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习题课 直线的位置关系与距离公式


习题课

直线的位置关系与距离公式

【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式,能灵活应用它们解 决有关的综合问题(重点是对称问题).

1.

??2?两点P ?x ,y ?,P ?x ,y ?的距离 ? |P P |= . 四个距离公式??3?点P?x ,y ?到直线l:Ax+

By+C=0 的距离d= . ??4?平行线l :Ax+By+C =0与l :Ax+By+ ? C =0间的距离d= .
1 1 1 2 2 2 1 2 0 0 1 1 2 2

?1?数轴上两点A、B的距离d?A,B?=|x2-x1|.

2.三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称 点 P(x0,y0)关于点 M(a,b)的对称点为 P′________. (2)点关于直线的对称 若 两 点 P1(x1 , y1) 与 P2(x2 , y2) 关 于 直 线 l : Ax + By + C = 0 对 称 , 则 由 方 程 组 x +x y +y ? ?A·1 2+B·1 2+C=0, 2 2 可得点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 A≠0, ? ? ? x1≠x2). (3)线关于点、线的对称 线是点构成的集合,直线的方程是直线上任一点 P(x,y)的坐标 x,y 满足的表达式,故 求直线关于点、线的对称,可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称.

一、选择题 1.点(3,9)关于直线 x+3y-10=0 的对称点为( ) A.(-13,1) B.(-2,-6) C.(-1,-3) D.(17,-9) 2.和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( ) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 3.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是( ) A.(5,-3) B.(9,0) C.(-3,5) D.(-5,3) 4.过点(1,3)且与原点的距离为 1 的直线共有( ) A.3 条 B.2 条 C.1 条 D .0 条 5. 若点(5, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间, 则整数 b 的值为( A.5 B.-5 C.4 D.-4 6.已知实数 x,y 满足 5x+12y=60,则 x2+y2-2x-4y+5的最小值是( )

)

31 A. 13 C.13

89 B. 13 D.不存在

二、填空题 7.点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(-2,7),则 l 的方程为________________. 8.如图所示,已知△ABC 的顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6),直线 l 平行于 AB, 1 且分别交 AC、BC 于 E、F,△CEF 的面积是△CAB 面积的 ,则直线 l 的方程为________. 4

9.设点 A(-3,5)和 B(2,15),在直线 l:3x-4y+4=0 上找一点 P,使|PA|+|PB|为最小, 则这个最小值为________. 三、解答题 10.一条直线被直线 l1:4x+y+6=0 和 l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐 标原点,求这条直线的方程.

11.已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程. (1)l′与 l 平行且过点(-1,3); (2)l′与 l 垂直且 l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4; (3)l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线.

能力提升 12.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大 值.

13.已知 M(1,0)、N(-1,0),点 P 为直线 2x-y-1=0 上的动点,求|PM|2+|PN|2 的最小 值及取最小值时点 P 的坐标.

1. 在平面解析几何中, 用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件, 把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解. 2.关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点 的连线与已知直线垂直,“平分”是指:两对称点连成线段的中点在已知直线上,可通过这 两个条件列方程组求解. 3.涉及直线斜率问题时,应从斜率存在与不存在两方面考虑,防止漏掉情况.

习题课
知识梳理

直线的位置关系与距离公式
|Ax0+By0+C| (3) A2+B2

答案

1.(2) ?x2-x1?2+?y2-y1?2 (4) |C2-C1| A2+B2

y1-y2 B 2.(1)(2a-x0,2b-y0) (2) = x1-x2 A 作业设计 1.C [设对称点为(x0,y0), y -9 ? ?x -3=3, 则由? x +3 y +9 ? 2 +3· 2 -10=0, ?
0 0 0 0

?x0=-1, ? 得? ] ?y0=-3. ?

2.B

5 - ,0?,由对称直线的特征知,所求直线斜 [直线 3x-4y+5=0 与 x 轴交点为? ? 3 ?

3 率为 k=- . 4 5 3 x+ ?,即 3x+4y+5=0.] ∴y=- ? 4? 3?

3.A [当 PQ 与已知直线垂直时,垂足 Q 即为所求.] 4.B [当直线斜率不存在时,直线方程为 x=1,原点到直线距离为 1,满足题意.当 |3-k| 直线斜率存在时,设直线方程为 y-3=k(x-1)即 kx-y+3-k=0.由已知 2 =1,解得 k +1 4 k= ,满足题意.故共存在 2 条直线.] 3 31 5.C [把 x=5 代入 6x-8y+1=0 得 y= , 8 31 把 x=5 代入 3x-4y+5=0 得 y=5,∴ <b<5. 8 又∵b 为整数,∴b=4.] 6.A [ x2+y2-2x-4y+5 = ?x-1?2+?y-2?2, 它表示点(x,y)与(1,2)之间的距离, |1×5+2×12-60| 两点距离的最小值即为点(1,2)到直线 5x+12y=60 的距离,∴d= = 13 31 .] 13 7.3x-y+3=0 8.x-2y+5=0 1 解析 由已知,直线 AB 的斜率 k= , 2 1 ∵EF∥AB,∴直线 EF 的斜率为 k= . 2 1 ∵△CEF 的面积是△CAB 面积的 , 4 5? ∴E 是 CA 的中点,∴点 E 的坐标? ?0,2?, 5 1 直线 EF 的方程是 y- = x,即 x-2y+5=0. 2 2 9.5 13 解析 设点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为(a, b), 则由 AA′⊥l 且 AA′被 l 平分, b-5 3 ? ?a+3×4=-1, 得? a-3 b+5 ? ?3× 2 -4× 2 +4=0. 解之得 a=3,b=-3.∴点 A′的坐标为(3,-3), ∴(|PA|+|PB|)min=|A′B| = ?3-2?2+?-3-15?2=5 13. 10.解 设所求直线与直线 l1 交于 A(x0,y0),它关于原点的对称点为 B(-x0,-y0), 36 x0=- , ? 23 4 x + y + 6 = 0 , ? 0 0 且 B 在直线 l2 上,由? 解得 6 ?-3x0+5y0-6=0, ? y0= , 23 6 23 1 ∴所求直线方程为 y= x=- x, 36 6 - 23 即 x+6y=0. 3 11.解 (1)直线 l:3x+4y-12=0,kl=- , 4

? ? ?

3 又∵l′∥l,∴kl′=kl=- . 4 3 ∴直线 l′:y=- (x+1)+3,即 3x+4y-9=0. 4 4 (2)∵l′⊥l,∴kl′= . 3 4 设 l′与 x 轴截距为 b,则 l′与 y 轴截距为- b, 3 1 ? 4 ? - b =4,∴b=± 6. 由题意可知,S= |b|· 2 ? 3 ? 4 4 ∴直线 l′:y= (x+ 6)或 y= (x- 6). 3 3 (3)∵l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线, ∴l′与 l 关于原点对称. 任取点(x0,y0)在 l 上,则在 l′上对称点为(x,y). x=-x0,y=-y0,则-3x-4y-12=0. ∴l′为 3x+4y+12=0. 12.解 找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点.设 A′(a, b), b+1 ? ?a-4×2=-1 则? 4+a b-1 ? ?2× 2 - 2 -4=0
?a=0 ? .解得? , ? ?b=1

所以|A′B|= ?4-1?2+?3-0?2=3 2. 13.解 ∵P 为直线 2x-y-1=0 上的点, ∴可设 P 的坐标为(m,2m-1),由两点的距离公式得|PM|2+|PN|2=(m-1)2+(2m-1)2+ (m+1)2+(2m-1)2=10m2-8m+4.(m∈R) 令 f(m)=10m2-8m+4 2?2 12 12 =10? ?m-5? + 5 ≥ 5 , 2 1? 2 ∴当 m= 时,|PM|2+|PN|2 取最小值,此时 P? ?5,-5?. 5


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