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2008年高中数学竞赛一试试题答案(B卷)


2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(B 卷) 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档 次评分,解答题中 5 分为一个档次,不

要增加其他中间档次. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A.3 5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x B.2 C.1 D.0 ( B ) [解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ? 1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x ? 2 ,当且仅当 1 ? 2 ? x 时上式取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在 (??, 2) 上 2? x 的最小值为 2. 2.设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [0,3) B. [0,3] C. [?1, 2) D. [?1, 2] ( A ) [解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根 a a2 a a2 , , x2 ? ? 4 ? x1 ? ? 4 ? 2 4 2 4 故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即 a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ? 4, 2 4 2 4 解之得 0 ? a ? 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局 3 3 ( C ) D. 胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为 670 274 266 B. C. 243 81 81 [解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. A. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 241 81 2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮 比赛是否停止没有影响.从而有 P(? ? 2) ? 5 , 9 4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P (? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81 [解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 5 , 9 P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81 P(? ?

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