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河北省邢台二中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)


河北省邢台二中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z1=1+ A.8 i,z2=2 B.﹣4i ﹣2i,则 ? 等于( ﹣4i ) D.4 +4i

C .4

考点:复数代数形

式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:求出两复数的共轭复数,然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解. 解答: 解:∵z1=1+ ∴ ∴ ? = i,z2=2 , ﹣2i,

= = . 故选:C. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题. 2.已知集合 M={y|y=2 ,x>0},N={x|y=lg(2x﹣x )},则 M∩N 为( ) A. (1,2) B. (1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:通过指数函数的值域求出 M,对数函数的定义域求出集合 N,然后再求 M∩N. 2 解答: 解:M={y|y>1},N 中 2x﹣x >0∴N={x|0<x<2}, ∴M∩N={x|1<x<2}, 故选 A 点评:本题考查指对函数的定义域和值域,不要弄混.
x 2

3. A.3

dx 等于(

) B.6 C .9 D.3e

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据定积分的计算法则计算即可.

解答: 解:

dx=3lnx

=3lne ﹣3ln1=6,

2

故选:B 点评:本题主要考查了定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题

4.已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 C.充要条件

”是“ ⊥ ”的(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:先求出 ⊥ 的充要条件是 x=±
2

,从而得到答案. ,

解答: 解: ⊥ ? ? =0?4﹣2x =0?x=± 故 x=± 是 ⊥ 的充分不必要条件,

故选:A. 点评:本题考查了充分必要条件的定义,考查了向量垂直的性质,是一道基础题. 5. 在递增的等比数列{an}中, a1+an=34, a2an﹣1=64, 且前 n 项和 Sn=42, 则项数 n 等于( A.6 B.5 C .4 D.3 考点:等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设等比数列{an}的公比为 q,由 a2an﹣1=64,可得 a1an=64.与 a1+an=34 联立,又递增 的等比数列{an},解得 a1,an.由前 n 项和 Sn=42,利用 项公式即可得出. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,∵a2an﹣1=64,∴a1an=64. 又 a1+an=34,联立 解得 a1=2,an=32. ∵前 n 项和 Sn=42, ∴
n﹣1

)

=42,解得 q.再利用通

,又递增的等比数列{an},

=42,即

=42,解得 q=4.

∴32=2×4 ,解得 n=3. 故选:D. 点评:本题考查了等比数列的性质、通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

6.已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图 是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为( )

A.

B.2

C .4

D.

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:三棱锥的正视图如图所示,即可得出该三棱锥的正视图面积= 解答: 解:三棱锥的正视图如图所示, ∴该三棱锥的正视图面积= 故选:B. =2. .

点评:本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式,属于基础题.

7.具有性质:f( )=﹣f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,则下列函数:

①y=x﹣ ;②y=x+ ;③y=lnx;④y=

中所有满足“到负”交换的函数是

(

) A.①③

B.②④

C.①④

D.①③④

考点:进行简单的合情推理;函数的概念及其构成要素. 专题:函数的性质及应用;推理和证明. 分析:对所给的函数结合:f( )=﹣f(x) ,满足该“到负”交换的函数,进行验证即可. 解答: 解:显然,函数:①y=x﹣ ; 设 f(x)=y,则 f( )=﹣f(x)的函数,故满足“到负”交换的概念; 对于②:满足 f( )=f(x) ,不合乎题意, 对于③:y=lnx,

显然,f( )=﹣f(x) ,满足该“到负”交换的概念;

对于④:y=



当 0<x<1 时,f( )=﹣x=﹣f(x) , 当 x>1 时,0< <1,f( )= =﹣f(x) , 当 x=1 时, =1,∴x=1, ∴f( )=﹣f(x) ,满足该“到负”交换的概念; 故选:D. 点评:本题重点考查了合情推理、函数的性质等知识,属于中档题,解题关键是理解“到负” 交换的函数这一个概念.

8.如图,

= ,

= ,且 BC⊥OA,C 为垂足,设

=λ ,则 λ 的值为(

)

A.

B.

C.

D.

考点:平面向量数量积的运算. 分析:利用向量垂直数量积为零找出 λ 满足的方程解之 解答: 解: ∴ ∴ 即 ∴λ= 故选项为 A 点评:向量垂直的充要条件. = = =0 , = ﹣ , ,

9.已知 m>0,n>0,且 2m, ,3n 成等差数列,则 + 的最小值为( A. B.5 C. D.15

)

考点:基本不等式;等差数列的通项公式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由 2m, ,3n 成等差数列,可得 2m+3n=5.再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质. 解答: 解:∵2m, ,3n 成等差数列, ∴2m+3n=5. ∵m>0,n>0, ∴ + = 当 n=m=1 时取等号. ∴ + 的最小值为 5. 故选:B. 点评:本题考查了等差数列的通项公式、“乘 1 法”和基本不等式的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于基础题. = =5, 当且仅

10.已知函数 f(x)=sin( x+θ)﹣ y=f(x)在下列哪个区间上是减函数( A. (0, ) B. (﹣ ,﹣

cos( x+θ) (|θ|< ) ) C. (

)的图象关于 y 轴对称,则

,π) D. (

,2π)

考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:根据函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,|θ|< ﹣2cos x,即可求出函数 f(x)在(﹣ ,﹣ ,可求出 ,从而有 f(x)=

)上为减函数.

解答: 解:因为函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以当 x=0 时,f(x)取得最大(或最 小)值,此时 f(x)=sinθ﹣ cosθ=2sin( )﹣ ,﹣ ) ,因为|θ|< cos( x﹣ ,所以, , )=﹣2cos x,

所以 f(x)=sin( x﹣ 所以函数 f(x)在(﹣ 故选:B.

)=2sin( x﹣

)上为减函数.

点评:本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,考察了三角函数的图象与性质,属于基 本知识的考查.

11.如果变量 x,y 满足约束条件

,则

的取值范围是(

)

A.[ , D.[ , ]

B. (﹣∞, ]∪[ ,+∞)

C. (﹣∞, ]∪[ ,+∞)

考点:简单线性规划. 专题:数形结合;不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为动点与定点连线的斜率问题,数形结合得到最 优解,求得最优解的坐标,求出斜率得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,得 A(1,3) ,

联立

,得 C(1,6) ,

联立

,得 B(

) ,

令 z=

=



则 z+1=



表示可行域内的点(x,y)与点( 当连线过点(1,6)时,z﹣1 取最大值 ∴ 故选:A. 的取值范围是[ ].

)连线的斜率, ,当连线过点( )时,z﹣1 取最小值 .

点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想 方法,是中档题.

12.设函数 式一定成立的是( A.x1+x2>0 ) B.x1 >x2
2 2 2 2

,则下列不等

C.x1>x2

D.x1 <x2

考点:正弦函数的奇偶性;函数单调性的判断与证明. 专题:证明题. 分析:由 f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=f(x)?f(x)=xsinx 为偶函数,f′(x)=sinx+xcosx, 当 x∈[0, ? ]?f′(x)>0?f(x)单调递增, 时,f(x)单调递减;于是 f(x1)>f(x2)?|x1|>|x2|?x1 >x2 ,问题
2 2

解决了. 解答: 解:∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=xsinx=f(x) , ∴函数 f(x)=xsinx 为偶函数,又 f′(x)=sinx+xcosx, ∴ 时,f′(x)≥0,f(x)单调递增, 时,f′(x)≤0,f(x)

单调递减; 2 2 ∴f(x1)>f(x2)?f(|x1|)>f(|x2|)?|x1|>|x2|?x1 >x2 , 故选 B. 点评:本题考查函数单调性的判断与证明,难点在于“f(x)=xsinx 在 x∈[0, ]时 f(x)

单调递增”的证明(导数法)及偶函数性质的综合应用(f(x1)>f(x2)?|x1|>|x2|) ,属于 难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上. 13.已知 sin( +α)= ,则 cos2α= .

考点:二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.

专题:三角函数的求值. 分析:先求得 sin( 解答: 解:sin( 则 cos2α=2cos α﹣1= 故答案为: .
2

+α)=cosα= ,则有 cos2α=2cos α﹣1= +α)=cosα= , .

2



点评:本题主要考察了二倍角的余弦,运用诱导公式化简求值,属于基本知识的考查.

14.已知|

|=4,|

|=3,且



夹角为

,则

?

=﹣10.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意根据向量数量积运算即可求得结论. 解答: 解: ? = ?( )= ﹣ =4×3×cos ﹣4 =6﹣16=﹣10.
2

故答案为﹣10. 点评:本题主要考查向量的运算法则及数量积运算,属于基础题. 15.已知函数 f(x)=2 ﹣kx ﹣2(k,a∈R)的图象经过点(1,0) ,设 g(x) = ,若 g(t)=2,则实数 t=3.
x a

考点:分段函数的应用. 专题:计算题;函数的性质及应用. x a 分析:由函数 f(x)=2 ﹣kx ﹣2(k,a∈R)的图象经过点(1,0)可得 2﹣k﹣2=0,从而 求出 g(x)=
x a

,再由 g(t)=2 求实数 t 即可.

解答: 解:∵函数 f(x)=2 ﹣kx ﹣2(k,a∈R)的图象经过点(1,0) , ∴2﹣k﹣2=0, ∴k=0, ∴g(x)= ,

∵g(t)=2, t ∴2 ﹣2=2, (t≤0)或 log2(t+1)=2, (t>0) , 解得,t=3. 故答案为:3. 点评:本题考查了函数中参数的求法及分段函数的应用,属于中档题.

16.已知等差数列{an}满足 a2=3,点(a4,a8)在直线 2x+y﹣29=0 上,设 bn=an+ 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则点(n,Sn)到直线 2x+y﹣24=0 的最小距离为 考点:数列与解析几何的综合. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由题意,设等差数列{an}的公差为 d,则 .



,从而

求出等差数列{an},进而求数列{bn}的通项及前 n 项和公式,再由题意验证最小距离即可. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 解得,a1=1,d=2; 则 an=2n﹣1, bn=an+ =2 +2n﹣1,
n n



则 Sn=(1+2)+(3+4)+…+(2 +2n﹣1) n =(1+3+5+…+2n﹣1)+(2+4+8+…+2 ) =
2 n+1

+

=n +2 ﹣2, 易验证点(3,S3)即(3,23)到直线 2x+y﹣24=0 的距离最小, 即 d= = ,

即点(n,Sn)到直线 2x+y﹣24=0 的最小距离为 , 故答案为: . 点评: 本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前 n 项和的求法, 用到了拆项求和数 列求和公式,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c,sinA+sinB=2sinC,a=2b. (1)证明:△ ABC 为钝角三角形; (2)若 S△ ABC= ,求 c.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)结合正弦定理和余弦定理即可证明:△ ABC 为钝角三角形; (2)根据三角形的面积公式即可求 c. 解答: 解: (1)∵sinA+sinB=2sinC,

∴由正弦定理得 a+b=2c, ∵a=2b, ∴3b=2c,即 c= 则 a 最大, ,

则 cosA=

=

=



则 A 为钝角, 故△ ABC 为钝角三角形; (2)∵cosA= ∵S△ ABC= 即 b = , = ,∴sinA= , , ,

解得 b= , 则 c= .

点评:本题主要考查解三角形的应用,要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用. 18.在 R 上定义运算?:x?y=x(2﹣y) ,已知关于 x 的不等式(x+1)?(x+1﹣a)>0 的解集是{x|b<x<1}. (1)x 求实数 a,b 2 (2)对于任意的 t∈A,不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;一元二次不等式的解法. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由新定义得到不等式,求解不等式后结合不等式的解集列关于 a,b 的方程,则 答案可求; 2 (2)把不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立看作是关于 t 的一次不等式,然后由 t 取﹣1 和 1 时对应的代数式大于 0 求得 x 的取值范围. 解答: 解: (1)由(x+1)?(x+1﹣a)>0,得(x+1) (a+1﹣x)>0, ∴(x+1) (x﹣a﹣1)<0, ∴﹣1<x<a+1, ∵不等式(x+1)?(x+1﹣a)>0 的解集是{x|b<x<1}, ∴b=﹣1,a+1=1,a=0; (2)由(1)知,A=(﹣1,1) , 2 令 g(t)=xt+(x ﹣2x+1) , 2 对于任意的 t∈(﹣1,1) ,不等式 x +(t﹣2)x+1>0 恒成立,

当 x=0 时,上式显然成立; 当 x≠0 时,则 ,即 ,

解得:



. .

∴实数 x 的取值范围是

点评:本题考查了函数恒成立问题,考查了一元二次不等式的解法,训练了更换主元法思想 方法,是中档题.

19.已知函数 f(x)=

(a>0,x>0)的图象过点(a,0) .

(1)判断函数 f(x)在(0.+∞)上的单调并用函数单调性定义加以证明; (2)若 a> 函数 f(x)在[ ,5a]上的值域是[ ,5a],求实数 a 的值.

考点:函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)代入点的坐标,求得 f(x) ,再由单调性的定义,即可证得 f(x)在(0.+∞) 上为增函数; (2)由函数的单调性,即可得到最值,解方程,即可求得 a. 解答: 解: (1)函数 f(x)= 则 0= ,则 b=1,则 f(x)= (a>0,x>0)的图象过点(a,0) , = ,

f(x)在(0.+∞)上为增函数, 理由如下:设 0<m<n,则 f(m)﹣f(n)= = ﹣( )

,由于 0<m<n,则 m﹣n<0,mn>0,则 f(m)﹣f(n)<0,

则 f(x)在(0.+∞)上为增函数; (2)由于 f(x)在(0.+∞)上为增函数, 则函数 f(x)在[ ,5a]上的值域是[f( ) ,f(?5a)],

即有

,解得,a= .

点评:本题考查函数的单调性的判断和运用,考查运算能力,属于基础题. 20. 如图, 四棱锥 A﹣BCDE 中, △ ABC 是正三角形, 四边形 BCDE 是矩形, 且平面 ABC⊥ 平面 BCDE,AB=2,AD=4. (1)若点 G 是 AE 的中点,求证:AC∥平面 BDG;

(2)试问点 F 在线段 AB 上什么位置时,二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为



考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明; (2)建立空间直角坐标系,求平面 BCE 和 CEF 的法向量,利用向量法求二面角的大小, 解方程即可得出. 解答: 解: (1)证明:连接 CE、BD,设 CE∩BD=O,连接 OG, 由三角形的中位线定理可得:OG∥AC, ∵AC?平面 BDG,OG?平面 BDG, ∴AC∥平面 BDG. (2)∵平面 ABC⊥平面 BCDE,DC⊥BC, ∴DC⊥平面 ABC, ∴DC⊥AC,则△ ACD 为直角三角形. ∵△ABC 是正三角形, ∴取 BC 的中点 M,连结 MO,则 MO∥CD, ∴MO⊥面 ABC, 以 M 为坐标原点,以 MB,M0,MA 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, ∵AB=2,AD=4,∴AM= , ∴B(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,A(0,0, ) , 在 Rt△ ACD 中,CD= ∴BE=CD= 则 ∵点 F 在线段 AB 上, ∴设 BF=xBA, (0≤x≤1) 则 ∴F(1﹣x,0, ) ,则 , , , ,即 E(1,2 , ,0) .

设面 CEF 的法向量为

则由

得,



令 a=

,则 b=﹣1,c=

,即 ,



平面 BCE 的法向量为

二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为











平方得

,解得:



解得 x=﹣1(舍去)或 x= . 即 F 是线段 AB 的中点时,二面角 B﹣CE﹣F 的余弦值为 .

点评:本题主要考查直线和平面平行的判定定理,以及利用向量法解决二面角的大小问题, 综合性较强,运算量较大. 21.已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 ,n∈N .数列{bn}满足 (1)求 a1、d 和 Tn; (2)若对任意的 n∈N ,不等式
* *

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

恒成立,求实数 λ 的取值范围.

考点:数列与不等式的综合;数列的求和. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 ,n 取 1 或 2,可求数列的首项与公差,从人体可得数列的通项,

进而可求数列的和; (2)分类讨论,分离参数,求出对应函数的最值,即可求得结论. 解答: 解: (1)∵ ∵ ∴d=﹣1,2, 当 d=﹣1 时,a2=0 不满足条件,舍去. 因此 d=2.…. ∴an=2n﹣1,∴ (2)当 n 为偶数时, ∵ 因此 ,当 n=2 时等号成立,∴ . …. , 的最小值为 , ,∴ ,∴ 最小值为 , .…. , ,a1≠0,∴a1=1.…. ,∴(1+d) =3+3d,
2

当 n 为奇数时, ∵ ∴ 综上, 在 n≥1 时单调递增,∴n=1 时 . . …. ….

点评:本题考查数列的通项与求和,考查恒成立问题,解题的关键是分类讨论,分离参数, 属于中档题.

22.设函数 f(x)=



(1)求函数 f(x)在[ ,2]上的最值; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)﹣1<a 成立. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;导数的综合应用.

分析: (1)f′(x)=

,令 h(x)=(x﹣1)e +1,则 h′(x)=x?e ,从而由

x

x

导数的正负确定函数的单调性,从而求最值; x (2)化简不等式 f(x)﹣1<a 为 e ﹣(a+1)x﹣1<0,求导讨论函数的单调性,从而求函 数的最小值,证明最小值小于 0 即可. 解答: 解: (1)f′(x)=
x x



令 h(x)=(x﹣1)e +1,则 h′(x)=x?e , x 故 h(x)=(x﹣1)e +1 在(0,+∞)上是增函数, 又∵h(0)=0, 故 f(x)= 在(0,+∞)上是增函数, ﹣2,

则函数 f(x)在[ ,2]上的最小值为 f( )=2 最大值为 f(2)= e ﹣ ;
2

(2)证明:f(x)﹣1=
x



不等式 f(x)﹣1<a 可化为 e ﹣(a+1)x﹣1<0, x x 令 g(x)=e ﹣(a+1)x﹣1,则 g′(x)=e ﹣(a+1) , x 令 e ﹣(a+1)=0 解得,x=ln(a+1) , 故当 0<x<ln(a+1)时,g′(x)<0, 当 x>ln(a+1)时,g′(x)>0, 则当 x=ln(a+1)时,gmin(x)=a﹣(a+1)ln(a+1) , 令 m(a)= 则 m′(a)=﹣ (a+1) , (a≥0) , <0,

则当 a>0 时,m(a)<m(0)=0; 故 gmin(x)=a﹣(a+1)ln(a+1)<0, 故存在正数 x,使不等式 f(x)﹣1<a 成立. 点评:本题考查了导数的综合应用,属于中档题.


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