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2014高二理2-3排列组合二项式定理测试卷


青岛二中分校高二理科选修 2-3(排列、组合与二项式定理)测试题 班级___________姓名__________成绩
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若从集合 P 到集合 Q={a,b,c}所有不同的映射共有 81 个,则从集合 Q 到集合 P 可作的不同的映 射共有( A.32 个 ) B.27 个 C.81 个 D.64



2.某班举行联欢会,原定的五个节目已排出节目单,演出前又增加了两个节目,若将这两 个节目插入原节目单中,则不同的插法总数为( A.42 B.36 C.30 ) D.12

3.全班 48 名学生坐成 6 排,每排 8 人,排法总数为 P,排成前后两排,每排 24 人,排法 总数为 Q,则有( A.P>Q ) B.P=Q C.P<Q D.不能确定 )种

4.从正方体的六个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A.8 B.12 C.16 D.20

5.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配 方案共有(
4 4 A. C12 C84 C4


4 4 B. 3C12 C84C4 4 4 3 C. C12 C84C4 A3

D.

4 4 C12 C84 C4 3 A3

6.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙,现有编号为 1~6 的六种不同花色的装饰石材可选择,其中 1 号石材有微量的放射性, 不可用于办公室内,则不同的装饰效果有( A.350 B.300 )种 C.65 D.50 )种

7.有 8 人已站成一排,现在要求其中 4 人位置不变,其余 4 人调换位置,则有( 不同的调换方法 A.1680 B.256 C.630 D.280

8.一排九个坐位有六个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有( )种不同的坐法 A.7200 B.3600 C.2400 D.1200 9.在( 是 (

1 1 ? 3 )n 的展开式中,所有奇数项二项式系数之和等于 1024,则中间项 的二项式系数 x x
) B. 330
7 3

A. 462

C.682
2 5

D.792 )

10.在(1+ a x) 的展开式中,x 项的系数是 x 项系数与 x 项系数的等比中项,则 a 的值为(

A.

10 5

B.

5 3

C.

25 9

D.

25 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某公园现有 A、B、C 三只小船,A 船可乘 3 人,B 船可乘 2 人,C 船可乘 1 人,今有 三个成人和 2 个儿童分乘这些船只(每船必须坐人) ,为安全起见,儿童必须由大人陪同方 可乘船,他们分乘这些船只的方法有_____________种。 12. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98765),若把所有的五位渐减数 按从小到大的顺序排列,则第 20 个数为____________。 13.体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1、2、3 的三个箱子里,要求每个箱子放球 的个数不少于其编号,则不同的放法有_____________种。 14.若 (1 ? 2x) 2005 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2005 x 2005 ( x ? R ) , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2005 ) = (用数字作答) 。 )

15.设 (1 ? x) 3 ? (1 ? x) 4 ? ? ? (1 ? x) 50 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ......? a50 x 50,则a3 的值是(
4 A. C 50

B.

C. C 3 51

D. 2C3 50

三.解答题(本大题共 6 题,共 75 分) 16.(本题满分 12 分)已知 ( x?

2
3

x

2

) n 展开式中偶数项的二项式系数之和为 256,求 x 的系数。

17. (本题满分 12 分)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不 同的品种,现在餐厅准备了五种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择,则餐厅至 少还需准备不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程)

18.(本题满分 12 分)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 (1)可组成多少个不同的自然数? (2)组成多少个无重复数字的五位奇数? (3)可组成多少个无重复数字的能被 5 整除的五位数? (4)可组成多少个无重复数字的且大于 31250 的五位数?

19.(本题满分 12 分)在二项式 ( ? 2 x) 的展开式中
n

1 2

(1)若第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项。

20.(本题满分 13 分)证明: (1)对任意非负整数 n , 3 (2) 2 ? (1 ?

3n

? 26n ? 1可被 676 整除。

1 n ) ? 3 ,其中 n ? N * ; n

21. (本题满分 14 分)已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式
m n

中 x 的系数为 7, (1) 试求 f ( x) 中的 x 的系数的最小值 (2) 对于使 f ( x) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数
2 3 2

) 的近似值(精确到 0.01) (3) 利用上述结果,求 f (0.003

高二排列、组合与二项式定理测试卷参考答案
一:选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) (1). D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). C (8). A (9). A (10). C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
4 (11). 18 (12). 65431 (13). 10 (14). 2003 (15) C 51

三.解答题 16.解:由二项式系数性质:二项展开式中偶数项的二项式系数之和为 2
n ?1

,得 n=9,由通项公式

Tr ?1 ? C ( x )
r 9

9?r

(?

2
3

x2

) ? C (?2) x
r r 9 r

9? r 2 ? r 2 3



9 ? r 2r 3 ? ? 1 得 r=3,所以 x 的二项式系数为 C9 ? 84 ,而 x 的系数为-672 2 3

2 17.解:在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C5 ? 10 种,设素菜为 x 种,则 2 2 Cx ? C5 ? 200解得 x ? 7 ,

? 至少应有 7 种素菜
18. (1)解:可组成 6+5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 =46656 个不同的自然数
2 3 4 5

1 1 3 (2)可组成 A3 ? A4 ? A4 ? 288个无重复数字的五位奇数 4 4 3 (3)可组成 A5 ? ( A5 ? A4 ) ? 216个无重复数字的能被 5 整除的五位数 4 3 2 (4)可组成 2 A5 ? 3A4 ? 2 A3 ? 1 ? 325个无重复数字的且大于 31250 的五位数? 6 5 19.解: (1)由题意得 C4 n ? Cn ? 2Cn 解得 n=7 或 n=14

当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5,且 T4 ? 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8 且 T8 ? 3432x (2)由 Cn ? Cn ? Cn ? 79得n ? 12
0 1 2

35 3 x , T5 ? 70 x 4 2
7

设第 r+1 项系数最大,则有 ?

2 r ?12 r r ?1 ? C12 ? 2 2( r ?1) ?12 C12 47 52 ?2 ? ?r? 2 r ?12 r 2 ( r ?1) ?12 r ?1 5 5 ?2 C12 ? 2 C12 ?

10 10 ? r ? Z ,? r ? 10, 故T11 ? 28 C12 x ? 16896 x10

20.(1)证明:当 n ? 0, n ? 1 时 3
3n 当 n ? 2 时, 3 ? 26n ? 1=

3n

? 26n ? 1=0,显然 676| (33n ? 26n ? 1)

2 n 27n ? 26n ? 1 ? (1 ? 26) n ? 26n ? 1 ? 1 ? 26n ? Cn ? 262 ? ? ? Cn ? 26n ? 26n ? 1 2 3 n 2 3 n ? Cn ? 262 ? Cn ? 263 ? ?Cn 26n = 676(Cn ? 26Cn ? ? ? 26n?2 Cn ) ? 0(mod676)

综上所述:676| (33n ? 26n ? 1) (2)证明: (1 ?

(n ? N )

1 n 1 1 2 1 2 ) ? 1 ? Cn ? ? Cn ( ) ? ? ? 2 (当且仅当 n ? 1 时取等号) n n n 1 n 当 n ? 1 时, (1 ? ) ? 2 ? 3 显然成立 n 当 n ? 2 时; 1 1 1 0 1 1 2 n (1 ? ) n ? C n ? Cn ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? n ? n n n n n(n ? 1) 1 n(n ? 1)( n ? 2) 1 n(n ? 1) ? 2 ? 1 1 2? ? ??? 2 3 2! n 3! n! n nn 1 n n ?1 1 n n ?1 n ? 2 1 n n ?1 2 1 1 1 1 ? 2? ? ??? ? ? 2 ? ? ?? 2! n n 3! n n n n! n n nn 2! 3! n!

? 2?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 3? ? 3 2 2 3 n ?1 n n 1 n * 综上所述: 2 ? (1 ? ) ? 3 ,其中 n ? N n
1 1 21.解:根据题意得: Cm ? Cn ? 7 ,即 m ? n ? 7

(1)

2 2 ? Cn ? x 2 的系数为 C m

m(m ? 1) n(n ? 1) m 2 ? n 2 ? m ? n ? ? 2 2 2
2

2 将(1)变形为 n ? 7 ? m 代入上式得: x 的系数为 m ? 7 m ? 21 ? (m ? ) ?
2

7 2

35 4

x 的系数的最小值为 9 故当 m ? 3或4时,
2

3 3 x 的系数为为 C3 (1) 当 m ? 3, n ? 4或m ? 4, n ? 3时, ? C4 ?5
3

(2)

f (0.003) ? 2.02


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