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寒假专题——三角形中常用的辅助线-26






初二 何莹娟 李秀卿





数学





人教新课标版

课程标题 编稿老师 一校

寒假专题——三角形中的常用辅助线 二校 林卉 审核 孙永涛


一、学习目标:
归纳、掌握三角形中的常见辅助线

二、重点、难点:
1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

三、考点分析:
全等三角形是初中数学中的重要内容之一, 是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全 等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理 证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导 出所缺的条件然后再证明。 一些较难的证明题要构造合适的全等三角形, 把条件相对集中起 来,再进行等量代换,就可以化难为易了。

人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻 研,找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能 全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等; (3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: (1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是 全等变换中的“对折” 。 例 1:如图,ΔABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90° ,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,CE 垂直于 BD,交 BD 的延长线于点 E。求证:BD=2CE。
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思路分析: 1)题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2)解题思路:要求证 BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有 BD 平分∠ABC 的 条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程: 证明:延长 BA,CE 交于点 F,在 ΔBEF 和 ΔBEC 中, ∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90° , ∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而 CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90° ,故∠1=∠3。 在 ΔABD 和 ΔACF 中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90° , ∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。 解题后的思考:等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以 提高解题的能力, 而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系, 为同学们开拓了一个广 阔的探索空间; 并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想, 它是解决问题的关键。 (2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角 形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。 例 2:如图,已知 ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是 BC 边上的中线。求证: ΔABC 是等腰三角形。

思路分析: 1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件,而 且要求证 AB=AC,可倍长 AD 得全等三角形,从而问题得证。 解答过程:

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