:当 x≤0 时,令 x -2=0,解得 x=- 2(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一个 1 零点.当 x>0 时,f′(x)=2+ >0 恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为 f(2)

x

=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数 f(x) 的零点个数为 2. 答案:2 [类题通法] 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:若对应方程 f(x)=0 可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且

f(a)?f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确
定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其 交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数. [演练冲关]
?2 -1,x≤1, ? 1.(2015?莱芜一模)已知函数 f(x)=? ?1+log2x,x>1, ?
x

则函数 f(x)的零点为(

)

1 A. ,0 2 C. 1 2
x

B.-2,0 D. 0

解析:选 D 当 x≤1 时,由 f(x)=2 -1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x 1 =0,解得 x= ,又因为 x>1,所以此时方程无解.综上,函数 f(x)的零点只有 0. 2

?1?x 2.(2015?北京丰台二模)函数 f(x)=x -? ? 的零点个数为( ?2?
A.0 C.2
1

1 2

)

B. 1 D. 3
1

?1?x 解析:选 B 令 f(x)=0,得 x 2 =? ? ,在平面直角坐标系中分别画出函数 y=x 2 与 y ?2?

?1?x =? ? 的图象,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选 B. ?2?
考点三 函数零点的应用(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为________. [解析] 令 g(x)=xln x,h(x)=a,则问题可转化成函数 g(x) 与 h(x)的图象有两个交点.g′(x)=ln x+1,令 g′(x)<0,即 1 1 ln x<-1,可解得 0<x< ;令 g′(x)>0,即 ln x>-1,可解得 x> , e e 1 1 1 所以,当 0<x< 时,函数 g(x)单调递减;当 x> 时,函数 g(x)单调递增,由此可知当 x= 时, e e e

g(x)min=- .在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示,据图可得- <a<0.

1 e

1 e

? 1 ? [答案] ?- ,0? e ? ?

[ 题 点 发 散 1]

若 本 例 中 f(x) 有 且 只 有 一 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

____________________. 1 解析:由本例解析知 a=- 或 a≥0. e
? 1? 答案:[0,+∞)∪?- ? ? e?

[题点发散 2] ________.

若函数变为 f(x)= ln x- x-a,其他条件不变,则 a 的取值范围是

解析:函数 f(x)=ln x-x-a 的零点,即为关于 x 的方程 ln x-x-a=0 的实根,将方程 ln x-x-a=0,化为方程 ln x =x+a,令 y1=ln x,y2=x+a,由导数知识可知,直线 y2=x+

a 与曲线 y1=ln x 相切时有 a=-1,所以关于 x 的方程 ln x-x
-a=0 有两个不同的实根,实数 a 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)
? ?xln x-a,x>0, [题点发散 3] 若函数变为 f(x)=? 2 ?-x -2x-a,x≤0, ?

若函数 y=f(x)有三个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:令 g(x)=

?xln x,x>0, ? ? 2 ?-x -2x,x≤0, ?

h(x)=a,

1 则问题转化为 g(x)与 h(x)的图象有三个交点,g(x)图象如图.由图象知- <a<1. e

? 1 ? 答案:?- ,1? ? e ?
[类题通法] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数 形结合求解.

对应A本课时跟踪检测?十一?

一、选择题 1. (2015?温州十校联考)设 f(x)=ln x+x-2, 则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) )

解析:选 B 法一:∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,

f(2)=ln 2>2,
∴f(1)?f(2)<0, ∵函数 f(x)=ln x+x-2 的图象是连续的, ∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2). 法二:函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)=ln x,h(x)= -x+2 图象交点的横坐标所在的范围,如图所示, 可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2).

? 1? ?1? 3 2.设 f(x)=x +bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f?- ??f? ?<0, ? 2? ?2?
则方程 f(x)=0 在[-1,1]内( A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根 ) B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根

? 1? ?1? ? 1 1? 解析:选 C 由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f?- ??f? ?<0,知 f(x)在?- , ?上 ? 2? ?2? ? 2 2?

有唯一零点,所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根. 3.(2015?河北质检)若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点,则-x0 一定是 下列哪个函数的零点( A.y=f(-x)e -1 C.y=e f(x)-1
x x x

) B.y=f(x)e +1 D.y=e f(x)+1
x
-x

解析:选 C 由已知可得 f(x0)=-ex0,则 e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0 一定是 y=e f(x)-1 的零点. 4.(2015?大连一模)f(x)是 R 上的偶函数,f(x+2)=f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x , 则函数 y=f(x)-|log5x|的零点个数为( A.4 C.8 ) B. 5 D.10
2

x

解析:选 B 由零点的定义可得 f(x)=|log5x|,两个函数图 象如图,总共有 5 个交点,所以共有 5 个零点.

5.已知函数 f(x)=x -bx+a 的图象如图所示,则函数 g(x) =ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )

2

?1 1? A.? , ? ?4 2?
C.(1,2)

?1 ? B.? ,1? ?2 ?
D.(2,3)

b ?1 ? 解析:选 B 由题图可知 f(x)的对称轴 x= ∈? ,1?,则 1<b<2,易知 g(x)=ln x+ 2 ?2 ?
1 ?1? ?1? 2x-b,则 g? ?=-2ln 2+ -b<0,g? ?=-ln 2+1-b<0,g(1)=2-b>0,故 g(x)的 2 ?4? ?2?

?1 ? 零点所在的区间是? ,1?. ?2 ?
6.(2015?湖北八校联考)已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x) = [x] -a(x≠0)有且仅有 3 个零点,则 a 的取值范围是(

x

)

?3 4? ?4 3? A.? , ?∪? , ? ?4 5? ?3 2? ?1 2? ?5 3? C.? , ?∪? , ? ?2 3? ?4 2?
x

?3 4? ?4 3? B.? , ?∪? , ? ?4 5? ?3 2? ?1 2? ?5 3? D.? , ?∪? , ? ?2 3? ?4 2?

[x] 解析:选 A 当 0<x<1 时,f(x)= -a=-a, [x] 1 1≤x<2 时,f(x)= -a= -a,

x

x

[x] 2 2≤x<3 时,f(x)= -a= -a,?.

x

x

f(x)=

[x] [x] [x] -a 的图象是把 y= 的图象进行纵向平移而得到的,画出 y= 的图象,

x

x

x

?3 4? ?4 3? 如图所示,通过数形结合可知 a∈? , ?∪? , ?,选 A. ?4 5? ?3 2?

二、填空题 7.“函数 f(x)=ax+3 在[-1,2]上存在零点”的充要条件是________. 解析:函数 f(x)=ax+3 在[-1,2]上存在零点等价于直线 f(x)=ax+3 在[-1,2]上与

a>0, ? ? x 轴有交点,则?-a+3≤0 ? ?2a+3≥0
3 答案:a≥3 或 a≤- 2

a<0, ? ? 3 ,或?-a+3≥0,即a≥3或a≤- . 2 ? ?2a+3≤0,

8.已知关于 x 的方程 x +mx-6=0 的一个根比 2 大,另一个根比 2 小,则实数 m 的取 值范围是________. 解析:设函数 f(x)=x +mx-6,则根据条件有 f(2)<0,即 4+2m-6<0,解得 m<1. 答案:(-∞,1)
?x -x-1,x≥2或x≤-1, ? 9 . 若 f(x) = ? ?1,-1<x<2, ?
2 2

2

则 函 数 g(x) = f(x) - x 的 零 点 为

____________. 解析:求函数 g(x)=f(x)-x 的零点,即求 f(x)=x 的根, ∴?
? ?x≥2或x≤-1, ?x -x-1=x, ?
2

? ?-1<x<2, 或? ?1=x. ?

.

解得 x=1+ 2或 x=1. ∴g(x)的零点为 1+ 2,1. 答案:1+ 2,1
?a ,x≥0, ? 10.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)=? ?kx+1,x<0, ?
x

若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零

点,则实数 k 的取值范围是________.

解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解, 即 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图 象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点;当 k=1 时, 有一个交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题意. 答案:(0,1) 三、解答题

x 1 3 2 11.已知函数 f(x)=x -x + + . 2 4

? 1? 证明:存在 x0∈?0, ?,使 f(x0)=x0. ? 2?
证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 ?1? 1 ?1? 1 ∵g(0)= ,g? ?=f? ?- =- , 4 ?2? 8 ?2? 2

?1? ∴g(0)?g? ?<0. ?2? ? 1? 又函数 g(x)在?0, ?上连续, ? 2? ? 1? ∴存在 x0∈?0, ?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. ? 2?
1 ? ?x+ ,x>0, 12.已知函数 f(x)=-x -2x,g(x)=? 4x ? ?x+1,x≤0.
2

(1)求 g[f(1)]的值; (2)若方程 g[f(x)]-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f(1)=-1 -2?1=-3, ∴g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2. (2)令 f(x)=t, 则原方程化为 g(t)=a, 易知方程 f(x)=t 在 t∈(- ∞,1)内有 2 个不同的解,则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(t<1) 与 y=a 的图象有 2 个不同的交点,作出函数 y=g(t)(t<1)的图象,如 5 图所示,由图象可知,当 1≤a< 时,函数 y=g(t)(t<1)与 y=a 有 2 个 4
2

? 5? 不同的交点,即所求 a 的取值范围是?1, ?. ? 4?

第九节

函数模型及其应用

对应学生用书P32

基础盘查一 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的性质 (一)循纲忆知 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 y=2 的函数值在(0,+∞)上一定比 y=x 的函数值大(
x x
2

)
α

(2)在(0, +∞)上, 随着 x 的增大, y=a (a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=x (α >0) 的增长速度( )
x

(3)“指数爆炸”是指数型函数 y=a?b +c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形 象比喻( ) ) )

(4)幂函数增长比直线增长更快(

(5)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中( 答案:(1)? (2)√ (3)? (4)? (5)√

2. 某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍, 且知病毒的繁殖规律为 y=e (其中 k 为常数,

kt

t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖
为________个. 答案:2ln 2 1 024 基础盘查二 常见的几种函数模型 (一)循纲忆知 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)不存在 x0,使 ax0<x0<logax0(
a

)

(2)美缘公司 2013 年新上市的一种化妆品,由于脱销,在 2014 年曾提价 25%,2015 年想

要恢复成原价,则应降价 25%(

)

(3)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,若按九折出 售,则每件还能获利(
2

)
x

(4)f(x)=x ,g(x)=2 ,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,恒有 h(x)<f(x)<g(x)( 答案:(1)? (2)? (3)√ (4)√

)

2.已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog3(x+1),设这种动物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们发展到________只. 答案:200

对应学生用书P32

考点一 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 常见的函数模型 1.正比例函数模型:f(x)=kx(k 为常数,k≠0); 2.反比例函数模型:f(x)= (k 为常数,k≠0); 3.一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0); 4.二次函数模型:f(x)=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0); 5.指数函数模型:f(x)=ab +c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); 6.对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,a>0,a≠1); 7.幂函数模型:f(x)=ax +b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠1); 8.“对勾”函数模型:y=x+ (a>0). [题组练透] 1. (2013?湖北高考)小明骑车上学, 开始时匀速行驶, 途中因交通堵塞停留了一段时间, 后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
n x
2

k x

a x

解析:选 C 出发时距学校最远,先排除 A,中途堵塞停留,距离没变,再排除 D,堵塞 停留后比原来骑得快,因此排除 B. 2.已知正方形 ABCD 的边长为 4,动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动.设点 P 运 动的路程为 x,△ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是( )

解析:选 D 依题意知当 0≤x≤4 时,f(x)=2x;当 4<x≤8 时,f(x)=8;当 8<x≤12 时,f(x)=24-2x,观察四个选项知,选 D. [类题通法] 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图 象. (2)验证法: 当根据题意不易建立函数模型时, 则根据实际问题中两变量的变化快慢等特 点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情 况的答案. 考点二 应用所给函数模型解决实际问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 在区间(0, +∞)上, 尽管函数 y=a (a>1), y=logax(a>1)和 y=x (n>0)都是增函数, 但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着 x 的增大,y=a (a>1)的增长速 度越来越快,会超过并远远大于 y=x (n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则 会越来越慢. [典题例析] 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升 血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
n x x n

(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效,求服药一次 后治疗疾病有效的时间.

kt,0≤t≤1, ? ? 解:(1)由题图,设 y=??1?t-a ? ? ,t>1, ? ??2?
当 t=1 时,由 y=4 得 k=4,

?1?1-a 由? ? =4 得 a=3. ?2?
4t,0≤t≤1, ? ? 所以 y=??1?t-3 ? ? ,t>1. ? ??2?
? ?0≤t≤1, (2)由 y≥0.25 得? ?4t≥0.25 ?

t>1, ? ? 或??1?t-3 ? ? ≥0.25, ? ??2?

1 解得 ≤t≤5. 16 1 79 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5- = (小时). 16 16 [类题通法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. [提醒] 解决实际问题时要注意自变量的取值范围. [演练冲关] 里氏震级 M 的计算公式为 M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,

A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此时标
准地震的振幅为 0.001, 则此次地震的震级为________级; 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的 最大振幅的________倍. 解析:根据题意,由 lg 1 000-lg 0.001=6 得此次地震的震级为 6 级.因为标准地震 的振幅为 0.001,设 9 级地震的最大振幅为 A9,则 lg A9-lg 0.001=9,解得 A9=10 ,同理
6

5 级地震的最大振幅 A5=10 ,所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍. 答案:6 10 000 考点三 构建函数模型解决实际问题(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇,以解答题为主 要形式出现,考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、 效益最好、用料最省等实际问题.

2

归纳起来常见的命题角度有: (1)构建二次函数模型; (2)构建分段函数模型; (3)构建“对勾”函数 f(x)=x+ (a>0)模型; (4)构建高次函数或复杂的分式结构函数模型. 角度一:构建二次函数模型 1.经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函数,且日销 1 112 1 售量 近似地满 足 g(t) =- t + (1≤t≤100 , t ∈ N) . 前 40 天价格 为 f(t) = t + 3 3 4 1 22(1≤t≤40,t∈N),后 60 天价格为 f(t)=- t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的 2 日销售额 S(t)的最大值和最小值. 解:当 1≤t≤40,t∈N 时,

a x

? S(t)=g(t)f(t)=?- t+
1

? 3

112??1 ? ? t+22? 3 ? ?? 4 ?

1 2 112?22 1 2 500 2 =- t +2t+ =- (t-12) + , 12 3 12 3 2 500 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= . 3 当 41≤t≤100,t∈N 时,

? S(t)=g(t)f(t)=?- t+
1 ? 3

112?? 1 ? ?- t+52? 3 ? ?? 2 ?

1 2 112?52 1 8 2 = t -36t+ = (t-108) - , 6 3 6 3 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= . 2 2 500 所以,S(t)的最大值为 ,最小值为 8. 3

角度二:构建分段函数模型 2.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时). 解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b. 1 a=- , ? ? 3 解得? 200 b= , ? ? 3

?200a+b=0, ? 由已知得? ? ?20a+b=60,

故函数 v(x)的表达式为 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?200-x ? 3 ,20<x≤200. ? (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?x?200-x? ,20<x≤200. ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60?20=1 200; 当 20<x≤200 时,

f(x)= x(200-x)≤ ?

1 3

1?x+200-x?2 10 000 ?= 3 . 2 3? ?

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 f(x)max= ≈3 333,即当 3 车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时. 角度三:构建“对勾”函数 f(x)=x+ (a>0)模型

a x

3.某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料 200 千克,每千克饲料的价格为 1.8 元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元,购买饲料每次支付运费 300 元. (1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少; (2)若提供饲料的公司规定, 当一次购买饲料不少于 5 吨时, 其价格可享受八五折优惠(即 原价为 85%).问:该场是否应考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解:(1)设该场 x(x ∈N )天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少,平均每天支付的 总费用为 y1. ∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200?0.03=6(元), ∴x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+?+6=(3x -3x)(元). 1 300 300 2 从而有 y1= (3x -3x+300)+200?1.8= +3x+357≥417,当且仅当 =3x,即 x
2 *

x

x

x

=10 时,y1 有最小值. 故该场 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. (2)设该场利用此优惠条件,每隔 x 天(x≥25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为

y2,
1 2 则 y2= (3x -3x+300)+200?1.8?0.85

x



300 +3x+303(x≥25).

x

300 令 f(x)= +3x(x≥25),

x

300 ∵f′(x)=- 2 +3,∴当 x≥25 时,f′(x)>0,即函数 f(x)与 y2 在 x≥25 时是增函

x

数. ∴当 x=25 时,y2 取得最小值,最小值为 390. ∵390<417,∴该场应考虑利用此优惠条件. 角度四:构建高次函数或复杂的分式结构函数模型 4.近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元,为了节能减排,决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电 池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳 能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万元) 与安装的这种太阳能电池板的面积 x( 单位:平方米 ) 之间的函数关系是 C(x) =

k
20x+100

(x≥0,k 为常数).记 y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 15 年共将消耗的 电费之和.

(1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 y 关于 x 的函数关系式. (2)当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元? 解: (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 即未安装太 阳能供电设备时,该企业每年消耗的电费. 由 C(0)= =24,得 k=2 400, 100 2 400 1 800 所以 y=15? +0.5x= +0.5x,x≥0. 20x+100 x+5 1 800 (2)因为 y= +0.5(x+5)-2.5≥2 1 800?0.5-2.5=57.5, x+5 1 800 当且仅当 =0.5(x+5),即 x=55 时取等号, x+5 所以当 x 为 55 平方米时,y 取得最小值为 57.5 万元. [类题通法] 解函数应用问题的“4 步骤” (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

k

[提醒] 注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果在实际问题中的合 理性.

对应B本课时跟踪检测?十二?

一、选择题 1. 某家具的标价为 132 元, 若降价以九折出售(即优惠 10%), 仍可获利 10%(相对进货价), 则该家具的进货价是( A.118 元 C.106 元 ) B.105 元 D.108 元

解析:选 D 设进货价为 a 元,由题意知 132?(1-10%)-a=10%?a,解得 a=108,故 选 D. 2.(2015?广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表:

x y

0.50 -0.99 )

0.99 0.01

2.01 0.98

3.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x C.y=2x-2

B.y=x -1 D.y=log2x

2

解析: 选 D 根据 x=0.50, y=-0.99, 代入计算, 可以排除 A; 根据 x=2.01, y=0.98, 代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 3.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水,则一定正确的是( A.① C.①③ ) B.①② D.①②③

1 解析:选 A 由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的 ,所以 0 点到 3 点不出水,3 点 2 到 4 点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4 点到 6 点也可能两个 进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①. 4.(2015?北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租 金定为 3 000 元时,这 70 套公寓能全租出去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元 的整数倍), 就会多一套房子不能出租. 设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维 修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定 为( ) A.3 000 元 C.3 500 元 B.3 300 元 D.4 000 元

解析:选 B 由题意,设利润为 y 元,租金定为 3 000+50x 元(0≤x≤70,x∈N). 则 y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2 900+50x)(70-x)

=50(58+x)(70-x) ≤50?

?58+x+70-x?2, ? 2 ? ?

当且仅当 58+x=70-x,即 x=6 时,等号成立, 故每月租金定为 3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选 B. 5. (2015?青岛模拟)世界人口在过去 40 年内翻了一番, 则每年人口平均增长率是(参考 数据 lg 2≈0.301 0,10 A.1.5% C.1.7%
0.007 5

≈1.017)(

) B.1.6% D.1.8%
40

解析:选 C 设每年人口平均增长率为 x,则(1+x) =2,两边取以 10 为底的对数,则 lg 2 0.007 5 40 lg(1+x)=lg 2,所以 lg(1+x)= ≈0.007 5,所以 10 =1+x,得 1+x=1.017, 40 所以 x=1.7%. 6.(2015?深圳二模)某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月 增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已 知本年 9 月份两食堂的营业额又相等,则本年 5 月份( A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 解析: 选 A 设甲、 乙两食堂 1 月份的营业额均为 m, 甲食堂的营业额每月增加 a(a>0), 乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x,由题意可得,m+8a=m?(1+x) ,则 5 月份甲食堂 的营业额 y1=m+4a, 乙食堂的营业额 y2=m?(1+x) = m?m+8a?, 因为 y1 -y2=(m+4a) -m(m+8a)=16a >0,所以 y1>y2,故本年 5 月份甲食堂的营业额较高. 二、填空题 7.某人根据经验绘制了 2014 年春节前后, 从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象, 如图所示,则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿________千克. 解析:前 10 天满足一次函数关系,设为 y=kx+b,将点(1,10)
? ?10=k+b, 和点(10,30)代入函数解析式得? ?30=10k+b, ?
2 4 2 2 2 8

)

20 70 20 70 解得 k= ,b= ,所以 y= x+ ,则 9 9 9 9

190 当 x=6 时,y= . 9 190 答案: 9

8.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内,根 51 ?x 8? 据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= -? + ?(x> 2 ?2 x? 0).则当年广告费投入________万元时,该公司的年利润最大. 4 ?2 51 ?x 8? 43 1? 4 解析:由题意得 L= -? + ?= - ? x- ? (x>0).当 x - =0,即 x=4 时, 2 ?2 x? 2 2? x? x

L 取得最大值 21.5.
故当年广告费投入 4 万元时,该公司的年利润最大. 答案:4 9.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八 月份销售总额相等. 若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元, 则 x 的最小值是________. 解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%) ,则一月份到十 月份的销售总额是 3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%) ],根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%) ≥66, 令 t=1+x%,则 25t +25t-66≥0, 6 11 解得 t≥ 或者 t≤- (舍去), 5 5 6 故 1+x%≥ ,解得 x≥20. 5 答案:20 10.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae
-b t 3 2 2 2 2 2

(cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

3

________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析:当 t=0 时,y=a;当 t=8 时,y=ae 始时的八分之一时,即 y=ae
-bt -8b

1 1 -8b = a,故 e = .当容器中的沙子只有开 2 2

1 1 -bt -8b 3 -24b = a,e = =(e ) =e ,则 t=24,所以再经过 16 min 8 8

容器内沙子只有开始时的八分之一. 答案:16 三、解答题 11.(2015?湖北鄂州月考)如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢 板有一个角被锈蚀,其中 AE=4 米,CD=6 米.为合理利用这块钢板, 在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM,使点 P 在边 DE 上.

(1)设 MP=x 米,PN=y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解:(1)作 PQ⊥AF 于 Q, 所以 PQ=(8-y)米,

EQ=(x-4)米.
又△EPQ∽△EDF, 所以 =

EQ EF x-4 4 ,即 = . PQ FD 8-y 2

1 所以 y=- x+10, 2 定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米,

x? 1 ? 2 则 S(x)=xy=x?10- ?=- (x-10) +50, 2? 2 ? S(x)是关于 x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为 x=10,所以当 x∈[4,8]时, S(x)单调递增.
所以当 x=8 米时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,为 48 平方米. 12.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1).则 2 . 2

a(1-x)10= a,即(1-x)10= ,

1 2

1 2

?1? 解得 x=1-? ? 10 . ?2? ?1? 即每年砍伐面积的百分比为 1-? ? 10 . ?2?
(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 ,则 2
1

1

a(1-x)m=

2 a, 2

m 1 ?1? ?1? 即? ? 10 =? ? 2 , = , 10 2 ?2? ?2?
解得 m=5.故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,最多还能砍伐 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 1 a(1-x)n≥ a, 2 4
n

m

1

2 a(1-x)n. 2

即(1-x) ≥
n

2 , 4

?1? 10 ≥?1? 2 , n ≤3, ?2? ?2? 10 2 ? ? ? ?
解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年.

3

见课时跟踪检测B本

命题点一 基本初等函数?Ⅰ? 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014?山东高考)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是 ( ) A. 1

x

y

x2+1 y2+1
2 2



1

B.ln(x +1)>ln(y +1) C.sin x>sin y D.x >y
3 3

解析:选 D 因为 0<a<1,a <a ,所以 x>y,采用赋值法判断,A 中,当 x=1,y=0 1 时, <1,A 不成立.B 中,当 x=0,y=-1 时,ln 1< ln 2,B 不成立.C 中,当 x=0, 2

x

y

y=-π 时,sin x=sin y=0,C 不成立.D 中,因为函数 y=x3 在 R 上是增函数,故选 D.
2.(2014?安微高考)设 a=log37,b=2 A.b<a<c C. c<b<a
1.1

,c=0.8 ,则(

3.1

)

B.c<a<b D.a<c<b

解析:选 B 因为 2>a=log37>1,b=2 >2,c=0.8 <1,所以 c<a<b. 3.(2014?浙江高考)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0),g(x)=logax 的图象 可能是( )
a

1.1

3.1

解析:选 D 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且 过点(1,0),由幂函数的图象性质可知 C 错;当 0<a<1 时,函数 f(x)=x (x>0)单调递增,函 数 g(x)=logax 单调递减,且过点(1,0),排除 A,又由幂函数的图象性质可知 B 错,因此选 D. 4.(2013?浙江高考)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1), 则( ) A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 解析:选 A B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0
2 2

a

a

由 f(0)=f(4)知二次函数 f(x)=ax +bx+c 对称轴为 x=2,即- =2. 2a

b

所以 4a+b=0,又 f(0)>f(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)在(-∞,2]上单调 递减,则抛物线开口方向朝上,知 a>0,故选 A. 5 4 ?16? ? 5. (2014?安微高考)? ? 4 +log3 +log3 =________. 4 5 ?81?
3

??2?4? ? ?5 4? ?2?-3 27 解析:原式=?? ? ? 4 +log3? ? ?=? ? = . 8 ??3? ? ?4 5? ?3?
27 答案: 8 6.(2014?重庆高考)函数 f(x)=log2 x?log
2

3

(2x)的最小值为________.

1?2 1 1 1 ? 2 解析:依题意得 f(x)= log2x?(2+2log2x)=(log2x) +log2x=?log2x+ ? - ≥- , 2 2 4 4 ? ? 1 1 1 当且仅当 log2x=- ,即 x= 时等号成立,因此函数 f(x)的最小值为- . 2 4 2 1 答案:- 4 7.(2014?湖南高考)若 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数,则 a=________. 解析:函数 f(x)=ln(e +1)+ax 为偶函数,故 f(-x)=f(x),即 ln(e
3x 3x 3x -3x 3x

+1)-ax=

ln(e +1)+ax,化简得 ln

3x

1+e 1+e 2ax 2ax 3x 2ax+3x 3x (e 3x 6x=2ax=ln e ,即 3x 6x=e ,整理得 e +1=e e +e e +e

3 +1),所以 2ax+3x=0,解得 a=- . 2 3 答案:- 2 8.(2014?天津高考)已知函数 f(x)=|x +3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为________. 解析:画出函数 f(x)=|x +3x|的大致图象,如图,令 g(x)=a|x -1|, 则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象有且仅有 4 个不同的交点,
? ?y=-x -3x, 显然 a>0.联立? ?y=a?1-x? ?
2 2 2

消去 y,得 x +(3-a)x+a=0,
2

2

? ?y=x +3x, 由 Δ >0,解得 a<1 或 a>9;联立? ?y=a?1-x? ?

消去 y,得 x +

2

(3+a)x-a=0,由 Δ >0,解得 a>-1 或 a<-9. 综上,实数 a 的取值范围为(0,1)∪(9,+∞). 答案:(0,1)∪(9,+∞) 命题点二 函数与方程 难度:高、中 命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014?湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)=x -3x. 则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}
2

2

解析:选 D 当 x≥0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3 的根,由 x -3x=x-3, 解得 x=1 或 3;当 x<0 时,由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x -3(-x),即 f(x)=-
2

x2-3x.由 f(x)=x-3 得 x=-2- 7(正根舍去).
6 2.(2014?北京高考)已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间

x

是(

) A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)

3 1 解析: 选 C 因为 f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0, f(4)= -log24=- <0, 2 2 所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4). 3.(2014?江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)

1? ? 2 =?x -2x+ ?.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同), 则实数 a 的取 2? ? 值范围是________. 解析:函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有互不相同的 10 个零点,即函数 y=f(x),x ∈[-3,4]与 y=a 的图象有 10 个不同交点.作出函数 y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3) 1 1 =f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)= ,观察图象可得 0<a< . 2 2

? 1? 答案:?0, ? ? 2?

命题点三 函数模型及其应用 难度:高、中

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014?湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的 增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A. )

p+q
2

B.

?p+1??q+1?-1 2

C. pq

D. ?p+1??q+1?-1
2

解析:选 D 设年平均增长率为 x,原生产总值为 a,则(1+p)(1+q)a=a(1+x) ,解 得 x= ?1+p??1+q?-1. 2. (2014?陕西高考)如图, 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相 切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

A.

y= x3- x2-x

1 2

1 2

1 3 1 2 B.y= x + x -3x 2 2 1 3 1 2 D. y= x + x -2x 4 2

1 3 C.y= x -x 4

解析: 选 A 法一: 由题意可知, 该三次函数满足以下条件: 过点(0,0), (2,0), 在(0,0) 处的切线方程为 y=-x,在(2,0)处的切线方程为 y=3x-6,以此对选项进行检验.A 选项,

y= x3- x2-x,显然过两个定点,又 y′= x2-x-1,则 y′|x=0=-1,y′|x=2=3,故条
件都满足,又 B,C,D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线 y=-x,y=3x-6 相切, 故选 A. 法二:设该三次函数为 f(x)=ax +bx +cx+d, 则 f′(x)=3ax +2bx+c,
2 3 2

1 2

1 2

3 2

f?0?=0? d=0, ? ?f?2?=0? 8a+4b+2c+d=0, 由题设有? f′?0?=-1? c=-1, ? ?f′?2?=3? 12a+4b+c=3,
1 1 解得 a= ,b=- ,c=-1,d=0. 2 2 1 3 1 2 故该函数的解析式为 y= x - x -x. 2 2

第十节

变化率与导数、导数的计算

对应学生用书P35 基础盘查一 导数的概念 (一)循纲忆知 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1 2 3 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y= ,y=x ,y=x ,y= x的导

x

数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)f′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率( (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同( ) ) ) )

(3)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值( (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点(

答案:(1)? (2)? (3)√ (4)√ 2.曲线 y=sin x+e 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 解析:选 C ∵y=sin x+e , ∴y′=cos x+e , ∴y′|x=0=cos 0+e =2, ∴曲线 y=sin x+e 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0.故选 C. 基础盘查二 基本初等函数的导数公式 (一)循纲忆知 能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. (二)小题查验 判断正误 (1)?sin
x
0

x

)

B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0
x

x

? ?

π? π ′=cos ( 3? 3 ?

) )

1 ?1? (2)若(ln x)′= ,则? ?′=ln x(

x

?x?
)

(3)(3 )′=3 ln 3(

x

x

答案:(1)? (2)? (3)√ 基础盘查三 导数四则运算法则 (一)循纲忆知 能利用导数的四则运算法则求解导函数. (二)小题查验 1.判断正误 (1)?e +cos
x

? ?

π? x ′=e ( 4? ?

) )

(2)函数 f(x)=sin (-x)的导数为 f′(x)=cos x( 答案:(1)√ (2)? 2.(人教 A 版教材习题改编)求下列函数的导数:

x -1 n x (1)y=x e ;(2)y= . sin x
答案:(1)y′=e (nx
x n-1

3

+x )

n

3x sin x-?x -1?cos x (2)y′= 2 sin x

2

3

对应学生用书P35

考点一 导数的运算(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.基本初等函数的导数公式 (x )′=α x e ,(logax)′=
x
α α -1

,(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x,(a )′=a ln a,(e )′= 1 ,(ln x)′= .

x

x

x

1

xln a

x

2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)?g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)?

?f?x??′=f′?x?g?x?-f?x?g′?x?(g(x)≠0). ? 2 [g?x?] ?g?x??
[题组练透]

求下列函数的导数. (1)y=x sin x; 1 (2)y=ln x+ ;
2

x

cos x (3)y= x ; e (4)y= 1 + . 1- x 1+ x
2 2 2

1

解:(1)y′=(x )′sin x+x (sin x)′=2xsin x+x cos x. 1? ? ?1? (2)y′=?ln x+ ?′=(ln x)′+? ?′

?

x?

?x?

1 1 = - 2.

x x

x x cos x? ?cos x?′e -cos x?e ?′ ? (3)y′=? x ?′= x 2 ?e ? ? e ?

sin x+cos x =- . x e 1 1 2 (4)∵y= + = , 1- x 1+ x 1-x ∴y′=? 2 ? 2 ?′=-2?1-x?′= ? 2 2. ?1-x? ?1-x? ?1-x? [类题通法] 函数求导的遵循原则

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. 考点二 导数的几何意义(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线 的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数). 相应地, 切线方程为 y-y0=f′(x0)(x -x0). [提醒] 求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的不同. [多角探明] 导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解 答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值.

角度一:求切线方程 ln x-2x 1.(2015?云南一检)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为(

x

)

A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0

B.2x+y=0 D.x+y+1=0

1-ln x 解析:选 C f′(x)= ,则 f′(1)=1,故该切线方程为 y-(-2)=x-1,即 x 2

x

-y-3=0. 角度二:求切点坐标 2.(2014?江西高考)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点

P 的坐标是________.
1 解析:设 P(x0,y0),∵y=xln x,∴y′=ln x+x? =1+ln x.∴k=1+ln x0.又 k

x

=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e,y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 答案:(e,e) 角度三:求参数的值

1 2 7 3.已知 f(x)=ln x,g(x)= x +mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相 2 2 切,且与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m 的值为( A.-1 C.-4 1 解析:选 D ∵f′(x)= , B.-3 D.-2 )

x

∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1, 又 f(1)=0, ∴切线 l 的方程为 y=x-1.

g′(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0),
1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x0+mx0+ ,m<0, 2 2 于是解得 m=-2,故选 D. [类题通法] 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)), 利用 k=

f?x1?-f?x0? 求解. x1-x0

对应A本课时跟踪检测?十三?

一、选择题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a) 的导数为( A.2(x -a ) C.3(x -a )
2 2 2 2 2 2

) B.2(x +a ) D.3(x +a )
2 2 2 2 2 2

解析:选 C f′(x)=(x-a) +(x+2a)[2(x-a)]=3(x -a ). 2.(2015?济宁模拟)已知 f(x)=x(2 014+ln x),f′(x0)=2 015,则 x0=( A.e
2

)

B. 1 D. e

C.ln 2

1 解析:选 B 由题意可知 f′(x)=2 014+ln x+x? =2 015+ln x.由 f′(x0)=2 015,

x

得 ln x0=0,解得 x0=1.

1+cos x ?π ? 3.设曲线 y= 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于 sin x ?2 ? ( ) A.-1 C.-2 B. 1 2

D. 2 1 ,由条件知 =-1,∴a=-1,

-1-cos x =-1 解析:选 A ∵y′= ,∴y′? x ? ? 2 sin x ? 2 故选 A.

a

1 3 2 2 4.下面四个图象中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -1)x+1(a∈R)的导函数 y= 3

f′(x)的图象,则 f(-1)=(

)

A. C.

1 3 7 3
2 2

2 B.- 3 1 5 D.- 或 3 3

解析: 选 D ∵f′(x)=x +2ax+a -1, ∴f′(x)的图象开口向上, 则②④排除. 若 f′(x) 5 2 的图象为①,此时 a=0,f(-1)= ;若 f′(x)的图象为③,此时 a -1=0,又对称轴 x= 3 1 -a>0,∴a=-1,∴f(-1)=- . 3 5.(2015?开封第一次摸底考试)直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 相切于点 A(1,3), 则 2a+b 的值等于( A.2 C.1
3 3

) B.-1 D.-2
2

解析:选 C 依题意得,y=x +ax+b 的导数 y′=3x +a, 1 +a+b=3, ? ? 2 则?3?1 +a=k, ? ?k+1=3,
3

a=-1, ? ? 由此解得?b=3, ? ?k=2,

∴2a+b=1,选 C.

?π ? ? π? ?π ? 6.若函数 f(x)=cos x+2xf′? ?,则 f?- ?与 f? ?的大小关系是( ?6? ? 3? ?3? ? π ? ?π ? A.f?- ?=f? ? ? 3? ?3? ? π ? ?π ? B.f?- ?>f? ? ? 3? ?3?

)

? π ? ?π ? C.f?- ?<f? ? ? 3? ?3?

D.不确定

?π ? 解析:选 C 依题意得 f′(x)=-sin x+2f′? ?, ?6?
π ?π ? ?π ? ?π ? 1 ∴f′? ?=-sin +2f′? ?,f′? ?= , 6 ?6? ?6? ?6? 2

f′(x)=-sin x+1,

? π π? ? π π? ∵当 x∈?- , ?时,f′(x)>0,∴f(x)=cos x+x 在?- , ?上是增函数,又- ? 2 2? ? 2 2?
π π π π <- < < , 2 3 3 2

? π ? ?π ? ∴f?- ?<f? ?. ? 3? ?3?
二、填空题 7. (2014?广东高考)曲线 y=-5e +3 在点(0, -2)处的切线方程为________________. 解析:因为 y′|x=0=-5e =-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为 y-(-2)=- 5(x-0),即 5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 8. (2015?河北邯郸二模)曲线 y=log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积 等于________. 解析:∵y′= 1
0

x

xln 2

1 ,∴k= , ln 2

1 ∴切线方程为 y= (x-1), ln 2 1 1 1 1 ∴三角形面积为 S△= ?1? = = log2e. 2 ln 2 2ln 2 2 1 答案: log2e 2 9.若函数 f(x)=ln x-f′(-1)x +3x-4,则 f′(1)=________. 1 解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3,
2

x

∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, 解得 f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 10. 已知 f1(x)=sin x+cos x, 记 f2(x)=f1′(x), f3(x)=f2′(x), ?, fn(x)=fn-1′(x)(n

?π ? ?π ? ?π ? * ∈N ,n≥2),则 f1? ?+f2? ?+?+f2 014? ?=________. 2 2 ? ? ? ? ?2?

解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,

f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,
以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,

?π ? ?π ? ∴ f1 ? ? + f2 ? ? + ? + f2 ?2? ?2?
f2? ?=0. 2
答案:0 三、解答题 11.求下列函数的导数. (1)y=x?tan x;

014

?π ? = 503 ?f ?π ?+f ?π ?+f ?π ?+f ?π ?? + f ?π ? + ?2? ? 1? 2 ? 2? 2 ? 3? 2 ? 4? 2 ?? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2?

?π ? ? ?

(2)y=(x+1)(x+2)(x+3). 解:(1)y′=(x?tan x)′=x′tan x+x(tan x)′ =tan x+x??

?sin ?cos

2 2 x? cos x+sin x ′=tan x+x? ? 2 x? cos x

=tan x+ 2 . cos x (2)y′= (x +1)′[(x + 2)(x + 3)] + (x + 1)[(x + 2)(x +3)]′= (x + 2)(x + 3) + (x+ 1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3x +12x+11. 1 3 2 12.(2015?临沂一模)已知函数 f(x)= x -2x +3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的 取值范围. 解:(1)由题意得 f′(x)=x -4x+3, 则 f′(x)=(x-2) -1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k,
2 2 2

x

k≥-1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,? 1 - ≥-1, ? ? k
解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x -4x+3<0 或 x -4x+3≥1,
2 2

得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞).

第十一节

导数的应用

对应学生用书P36 基础盘查一 函数的单调性与导数 (一)循纲忆知 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数不超过三次) (二)小题查验 1.判断正误 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件( ) )

(2)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图象就越“平缓”( 答案:(1)? (2)? 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=e -x 的减区间为________. 答案:(-∞,0)
x

3.已知 f(x)=x -ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大值是________. 答案:3 基础盘查二 函数的极值与导数 (一)循纲忆知 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、 极小值(其 中多项式函数不超过三次). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的( (2)函数的极大值不一定比极小值大( ) ) )

3

(3)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件( 答案:(1)? (2)√ (3)?

1 3 2.(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)= x -4x+4 的极大值为________. 3 28 答案: 3 基础盘查三 函数的最值与导数 (一)循纲忆知

会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). (二)小题查验 1.判断正误 (1)函数的极大值一定是函数的最大值( (2)开区间上的单调连续函数无最值( ) ) )

1 (3)函数 f(x)= 在区间[-1,1]上有最值(

x

答案:(1)? (2)√ (3)? 1 3 2.(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)= x -4x+4 在[0,3]的最小值为________. 3 4 答案:- 3 第一课时 导数与函数的单调性

对应学生用书P37 考点一 判断或证明函数的单调性(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 函数的单调性 在区间(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0.

f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数.
[典题例析] (2014?大纲全国卷节选)函数 f(x)=ln(x+1)- 解:f(x)的定义域为(-1,+∞),

ax

x+a

(a>1).讨论 f(x)的单调性.

f′(x)=

x[x-?a2-2a?] 2. ?x+1??x+a?
2 2

①当 1<a<2 时,若 x∈(-1,a -2a),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,a -2a)内是增函数; 若 x∈(a -2a,0),则 f′(x)<0,f(x)在(a -2a,0)内是减函数; 若 x∈(0,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)内是增函数. ②当 a=2 时,f′(x)≥0,f′(x)=0 成立当且仅当 x=0,f(x)在(-1,+∞)内是增函 数. ③当 a>2 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)>0,f(x)在(-1,0)内是增函数; 若 x∈(0,a -2a),则 f′(x)<0,f(x)在(0,a -2a)内是减函数; 若 x∈(a -2a,+∞),则 f′(x)>0,f(x)在(a -2a,+∞)内是增函数.
2 2 2 2 2 2

[类题通法] 导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. [提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论. [演练冲关] 已知函数 f(x)=x -e ,试判断 f(x)的单调性并给予证明. 解:f(x)=x -e ,f(x)在 R 上单调递减,
2 2

x

x

f′(x)=2x-ex,只要证明 f′(x)≤0 恒成立即可.
设 g(x)=f′(x)=2x-e ,则 g′(x)=2-e , 当 x=ln 2 时,g′(x)=0, 当 x∈(-∞,ln 2)时,g′(x)>0, 当 x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)<0. ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0, ∴f′(x)<0 恒成立, ∴f(x)在 R 上单调递减.
x x

考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研) [典题例析]

x a 3 (2014?重庆高考节选)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在 4 x 2
1 点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 1 a 1 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x 1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 2 3 5 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4

x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 4 4x 2

则 f′(x)=

x2-4x-5 , 2 4x

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5, 因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. [类题通法] 求函数的单调区间的“两个”方法 方法一 (1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二 (1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的 顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. [演练冲关] 已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).求函数 f(x)的单调区间. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞).

f′(x)= -a, x
1 ①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,

1

x

即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞). 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= ,

x x

a

1 1-ax 当 0<x< 时,f′(x)= >0;

a

1 1-ax 当 x> 时,f′(x)= <0,

a

x

? 1? ?1 ? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0, ?,单调递减区间为? ,+∞?. ?
a?

?a

?

考点三 已知函数的单调性求参数的范围(题点多变型考点——全面发掘)

[一题多变] [典型母题] 已知函数 f(x)=x -ax-1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在 R 上为增函数,求实数 a 的取值范围. [解] (1)f′(x)=3x -a. ①当 a≤0 时,f′(x)≥0, 所以 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. ②当 a>0 时,令 3x -a=0 得 x=± 当 x> 当-
2 2 3

3a ; 3

3a 3a 或 x<- 时,f′(x)>0; 3 3

3a 3a <x< 时,f′(x)<0. 3 3

因此 f(x)在?-∞,-

? ?

3a? ? 3a 3a 3a? ? ? ?,? ,+∞?上为增函数,在?- , ?上为减函数. 3 ? ? 3 3 ? ? ? 3

综上可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上为增函数; 当 a>0 时,f(x)在?-∞,- 函数. (2)因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f′(x)=3x -a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x 对 x∈R 恒成立. 因为 3x ≥0,所以只需 a≤0. 又因为 a=0 时,f′(x)=3x ≥0,f(x)=x -1 在 R 上是增函数,所以 a≤0,即 a 的取 值范围为(-∞,0].
2 3 2 2 2

? ?

3a? ? 3a 3a 3a ? ? ? ?,? ,+∞?上为增函数,在?- , ?上为减 3 ? ? 3 3 ? ? ? 3

[题点发散 1] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 解:因为 f′(x)=3x -a,且 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数, 所以 f′(x)≥0 在(1,+∞)上恒成立, 即 3x -a≥0 在(1,+∞)上恒成立, 所以 a≤3x 在(1,+∞)上恒成立,所以 a≤3, 即 a 的取值范围为(-∞,3]. [题点发散 2] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数,试求 a 的取值范围.
2 2 3

解:由 f′(x)=3x -a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x 在(-1,1)上恒成立. 因为-1<x<1,所以 3x <3,所以 a≥3. 即当 a 的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减函数. [题点发散 3] 函数 f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为(-1,1),求 a 的值. 解:由例题可知,
2

2

2

f(x)的单调递减区间为?-
∴ 3a =1,即 a=3. 3

? ?

3a 3a? , ?, 3 3 ?

[题点发散 4] 函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围. 解:∵f(x)=x -ax-1,∴f′(x)=3x -a. 由 f′(x)=0,得 x=± 3a (a≥0). 3
3 2

∵f(x)在区间(-1,1)上不单调, ∴0< 3a <1,得 0<a<3, 3

即 a 的取值范围为(0,3). [类题通法] 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区 间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题: 即“若函数单调递增, 则 f′(x)≥0; 若函数单调递减, 则 f′(x)≤0”来求解. [提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内 的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.

对应B本课时跟踪检测?十四? [A 卷——夯基保分] 一、选择题 1.(2015?苏中八校学情调查)函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间为( A.(0,1) C.(1,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

1 x-1 解析:选 A 函数的定义域是(0,+∞),且 f′(x)=1- = ,令 f′(x)<0,解得

x

x

0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).

2.函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) 解析:选 D ∵f(x)=(x-3)?e , 则 f′(x)=e (x-2),令 f(x)>0,得 x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
x x

x

)

B.(0,3) D.(2,+∞)

1 3 3.(2015?长春调研)已知函数 f(x)= x +ax+4,则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递 2 增”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3 2 解析:选 A f′(x)= x +a,当 a≥0 时,f′(x)≥0 恒成立,故“a>0”是“f(x)在 2 R 上单调递增”的充分不必要条件. 4.已知 a≥0,函数 f(x)=(x -2ax)e ,若 f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则 a 的取 值范围是( )
2

x

? 3? A.?0, ? ? 4? ?3 ? C.? ,+∞? ?4 ?
x
2 2

?1 3? B.? , ? ?2 4? ? 1? D.?0, ? ? 2?
2 2

解析:选 C f′(x)=(2x-2a)e +(x -2ax)e =[x +(2-2a)x-2a]e ,由题意当 x∈ [-1,1]时,f′(x)≤0 恒成立,即 x +(2-2a)x-2a≤0 恒成立. 令 g(x)=x +(2-2a)x-2a,则有?
2 2

x

? ?g?-1?≤0, ?g?1?≤0, ?

??-1? +?2-2a???-1?-2a≤0, ? 即? 2 ?1 +2-2a-2a≤0, ?

3 解得 a≥ . 4

? π π? 5. (2015?洛阳统考)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π -x), 且当 x∈?- , ?时, f(x) ? 2 2?
=e +sin x,则(
x

) B.f(2)<f(3)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2)
x

A.f(1)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(2)<f(1)

解析:选 D 由 f(x)=f(π -x),得 f(2)=f(π -2),f(3)=f(π -3),由 f(x)=e

π π ? π π? +sin x 得函数在?- , ?上单调递增,又- <π -3<1<π -2< ,∴f(π -2)>f(1)> 2 2 ? 2 2?

f(π -3),∴f(2)>f(1)>f(3).

6. (2015?湛江一模)若函数 f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点, 则 f(x) 在下列区间上单调递增的是( A.(-2,0) C.(1,+∞) ) B.(0,1) D.(-∞,-2)

b x

解析: 选 D 由题意知, f′(x)=1- 2, ∵函数 f(x)=x+ (b∈R)的导函数在区间(1,2) 上有零点,∴当 1- 2=0 时,b=x ,又 x∈(1,2),∴b∈(1,4),令 f′(x)>0,解得 x<-

b x

b x

b x

2

b或 x> b,即 f(x)的单调递增区间为(-∞,- b),( b,+∞),∵b∈(1,4),∴(-
∞,-2)符合题意,故选 D. 二、填空题 7.函数 f(x)=x -15x -33x+6 的单调减区间为________. 解析:由 f(x)=x -15x -33x+6 得 f′(x)=3x -30x-33,令 f′(x)<0,即 3(x- 11)(x+1)<0,解得-1<x<11,所以函数 f(x)的单调减区间为(-1,11). 答案:(-1,11) 8.函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π )上的单调情况是________. 解析:在(0,2π )上有 f′(x)=1-cos x>0,所以 f(x)在(0,2π )上单调递增. 答案:单调递增 9.函数 f(x)= sin x 的单调递增区间是______________. 2+cos x
3 2 2 3 2

?2+cos x?cos x-sin x?-sin x? 2cos x+1 解析:由导函数 f′(x)= = 2 2>0, ?2+cos x? ?2+cos x? 1 得 cos x>- , 2 2π 2π 所以 2kπ - <x<2kπ + (k∈Z), 3 3 2π 2π ? ? 即函数 f(x)的单调递增区间是?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3 ? ? 2π 2π ? ? 答案:?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3 ? ? 3x 2 10.(2015?成都一诊)已知函数 f(x)= -2x +ln x(a>0).若函数 f(x)在[1,2]上为

a

单调函数,则 a 的取值范围是________. 3 1 3 1 解析:f′(x)= -4x+ ,若函数 f(x)在[1,2]上为单调函数,即 f′(x)= -4x+ ≥0

a

x

a

x

3 1 3 1 3 1 或 f′(x)= -4x+ ≤0 在[1,2]上恒成立, 即 ≥4x- 或 ≤4x- 在[1,2]上恒成立. 令 h(x)

a

x

a

x a

x

1 3 3 3 15 3 =4x- ,则 h(x)在[1,2]上单调递增,所以 ≥h(2)或 ≤h(1),即 ≥ 或 ≤3,又 a>0, x a a a 2 a 2 所以 0<a≤ 或 a≥1. 5

? 2? 答案:?0, ?∪[1,+∞) ? 5?
三、解答题 ln x+k 11. (2015?武汉武昌区联考)已知函数 f(x)= (k 为常数, e 是自然对数的底数), x e 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 1 -ln x-k 解:(1)由题意得 f′(x)=

x

e

x



1-k 又 f′(1)= =0,故 k=1. e 1 -ln x-1 x (2)由(1)知,f′(x)= . x e 1 1 1 设 h(x)= -ln x-1(x>0),则 h′(x)=- 2- <0,即 h(x)在(0,+∞)上是减函数.

x

x

x

由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 1 12.(2015?沈阳质检)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= ax+b. 2 (1)若 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,求 g(x)的表达式; (2)若 φ (x)=

m?x-1? -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数 m 的取值范围. x+1

1 1 解:(1)由已知得 f′(x)= ,∴f′(1)=1= a,a=2. x 2 1 又∵g(1)=0= a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1. 2 (2)∵φ (x)=

m?x-1? m?x-1? -f(x)= -ln x 在[1,+∞)上是减函数. x+1 x+1

-x +?2m-2?x-1 ∴φ ′(x)= ≤0 在[1,+∞)上恒成立. x?x+1?2 即 x -(2m-2)x+1≥0 在[1,+∞)上恒成立, 1 则 2m-2≤x+ ,x∈[1,+∞),
2

2

x

1 ∵x+ ∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.

x

故数 m 的取值范围是(-∞,2]. [B 卷——增分提能] 1 2 x x 1.设函数 f(x)= x +e -xe . 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),

f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex).
若 x<0,则 1-e >0,所以 f′(x)<0; 若 x>0,则 1-e <0,所以 f′(x)<0; 若 x=0,则 f′(x)=0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知 f(x)在[-2,2]上单调递减, ∴[f(x)]min=f(2)=2-e . ∴当 m<2-e 时,不等式 f(x)>m 恒成立. 即实数 m 的取值范围是(-∞,2-e ). 1 3 a 2 2.(2015?荆州质检)设函数 f(x)= x - x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的 3 2 切线方程为 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. 解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x -ax+b, 由题意得?
?f?0?=1, ? ?f′?0?=0, ?
2 2 2 2 2

x

x

即?

?c=1, ? ?b=0. ?

(2)由(1)得,f′(x)=x -ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,

当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x -ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x -ax+2<0 成立,
2 2

? 2? 即 x∈(-2,-1)时,a<?x+ ?max=-2 2, ?
x?
2 当且仅当“x= ”即 x=- 2时等号成立,

x

所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 3.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈ [1,2], 函数 g(x)=x +x ??f′?x?+ ?在区间(t,3)上总不是单调函数, 求 m 的取值范围. 2? ?
3 2

?

m?

解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f′(x)=

a?1-x? x

当 a>0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1); 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. (2)由(1)及题意得 f′(2)=- =1, 2 即 a=-2, 2x-2 ∴f(x)=-2ln x+2x-3,f′(x)= .

a

x

? ? 2 3 ∴g(x)=x +? +2?x -2x, ?2 ?
m
∴g′(x)=3x +(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数, 即 g′(x)=0 在区间(t,3)上有变号零点. 由于 g′(0)=-2,∴?
2 2

?g′?t?<0, ? ? ?g′?3?>0.

当 g′(t)<0,即 3t +(m+4)t-2<0 对任意 t∈[1,2]恒成立,由于 g′(0)<0, 故只要 g′(1)<0 且 g′(2)<0, 即 m<-5 且 m<-9,即 m<-9; 37 由 g′(3)>0,即 m>- . 3

37 所以- <m<-9. 3

? 37 ? 即实数 m 的取值范围是?- ,-9?. ? 3 ?
第二课时 导数与函数的极值、最值

对应学生用书P39

考点一 运用导数解决函数的极值问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 函数的极值 当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. [提醒] 可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,即

f′(x0)=0 是可导函数 f(x)在 x=x0 处取得极值的必要不充分条件.例如函数 y=x3 在 x=0
处有 y′=0,但 x=0 不是极值点. [多角探明] 函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中, 为中高档题. 归纳起来常见的命题角度有: (1)知图判断函数极值; (2)已知函数求极值; (3)已知极值求参数. 角度一:知图判断函数极值 1.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-

x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(
A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)

)

解析:选 D 由题图可知,当 x<-2 时,f′(x)>0;当-2<x<1 时,f′(x)<0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时,f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x

=2 处取得极小值. 角度二:已知函数求极值 2. 设 f(x)=x +ax +bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a, f′(2)=-b, 其中常数 a,
3 2

b∈R.
(1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=f′(x)e ,求函数 g(x)的极值. 解:(1)由于 f′(x)=3x +2ax+b, 则 f′(1)=3+2a+b=2a,解得 b=-3;
2 -x

f′(2)=12+4a+b=-b,解得 a=- .
3 2 3 2 所以 f(x)=x - x -3x+1,f′(x)=3x -3x-3, 2 5 于是有 f(1)=- ,f′(1)=-3, 2

3 2

? 5? 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-?- ?=-3(x-1),即 6x+2y-1= ? 2?
0. (2)由(1)知 g(x)=(3x -3x-3)e , 则 g′(x)=(-3x +9x)e , 令 g′(x)=0 得 x=0 或 x=3,于是函数 g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调 递增,在(3,+∞)上单调递减. 所以函数 g(x)在 x=0 处取得极小值 g(0)=-3,在 x=3 处取得极大值 g(3)=15e . 角度三:已知极值求参数 3.设 f(x)=ln(1+x)-x-ax ,若 f(x)在 x=1 处取得极值,则 a 的值为________. 解析:由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), 1 -2ax -?2a+1?x 且 f′(x)= -2ax-1= , 1+x 1+x 1 由题意得:f′(1)=0,则-2a-2a-1=0,得 a=- , 4 1 2 1 1 x - x x?x-1? 2 2 2 1 又当 a=- 时,f′(x)= = , 4 1+x 1+x 当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0, 1 所以 f(1)是函数 f(x)的极小值,所以 a=- . 4 1 答案:- 4
2 2 -3 2 -x 2 -x

[类题通法] 利用导数研究函数极值的一般流程

考点二 运用导数解决函数的最值问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值; 若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. [提醒] 函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. [典题例析] 1-x 1 ?1 ? (2015?洛阳统考)已知函数 f(x)= +kln x,k< ,求函数 f(x)在? ,e?上的最大值 x e ?e ? 和最小值. 1-x 解:因 f(x)= +kln x,

x

f′(x)=

-x-?1-x? k kx-1 + = 2 . 2

x

x

x

1 ?1 ? ①若 k=0,则 f′(x)=- 2在? ,e?上恒有 f′(x)<0, x ?e ?

?1 ? ∴f(x)在? ,e?上单调递减. ?e ?
1-e ?1? ∴f(x)min=f(e)= ,f(x)max=f? ?=e-1. e ?e?

k?x- ? kx-1 ? k? ②若 k≠0,f′(x)= 2 = . x x2

?

1?

k?x- ? 1 ? ? k? ? ①若 k<0,则在? ,e?上恒有 <0, x2 ?e ?

?

1?

?1 ? ∴f(x)在? ,e?上单调递减, ?e ?
1-e 1 ∴f(x)min=f(e)= +kln e= +k-1, e e

f(x)max=f? ?=e-k-1. e
1 1 1 ②若 k>0,由 k< ,得 >e,则 x- <0, e k k

?1? ? ?

k? x - ? ? k? ?1 ? ∴ <0,∴f(x)在? ,e?上单调递减. 2 x ?e ?
1-e 1 ∴f(x)min=f(e)= +kln


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