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寒假专题——三角形中常用的辅助线-26






初二 何莹娟 李秀卿





数学





人教新课标版

课程标题 编稿老师 一校

寒假专题——三角形中的常用辅助线 二校 林卉 审核 孙永涛


一、学习目标:
归纳、掌握三角形中的常见辅助线

二、重点、难点:
1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

三、考点分析:
全等三角形是初中数学中的重要内容之一, 是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全 等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理 证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导 出所缺的条件然后再证明。 一些较难的证明题要构造合适的全等三角形, 把条件相对集中起 来,再进行等量代换,就可以化难为易了。

人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻 研,找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能 全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: (1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是 全等变换中的“对折” 。 例 1:如图,ΔABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90° ,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,CE 垂直于 BD,交 BD 的延长线于点 E。求证:BD=2CE。
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思路分析: 1)题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2)解题思路:要求证 BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有 BD 平分∠ABC 的 条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程: 证明:延长 BA,CE 交于点 F,在 ΔBEF 和 ΔBEC 中, ∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90° , ∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而 CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90° ,故∠1=∠3。 在 ΔABD 和 ΔACF 中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90° , ∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。 解题后的思考:等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以 提高解题的能力, 而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系, 为同学们开拓了一个广 阔的探索空间; 并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想, 它是解决问题的关键。 (2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角 形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。 例 2:如图,已知 ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是 BC 边上的中线。求证: ΔABC 是等腰三角形。

思路分析: 1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件,而 且要求证 AB=AC,可倍长 AD 得全等三角形,从而问题得证。 解答过程:

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证明:延长 AD 到 E,使 DE=AD,连接 BE。 又因为 AD 是 BC 边上的中线,∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD, 故 EB=AC,∠E=∠2, ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠1=∠2, ∴∠1=∠E, ∴AB=EB,从而 AB=AC,即 ΔABC 是等腰三角形。 解题后的思考:题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结, 便可得到全等三角形。 (3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折” ,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 例 3:已知,如图,AC 平分∠BAD,CD=CB,AB>AD。求证:∠B+∠ADC=180°。

思路分析: 1)题意分析:本题考查角平分线定理的应用。 2)解题思路:因为 AC 是∠BAD 的平分线,所以可过点 C 作∠BAD 的两边的垂线, 构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题。 解答过程: 证明:作 CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F。 ∵AC 平分∠BAD, ∴CE=CF。 在 Rt△CBE 和 Rt△CDF 中, ∵CE=CF,CB=CD, ∴Rt△CBE≌Rt△CDF, ∴∠B=∠CDF, ∵∠CDF+∠ADC=180°,
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∴∠B+∠ADC=180°。 解题后的思考: ①关于角平行线的问题,常用两种辅助线;

②见中点即联想到中位线。 (4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 例 4:如图,ΔABC 中,AB=AC,E 是 AB 上一点,F 是 AC 延长线上一点,连 EF 交 BC 于 D,若 EB=CF。 求证:DE=DF。

思路分析: 1)题意分析: 本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。 2) 解题思路: 因为 DE、 所在的两个三角形 ΔDEB 与 ΔDFC 不可能全等, DF 又知 EB=CF, 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换:过 E 作 EG//CF,构造中心对称型全等三 角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决。 解答过程:

证明:过 E 作 EG//AC 交 BC 于 G, 则∠EGB=∠ACB, 又 AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF, ∴EB=EG=CF,
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∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF, ∴DE=DF。 解题后的思考:此题的辅助线还可以有以下几种作法:

例 5:△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠BAC 交 BC 于 P,BQ 平分∠ABC 交 AC 于 Q,求证:AB+BP=BQ+AQ。

思路分析: 1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:作平行线。 2)解题思路:本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂,我们可以通过转化的 思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得△ ADO≌△AQO。得到 OD=OQ,AD=AQ,只要再证出 BD=OD 就可以了。 解答过程:

证明:如图(1) ,过 O 作 OD∥BC 交 AB 于 D, ∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°, 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°, ∴∠ADO=∠AQO, 又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO, ∴△ADO≌△AQO, ∴OD=OQ,AD=AQ, 又∵OD∥BP, ∴∠PBO=∠DOB, 又∵∠PBO=∠DBO, ∴∠DBO=∠DOB, ∴BD=OD, 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,
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∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°, ∴∠BOP=∠BPO, ∴BP=OB, ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考: (1)本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ,连 OD,构造全等三角形,即“截长法” 。 (2)本题利用“平行法”的解法也较多,举例如下: ①如图(2) ,过 O 作 OD∥BC 交 AC 于 D,则△ADO≌△ABO 从而得以解决。

②如图(3) ,过 O 作 DE∥BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,则△ADO≌△AQO,△ABO ≌△AEO 从而得以解决。

③如图(4) ,过 P 作 PD∥BQ 交 AB 的延长线于 D,则△APD≌△APC 从而得以解决。

④如图(5) ,过 P 作 PD∥BQ 交 AC 于 D,则△ABP≌△ADP 从而得以解决。

小结:通过一题的多种辅助线添加方法,体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的, 体会构造的全等三角形在转移线 段中的作用。从变换的观点可以看到,不论是作平行线还是倍长中线,实质都是对三角形作 了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。 (5)截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是 将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
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例 6:如图甲,AD∥BC,点 E 在线段 AB 上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。 求证:CD=AD+BC。
D A

E

C B
图甲

思路分析: 1)题意分析: 本题考查全等三角形常见辅助线的知识:截长法或补短法。 2)解题思路:结论是 CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长” ,即在 CD 上截取 CF=CB,只要再证 DF=DA 即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简 化问题的目的。 解答过程: 证明:在 CD 上截取 CF=BC,如图乙

D A

4 E

3 2 1

F

C B 图乙
在△FCE 与△BCE 中,

?CF ? CB ? ??FCE ? ?BCE ?CE ? CE ?
∴△FCE≌△BCE(SAS) , ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠DCE+∠CDE=90°, ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°, ∴∠3=∠4。 在△FDE 与△ADE 中,

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??FDE ? ?ADE ? ? DE ? DE ??3 ? ?4 ?
∴△FDE≌△ADE(ASA) , ∴DF=DA, ∵CD=DF+CF, ∴CD=AD+BC。 解题后的思考: 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时, 一般方法是截长法或补短法: 截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条; 补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。 1)对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、 之差小于第三边,故可想办法将其放在一个三角形中证明。 2)在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证明不出来,可连接两点或延 长某边构成三角形, 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等 关系证明。 小结:三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角形。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。

下一讲我们就要进入八下的学习了,八下的第一章是分式。 请同学们预习课本,并思考以下问题。 1、分式的概念是什么? 2、分式的乘除法的运算法则是什么?

(答题时间:90 分钟)
这几道题一定要认真思考啊,都是要添加辅助线的,开动脑筋好好想一想吧!加油!你 一定行! 1、已知,如图 1,在四边形 ABCD 中,BC>AB,AD=DC,BD 平分∠ABC。 求证:∠BAD+∠BCD=180°。
A D

B

图1

C

2、已知,如图 2,∠1=∠2,P 为 BN 上一点,且 PD⊥BC 于点 D,AB+BC=2BD。
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求证:∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知,如图 3,在△ABC 中,∠ C=2∠ B,∠ 1=∠ 2。求证:AB=AC+CD。

4、已知,如图 4,D、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE。

5、如图 5,AD 为△ABC 的中线,求证:AB+AC>2AD。

6、如图 6 所示,AD 是△ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF。 求证:AC=BF。

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图6

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1、分析:因为平角等于 180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角, 图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长法或补短法” 来实现。 证明:过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E,作 DF⊥BC 于点 F,如图 1-2
E A D

B

图 1-2

F

C

∵BD 平分∠ABC, ∴DE=DF, 在 Rt△ADE 与 Rt△CDF 中,

?DE ? DF ? ? AD ? CD
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ∴∠DAE=∠DCF。 又∠BAD+∠DAE=180°, ∴∠BAD+∠DCF=180°, 即∠BAD+∠BCD=180° 2、分析:与 1 相类似,证两个角的和是 180°,可把它们移到一起,让它们成为邻补角, 即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。 证明:过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E,如图 2-2

∵∠1=∠2,且 PD⊥BC, ∴PE=PD, 在 Rt△BPE 与 Rt△BPD 中,

?PE ? PD ? ?BP ? BP
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∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL), ∴BE=BD。 ∵AB+BC=2BD, ∴AB+BD+DC=BD+BE, ∴AB+DC=BE 即 DC=BE-AB=AE。 在 Rt△APE 与 Rt△CPD 中,

? PE ? PD ? ??PEA ? ?PDC ? AE ? DC ?
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS), ∴∠PAE=∠PCD 又∵∠BAP+∠PAE=180°。 ∴∠BAP+∠BCP=180° 3、 分析: 从结论分析, “截长” “补短” 或 都可实现问题的转化, 即延长 AC 至 E 使 CE=CD, 或在 AB 上截取 AF=AC。 证明:方法一(补短法) 延长 AC 到 E,使 DC=CE,则∠ CDE=∠ CED,如图 3-2

∴∠ ACB=2∠ E, ∵∠ ACB=2∠ B, ∴∠ B=∠ E, 在△ABD 与△AED 中,

??1 ? ?2 ? ??B ? ?E ? AD ? AD ?
∴△ABD≌△AED(AAS) , ∴AB=AE。 又 AE=AC+CE=AC+DC, ∴AB=AC+DC。 方法二(截长法) 在 AB 上截取 AF=AC,如图 3-3

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在△AFD 与△ACD 中,

? AF ? AC ? ??1 ? ?2 ? AD ? AD ?
∴△AFD≌△ACD(SAS) , ∴DF=DC,∠ AFD=∠ ACD。 又∵∠ ACB=2∠ B, ∴∠ FDB=∠ B, ∴FD=FB。 ∵AB=AF+FB=AC+FD, ∴AB=AC+CD。 4、证明: (方法一) 将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N, 在△AMN 中,AM+AN>MD+DE+NE; ① 在△BDM 中,MB+MD>BD; ② 在△CEN 中,CN+NE>CE; ③ 由①+②+③得: AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC (方法二:图 4-2)

延长 BD 交 AC 于 F,延长 CE 交 BF 于 G,在△ABF、△GFC 和△GDE 中有: AB+AF>BD+DG+GF ① GF+FC>GE+CE ② DG+GE>DE ③ 由①+②+③得:
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AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。 5 、 分 析 : 要 证 AB+AC>2AD , 由 图 想 到 : AB+BD>AD , AC+CD>AD , 所 以 有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多 BD+CD,故不能直接证出此题,而由 2AD 想到要构造 2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去

证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连接 BE,CE ∵AD 为△ABC 的中线(已知) ∴BD=CD(中线定义) 在△ACD 和△EBD 中

? BD ? CD(已证) ? 2 ??1 ? ?(对顶角相等) ? AD ? ED(辅助线作法) ?
∴△ACD≌△EBD(SAS) ∴BE=CA(全等三角形对应边相等) ∵在△ABE 中有:AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边) ∴AB+AC>2AD。 6、分析:欲证 AC=BF,只需证 AC、BF 所在两个三角形全等,显然图中没有含有 AC、 BF 的两个全等三角形, 而根据题目条件去构造两个含有 AC、 的全等三角形也并不容易。 BF 这时我们想到在同一个三角形中等角对等边, 能够把这两条线段转移到同一个三角形中, 只 要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段,所对的角相等即可。 思路一、以三角形 ADC 为基础三角形,转移线段 AC,使 AC、BF 在三角形 BFH 中 方法一: 延长 AD 到 H, 使得 DH=AD, 连结 BH, 证明△ADC 和△HDB 全等, AC=BH。 得 通过证明∠H=∠BFH,得到 BF=BH。

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证明:延长 AD 到 H,使得 DH=AD,连接 BH ∵ D 为 BC 中点 ∴ BD=DC 在△ADC 和△HDB 中

∴ △ADC≌△HDB(SAS) ∴ AC=BH, ∠H=∠HAC ∵ EA=EF ∴ ∠HAE=∠AFE 又∵ ∠BFH=∠AFE ∴BH=BF ∴BF=AC 方法二:过 B 点作 BH 平行 AC,与 AD 的延长线相交于点 H,证明△ADC 和△HDB 全等即可。 小结:对于含有中点的问题,通过“倍长中线” 可以得到两个全等三角形。而过一点 作已知直线的平行线,可以起到转移角的作用,也起到了构造全等三角形的作用。 思路二、以三角形 BFD 为基础三角形。转移线段 BF,使 AC、BF 在两个全等三角形中 方法三:延长 FD 至 H,使得 DH=FD,连接 HC。证明△CDH 和△BDF 全等即可。

证明:延长 FD 至 H,使得 DH=FD,连接 HC。 ∵ D 为 BC 中点 ∴ BD=CD 在△BFD 和△CHD 中

∴ △BFD≌△CHD(SAS) ∴ ∠H=∠BFH ∵ AE=FE ∴ ∠HAC=∠AFE 又∵ ∠AFE=∠BFH

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∴ ∠H=∠HAC ∴ CH=CA ∴ BF=AC 方法四:过 C 点作 CH 平行 BF,与 AD 的延长线相交于点 H,证明△CDH 和△BDF 全等即可。

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