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2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试题(B卷)


忻州师范学院计算机科学与技术系 2006-2007 学年第二学期《高等数学》期末试题(B 卷) (考试班级:本 0601 班
一、单项选择题(每小题 2 分,共 10 分) 1、 f x ( x 0 , y 0 ) 和 f y ( x 0 , y 0 ) 存在是函数 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 连续的( ) 。 A)必要非充分的条件 C)充

分且必要的条件
2 2 2

考试时间:110 分钟)

B)充分非必要的条件 D)即非充分又非必要的条件

2、设 u ? ln( x ? y ? z ) ,则 div ( grad u ) =( ) 。 A)
x 1
2

? y

2

? z

2

B)
x

2
2

? y

2

? z

2

C)
(x

1
2

? y

2

? z )

2

2

D)
(x

2
2

? y

2

? z )

2

2

3、设 D 是 xoy 面上以 (1, 1), ( ? 1, 1), ( ? 1, ? 1) 为顶点的三角形区域, D 1 是 D 中在第一象 限的部分,则积分 ?? ( x y ? cos
3 D 3

x sin y ) d ? =(
3

) 。

A) 2 ?? cos
D1 3

3

x sin y d ?
3

B) 2 ?? x yd ?
D1

C) 4 ?? ( x y ? cos
D1

x sin y ) d ?

D) 0 上的 0 ?
2

4、设 ? 为曲面 x 2 A) 0

? y

2

? R

2

(R ? 0)

z ? 1 部分,则 ??
?

e

x ?y

2

2

sin( x ? y ) dS =() 。
2 2

B) ? Re

R

sin R

C) 4 ? R

D) 2 ? Re

R

sin R

2

5、设二阶线性非齐次方程 y ?? ? p ( x ) y ? ? q ( x ) y ? f ( x ) 有三个特解 y 1 ? x , y 2 ? e ,
x

y3 ? e

2x

,则其通解为( ) 。
x 2x

A) x ? C 1 e ? C 2 e C) x ? C 1 ( e ? e
x 2x

B) C 1 x ? C 2 e ? C 3 e
x
x

2x

) ? C2 (x ? e )

D) C 1 ( e ? e
x

2x

) ? C 2 (e

2x

? x)

二、填空(每空 3 分,共 30 分)
第 1 页, 共 2 页

1、函数 f ( x , y ) ? 2 x ? ax ? xy
2

2

? 2 y 在点 (1, ? 1) 处取得极值,则常数 a =___。

2、 若曲面 x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 21 的切平面平行于平面 x ? 3、二重积分 ? 0 dy ? y y e
1 1 ?x
3

则切点坐标为___。 4 y ? 6 z ? 25 ? 0 ,

dx 的值为______。

4、设空间立体 ? 所占闭区域为 x ? y ? z ? 1, x ? 0 , y ? 0 , ? 上任一点的体密度是
? ( x , y , z ) ? x ? y ? z ,则此空间立体的质量为______。
y x? y
2

5、微分方程 y ? ?

的通解为_____。

三、计算题(每题 8 分,总计 40 分) 1、 已知 f ( x , y , z ) ? 2 xy ? z 及点 A ( 2 , ? 1, 1) 、B ( 3 , 1, ? 1) , 求函数 f ( x , y , z ) 在点 A 处 沿由 A 到 B 方向的方向导数,并求此函数在点 A 处方向导数的最大值。 2、设 z ? f ( x ? y , xy ) 具有连续的二阶偏导数,求
? z ?x?y
2

2



3、将函数 f ( x ) ?

3 2? x? x
2

展开成 x 的幂级数,并指出收敛域。

4、设 y ? y ( x ) 满足方程 y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? 2 e ,且其图形在点 ( 0 , 1) 与曲线 y ? x ? x ? 1
x
2

相切,求函数 y ( x ) 。
ds x ? y ? z
2 2 2

5、计算 ?
L

,其中 L 是螺旋线 x ? 8 cos t , y ? 8 sin t , z ? t 对应 0 ? t ? 2? 的

弧段。 四、计算题(每题 10 分,总计 20 分) 1、计算 ??? z dv ,其中 ? 由不等式 z ?
?

x

2

? y

2

及1 ? x ? y ? z

2

2

2

? 4 所确定。

2、 计算 ??
?

axdydz x

? ( z ? a ) dxdy
2 2

, 其中 ? 为下半球面 z ? ? a ? x ? y

2

2

2

的下侧,a 为

? y

2

? z

2

大于零的常数。
第 2 页, 共 2 页

忻州师范学院计算机科学与技术系 2006-2007 学年第二学期《高等数学》期末试题答案及评分标准(B 卷)
二、单项选择题(每小题 2 分,共 10 分)

1、D) 2、B) 1、-5 2、 ( ? 1, ? 3、 4、 5、
1 6 1 8
2, ? 2)
?1

3、A)

4、D)

5、C)

二、填空(每空 3 分,共 30 分)

(1 ? e

)

x y

? y ? C

三、计算题(每题 8 分,总计 40 分) 1、 已知 f ( x , y , z ) ? 2 xy ? z 及点 A ( 2 , ? 1, 1) 、B ( 3 , 1, ? 1) , 求函数 f ( x , y , z ) 在点 A 处 沿由 A 到 B 方向的方向导数,并求此函数在点 A 处方向导数的最大值。 解:由条件得
?f ?x ? 2 y, ?f ?y ? 2 x, ?f ?z ? ?2 z
2

(2 分)

AB ? {1, 2 , ? 2 } ? AB
1 3 2 3

0

1 2 2 ? { , , ? } ? {cos ? , cos ? , cos ? } 3 3 3
2 3

(4 分)

? cos ? ?

, cos ? ?

, cos ? ? ?

(5 分) =
A ( 2 , ? 1 ,1 )

从而

?f

? ?f ? ?f ?f ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? ?l ?y ?z ? ?x ?

10 3

(6 分)

点 A 的梯度方向是 l ? grad f
?f ?l

A

? {2 y ,2 x ,? 2 z}

A

? { ? 2 , 4 , ? 2}

(7 分)

所以方向导数的最大值是

?

2

2

? 4

2

? 2

2

?

24 ? 2 6

(8 分)

第 3 页, 共 2 页

2、设 z ? f ( x ? y , xy ) 具有连续的二阶偏导数,求
?z ?x
2

? z ?x?y

2



解:

? f 1 ? yf 2 ,

?z ?y

? ? f 1 ? xf

2

(2 分)

? z ?x?y

?

? ? ?z ? ? ? ?x ? ? ?y ?y ? ?

? f1 ?

yf2 ? ?

? f1 ?y

? y

?f2 ?y

? f2

(4 分)

? ( ? f 1 1 ? xf 1 2 ) ? y ( ? f 2 1 ? xf 2 2 ) ? f 2 ? ? f 1 1 ? ( x ? y ) f 1 2 ? xyf 2 2 ? f 2

(6 分) (8 分)

3、将函数 f ( x ) ?
3

3 2? x? x
?
?

2

展开成 x 的幂级数,并指出收敛域。
1 2? x
n

解: f ( x ) ?

1 1? x

2? x? x

2

?

?

1 1? x

?

1

1

2 1? x /2
n

(4 分)

?

?

?

x ?
n

1

n?0

n ? x ? ? ( ? 1) ? 2 ? ? 2 n?0 ? ?

?

?

n?0

? ( ? 1) ? n x ?1 ? n ?1 ? 2 ? ?

(6 分) (8 分)

收敛域为 ( ? 1,1) 。
x

4、设 y ? y ( x ) 满足方程 y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? 2 e ,且其图形在点 ( 0 , 1) 与曲线 y ? x ? x ? 1
2

相切,求函数 y ( x ) 。 解:由条件知 y ? y ( x ) 满足 y ( 0 ) ? 1,
2

y ?( 0 ) ? ? 1
x

(2 分)
2x

由特征方程 r ? 3 r ? 2 ? 0 ? r1 ? 1, r2 ? 2 ,对应齐次方程的通解 Y ? C 1 e ? C 2 e

(4 分) 设特解为 y ? Axe
* x

,其中 A 为待定常数,代入方程,得 A ? ? 2 ? y ? ? 2 xe
x 2x

*

x

从而得通解 y ? C 1 e ? C 2 e 最后得 y ( x ) ? (1 ? 2 x ) e
x

? 2 xe

x

,代入初始条件得 C 1 ? 1, C 2 ? 0

(6 分) (8 分)

第 4 页, 共 2 页

5、计算 ?
L

ds x
2

? y

2

? z

2

,其中 L 是螺旋线 x ? 8 cos t , y ? 8 sin t , z ? t 对应 0 ? t ? 2? 的

弧段。 解: ds ?
x t? ? y t? ? z t? dt ?
2 2 2

65 dt

(4 分)

?
L

ds x ? y ? z
2 2 2

2?

?

65

?
0

dt 8 ?t
2 2

(6 分)

?

65 8

? a rc ta n

t 8

2? 0

(7 分)

?

65 8

(8 分)

四、计算题(每题 10 分,总计 20 分) 1、计算 ??? z dv ,其中 ? 由不等式 z ?
?
?
2? 4 2

x

2

? y

2

及1 ? x ? y ? z

2

2

2

? 4 所确定。

解: ???
?

z dv ?

?
0

d?

?
0

d ? ? r c o s ? r sin ? d r
2 1

(4 分)

?
4 2 3

? 2?

? sin ? c o s ? d ? ? r d r
0 1

(6 分)

?

?1 4? ? ? s in 2 ? d 2 ? ? ? 4 r ? 2 0 ? ?1
? 15 8

?

4

2

(8 分) (10 分)

?
2

2、 计算 ??
?

axdydz x

? ( z ? a ) dxdy
2

, 其中 ? 为下半球面 z ? ? a ? x ? y

2

2

2

的下侧,a 为

? y

2

? z

2

大于零的常数。 解:取 ? xoy 为 xoy 面上的圆盘 x ? y
2 2

? a ,方向取上侧,则

2

(2 分)

??
?

axdydz ? ( z ? a ) dxdy
2

?

1 a

x ? y ? z
2 2

2

?? a x d y d z ? ( z ? a )
?

2

dxdy

(4 分)

第 5 页, 共 2 页

?

1 ? 2 ? ? axdydz ? ( z ? a ) dxdy ? ?? a ???? xo y ?
? 1 ? 2 ? ??? ( 2 z ? 3 a ) d v ? a ?? d x d y ? a ? ? ? D xy ? ?
?
a

??
? xo y

? 2 axdydz ? ( z ? a ) dxdy ? ? ?

(6 分)

?

(8 分)

? 2? 1 ? ? 2 ? d? a ? 0 ? ?
? 1 ? ? 4? a ? ? ?

?

? d? ?
0 2

? ? r c o s ? r s in ? d ? ? 3 a ? a ? a ? a ? 3 ? ?
2

2

3

2

2

?

a

?

? c o s ? s in ? d ? ?
0 2

? ? r dr ? ? a ? ? ?
3 4

(9 分)

1 ? ? a ? ?? a ? 2

4

? 1 4 3 ?? a ? ? ? a 2 ?

(10 分)

第 6 页, 共 2 页


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