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圆锥曲线统一定义


高二数学教案 教学目标

圆锥曲线统一定义

编辑:郭玉秀

1.了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法,能解决与准线相关的简单的圆 锥曲线问题。 2.根据标准方程求圆锥曲线准线方程,能解决与准线相关的简单的圆锥曲线问题。 教学过程 一、情境设计 问题 1:我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l( F 不在 l 上)的 距离的比等于 1 的动点 P 的轨迹是抛物线,当这个比值是一个不等于 1 的常数时,动点 P 的轨迹又是什么曲线呢?
2 2 2 问题 1、 在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子 a ? cx ? a ( x ? c ) ? y (见课本第 28 业) ,

将其变形为

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
2

?

c ,你能解释这个式子的几何意义吗? a

问题 2、已知点 P(x,y)到定点 F(c,0)的距离与到定直线 l:x = 的轨迹方程.

a2 c 的距离之比是常数a(a>c>0) ,求点 P c

变式 将条件 a>c>0 改为 c>a>0 呢?

圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点 F 不在直 线 l 上) (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是 其中常数 e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点 F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线 l 就是该圆锥曲线的准线. 思考 1、上述定义中只给出了一个焦点,一条准线,还有另一焦点,是否还有另一准线? 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么? 3、题中的|MF|=ed 的距离 d 到底是到哪一条准线的距离?能否随意选一条?

例 1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程

(1) x2 ? 2 y 2 ? 4

(2)2 y 2 ? x2 ? 4

(3) x2 ? y ? 0

例 2 :已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上上一点 P 到左焦点的距离为 4,求 P 点到左准线的距离. 64 36

变式 1 求点 P 到右准线的距离.

变式 2 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离为 14,求 P 点到右准线的距离. 64 36

例 3: 若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时求|MA|+|MF |的最小
2

值,并求这时 M 的坐标.

变式:已知 A(-1,1),B(1,0),点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上运动,求|PA|+2|PB|的最小值。 4 3

例 4:已知点 P 为双曲线 的坐标

x2 y2 ? ? 1 右支上的一点,F1、 F2 为左右焦点,若 PF1:PF2=3:2,试求点 P( x0, y0 ) 16 9

高二数学作业 圆锥曲线统一定义 1.写出下列圆锥曲线的准线方程 (1)

班级___________姓名______________________

x2 y 2 ? ? 1 _________________; 9x2 ? 4 y 2 ? 36 _______________________ 16 9 x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 __________________; ? ? 1 __________________________ (2) 25 16 7 2 2 2 (3) y ? 2 x ___________; y ? ? x ____________; x 2 ? y __________; 2x2 ? ? y ___________ 1 2.中心在原点,准线方程为 x ? ?4 ,离心率为 的椭圆方程是__________________________ 2 2 2 x y ? ? 1 上有一点 P 到左准线的距离是 8,则点 P 到右焦点的距离为________________. 3. 双曲线 16 9
4.已知椭圆的短轴长为 2,长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆中心到其准线距离是________________ 5.设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双曲线的离心率为 _____________ 6. P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上的一动点,记点 P 到准线的距离为 m,到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离为 n , 则 m+n 的最小值是____________ 7. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2,AB 为椭圆过 F2 的弦,则以 AB 为直径的圆和右准线 l 的位 a 2 b2

置关系是______________________ 8.求到直线 x ? 4 的距离是到点 (1, 0) 距离 2 倍的点的轨迹方程

9.已知椭圆 求 AB

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,斜率为 2 且过椭圆上述焦点 F 的直线与椭圆相交于两点 A, B 两点, 16 9

10. (1)已知点 M ( ,1) 为椭圆

2 3

x2 y 2 ? ? 1 内一点, P 为椭圆上一点,点 F2 为右焦点,求 2PF2 ? PM 的最 4 3
x2 y2

小值,并求此时 P 点的坐标.(2)已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,点 A(9,2),试在这个双曲线上求一点 9 16 3 M,使|MA|+ |MF|的值最小,并求出这个最小值. 5

B ,且 11 .已知某椭圆的焦点是 F 1 ? ?4,0?、F 2 ? 4,0? ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为

F1 B ? F2 B ? 10 。椭圆上不同的两点 A? x1, y1 ?、C ? x 2, y 2? 满足条件: F2 A 、 F2 B 、 F2C 成等差数列。
(Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求弦 AC 中点的横坐标;

12. 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点,求离心率 e 的取值范围.

x2 y2 a b



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