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河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题


河南省中原名校 2016 届高三上学期第一次联考 数学(理)试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1、已知 A.

? ? y ? R y ? x2

?

? , ? ? ?x ? R x
B.

>2

? y2 ? 2
C.

? ,则 ? ? ? ? (

2



?? ?1,1? , ?1,1??
2

?1?

?0,1?

D. ?

?0, 2 ? ?

2、命题“ ?x ? ? ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是( A. ?x ? ? ,使 x ? 2 x ? m ? 0
2

B.不存在 x ? ? ,使 x ? 2 x ? m ? 0 D.对 ?x ? ? ,使 x ? 2 x ? m ? 0
2

C.对 ?x ? ? ,使 x ? 2 x ? m ? 0
2

??? ? ??? ? ???? ??? C ? D ? 2DC D 3、在 中,若点 满足 ,则 ?D ? (
? 2 ??? ? 1 ??? ?C ? ?? 3 A. 3 ? 2 ??? ? 5 ??? ?? ? ?C 3 B. 3



? 1 ??? ? 2 ??? ?C ? ?? 3 C. 3

? 1 ??? ? 2 ??? ?C ? ?? 3 D. 3

4、为了纪念抗日战争胜利 70 周年,从甲、乙、丙等 5 名候选民警中选 2 名作为阅兵安保人 员,为 9 月 3 号的阅兵提供安保服务,则甲、乙、丙中有 2 个被选中的概率为( )

3 A. 10
5、函数

1 B. 10

3 C. 20

1 D. 20


f ? x ? ? 1 ? log2 x



g ? x ? ? 21?x

在同一直角坐标系下的图象大致是(

A. 6、设 则

B.

C. ,

D. , ??? ,

f0 ? x ? ? cos x




f1 ? x ? ? f0? ? x ?

f2 ? x ? ? f1?? x ?

fn?1 ? x ? ? fn? ? x ?

,n?? ,

?

f2016 ? x ? ?

) B. cos x C. ? sin x D. ? cos x

A. sin x

y?
7、由曲线

1 1 x? x ,直线 2 , x ? 2 及 x 轴所围成图形的面积是(



1 ln 2 A. 2
8 、 已 知 集 合

B. 2 ln 2

15 C. 4

17 D. 4

? ? ?a, b, c? 0 ? c



? ? ??1,0,1?

, 从 ? 到 ? 的 映 射 f 满 足 ) C. 4 D. 2

f

? ? ? f ?a ? ? ?f ? b

,那么映射 f 的个数为( B. 5

A. 7 9、 若函数 A. C.

f ? x? g ? x?


分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 B. D.

f ? x ? ? g ? x ? ? ex

, 则 (



g ? 0? ? f ? 2? ? f ?3? f ? 2? ? g ? 0? ? f ?3?

g ? 0? ? f ?3? ? f ? 2? f ? 2? ? f ?3? ? g ? 0?

10、 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为( )

67 A. 66 升

47 B. 44 升

2

37 C. 33 升
? 4 m ?3

D. 1 升

11、下列命题中是假命题的是(

f ? x ? ? ? m ? 1? ? x m ? m ? R A. ,使

是幂函数,且在

?0, ??? 上递减

1? ? f ? x ? ? lg ? x 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? 4 ? 的值域为 R ,则 a ? ?6 或 a ? 0 ? B.函数
C.关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根的充要条件是 a ? 1
2

D.函数

y ? f ? a ? x?

与函数

y ? f ? a ? x?

的图象关于直线 x ? a 对称 的定义域是 ) D. 0

12、设 m , n ? ? ,已知函数 函数

f ? x ? ? log 2 ? ? x ? 4 ?

?m, n? ,值域是 ?0, 2? ,若

g ? x? ? 2

x ?1

? m ?1

有唯一的零点,则 m ? n ? ( B. ?2 C. 1

A. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、已知集合 的集合为
a b

? ? ? x ax ? 1 ? 0?




? ? ??1,1?

,若 ? ? ? ? ? ,则实数 a 的所有可能取值

1 1 ? ?2 14、若 2 ? 5 ? m ,且 a b ,则 m ?



15、已知点 为

? ? ?1,1?




? ?1, 2 ?
2



C ? ?2, ?1?



D ?3,4?

? ??? ? ??? CD ?? ,则向量 在 方向上的投影

16、已知函数

f ? x ? ? ? x 2 ? 1? ? x 2 ? 1 ? k

,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得函数恰有 2 个不同的零点; ②存在实数 k ,使得函数恰有 4 个不同的零点; ③存在实数 k ,使得函数恰有 5 个不同的零点; ④存在实数 k ,使得函数恰有 8 个不同的零点. 其中真命题的序号是 (把你认为正确的序号全写上) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

1 ? ? f ? x ? ? lg ? ax 2 ? x ? a ? p: 16 ? 的定义域为 R ; ? 17、 (本小题满分 10 分) 设命题 函数 命题 q :
不等式 3 ? 9 ? a 对一切正实数 x 均成立.
x x

? ? ? 如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; ? ?? ? 如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

18 、 (本小题满分 12 分)已知二次函数

y ? f ? x?

的图象经过坐标原点,其导函数为

f ? ? x ? ? 6x ? 2
图象上.

.数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, Sn ? ( n ? ?? )均在函数 y ? f ? x? 的

? ? ? 求数列 ?an ? 的通项公式;
3 m ? ? ? ?? ? 设 an an?1 , ?n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 n 2016 对所有的 n ? ?? 都成 立的最小正整数 m . bn ?

19、 (本小题满分 12 分)在 ??? C 中,角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c ,已知向量

? m ? ? cos ?,cos ??



? n ? ? a, 2c ? b ?

,且 m //n .

? ?

? ? ? 求角 ? 的大小; ? ?? ? 若 a ? 4 ,求 ???C 面积的最大值.

20、 (本小题满分 12 分)为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题,中原名校联谊会准 备援建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) ,设该蓄水池底面半径为 r 米,高 h 米,体积 为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建 造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000? 元( ? 为圆周率) .

? ? ? 将 V 表示成 r 的函数 V ? r ? ,并求函数的定义域; ? ?? ? 讨论函数 V ? r ? 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

21 、 (本小题满分 12 分)已知

f ? x?

是定义在

??1,1? 上的奇函数,且 f ?1? ? 1 ,若 a ,

f ? a ? ? f ?b ? ?0 b ???1,1? a ? b ? 0 a?b , 时,有 成立.

? ? ? 判断 f ? x ? 在 ??1,1? 上的单调性,并证明;

1? ? f ?x? ?? ? ?? ? 解不等式: ? 2 ?

? 1 ? f? ? ? x ?1 ? ;

? ??? ? 若 f ? x? ? m2 ? 2am ?1 对所有的 a ???1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22、 (本小题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? ln ? 2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax 3 ( a?R ) .

? ? ? 若 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; ? ?? ? 若 y ? f ? x? 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
1 ?1 ? x ? ? b a ? ? y ? f 1 ? x ? ? ? ? ??? ? 当 2 时,函数 3 x 有零点,求实数 b 的最大值.
3

河南省中原名校 2016 届高三上学期第一次联考 数学(理)试题参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求. DDDAC BBAAA DC 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

(13)

??1,0,1?

(14)

10

3 2 (15) 2

(16) ①②③④

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17) (本题满分 10 分)

p 解: (Ⅰ)由题意,若命题 为真,则

ax 2 ? x ?

1 a?0 16 对任意实数 x 恒成立.

若 a ? 0, 显然不成立;……………………………….2 分

?a ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ? a 2 ? 0, ? a ? 0, 4 若 则? 解得 a ? 2, ……………………………….4 分
故命题

p 为真命题时, a 的取值范围为 ? 2, ??? . ……………………………….5 分
x x

q (Ⅱ)若命题 为真,则 3 ? 9 ? a 对一切正实数 x 恒成立.

1 1 3x ? 9 x ? ?(3x ? ) 2 ? . 2 4 而
x (3 ? 9 ) ? ? ??,0? 因为 x ? 0 ,所以 3 ? 1 ,所以 ,因此 a ? 0

x

x

故命题 为真命题时, a ? 0 .……………………………….7 分 又因为命题

q

p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,即命题 p 与 q 一真一假.

?a ? 2 ? a ? 0 解得 a ? ? ……………………………….9 分 p q 若 真 假,则 ? ?a ? 2 ? a ? 0 解得 0 ? a ? 2 ……………………………….11 分 p q 若 假 真,则 ?
综上所述,满足题意得实数 a 的取值范围为 (18) (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 依题意可设二次函数 f ( x) ? ax ? bx (a ? 0) 则 f ( x) ? 2ax ? b
2 '

?0, 2? ……………………………….12 分

? f ' ( x) ? 6x ? 2, a ? 3, b ? ?2,? f ( x) ? 3x2 ? 2x . …………………2 分


(n, Sn ) (n ? N * ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,

? Sn ? 3n2 ? 2n …………………3 分
当 n ? 2 时, 当 n ?1时
2 an ? S n ? S n ?1 ? 3n 2 ? 2n ? ? ?3(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? ? 6n ? 5

………………5 分

a1 ? 1 也适合,?an ? 6n ? 5. (n ? N * ) ………………………6 分
bn ? 3 3 1 1 1 ? ? ( ? ). an an?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

………7 分

Tn ?


1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? ) ? ? (1 ? ). ? 2? 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 6n ? 1 …………………9 分

1 1 m 1 m (1 ? )? (n ? N * ) ? 6n ? 1 2016 因此,要使 2 成立, m 必须且仅需满足 2 2016 ……11 分

1008 ………………………12 分 即 m ? 1008,?满足要求的最小正整数m为
(19) (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 m // n ,所以 acos B-(2c-b)cos A=0,由正弦定理得 sin Acos B-(2sin C-sin B)cos A=0,……… 2 分 所以 sin Acos B-2sin Ccos A+sin Bcos A=0, 即 sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A, 所以 sin(A+B)=2sin Ccos A. 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin Ccos A,……… 4 分 因为 0<C<π,所以 sin C>0, 1 π 所以 cos A=2,又 0<A<π,所以 A=3……… 6 分 (Ⅱ)由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,……… 8 分 所以 16=b2+c2-bc≥bc,所以 bc≤16, 当且仅当 b=c=4 时,上式取“=”,……… 10 分 1 所以 ?ABC 面积为 S=2bcsin A≤4 3, 所以 ?ABC 面积的最大值为 4 3.……… 12 分 (20) (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵蓄水池的侧面积的建造成本为 100 ? 2? rh ? 200? rh 元, 底面积成本为 160? r 元,
2

u r

r

∴蓄水池的总建造成本为 (200? rh ? 160? r )
2
2 即 200? rh ? 160? r ? 12000?

h?
∴h=

1 (300 ? 4r 2 ) 5r

1 ? (300 ? 4r 2 ) 3 ∴ V (r ) ? ? r h ? ? r ? 5r = 5 (300r ? 4r ) ………………………4 分
2
2

又由 r ? 0 , h ? 0 可得 0 ? r ? 5 3 故函数 V (r ) 的定义域为 (0,5 3) ………………………6 分

V (r ) ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)中

?

3 53 5 (300r ? 4 r ) , (0 ? r ?



? 2 53 可得 V (r ) ? 5 (300 ? 12r ) , (0 ? r ?
' '



? 2 ∵令 V (r ) = 5 (300 ? 12r ) ? 0 ,则 r ? 5 ………………………8 分
∴当 r ? (0,5) 时, V (r ) ? 0 ,函数 V (r ) 为增函数.
'

当 r ? (0,5 3) 时, V (r ) ? 0 ,函数 V (r ) 为减函数
'

且当 r ? 5, h ? 8 时该蓄水池的体积最大. . ………………………12 分 (21) (本题满分 12 分)

??1,1? 上为增函数,证明如下: 解: (Ⅰ) f ( x ) 在
设任意

x1 , x2 ???1,1? ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f (? x2 ) f (a ) ? f (b) ?0 ?0 a ? x b ? ? x x ? ( ? x ) a ? b 1 2 1 2 在 中令 , ,可得 ,

f (? x2 ) ? ? f ( x2 ) , 又∵ f ( x ) 是奇函数,得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ∴ .∵ 1


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

??1,1? 上为增函数……………4 分 故 f ( x) 在 ??1,1? 上为增函数, (Ⅱ)∵ f ( x ) 在
1 1 f (x ? ) ? f ( ) 2 x ? 1 ,即 ∴不等式

?1 ? x ?

1 1 ? ?1 2 x ?1

? 3 ? x ? ? ? , ?1? ? 2 ? ,即为原不等式的解集;……………8 分 解之得

??1,1? 上为增函数,且最大值为 f (1) ? 1 , (Ⅲ)由(I) ,得 f ( x ) 在
a ???1,1? 因此,若 f ( x) ? m ? 2am ? 1 对所有的 恒成立,
2

m2 ? 2am ? 1 ? 1对所有的 a ???1,1? 恒成立,

a ???1,1? 设 g (a) ? ?2ma ? m ? 0 对所有的 恒成立………………………10 分
2

若 m ? 0 则 g (a) ? 0 ? 0 对

a ???1,1?

恒成立 恒成立必须

若 m ? 0 若 g (a) ? 0 对所有的

a ???1,1?

g (?1) ? 0 且 g (1) ? 0 , m ? ?2 或 m ? 2
综上: m 的取值范围是 m ? 0或m ? ?2 或 m ? 2 ………………………12 分 (22) (本题满分 12 分) ' 2a 解: (Ⅰ) f ( x) ? +x2-2x-2a 2ax+1 x[2ax2+? 1 -4a? - x ? 4a2 +2? ] = . 2ax+1 因为 x=2 为 f ( x ) 的极值点,所以 f′(2)=0, 2a 即 -2a=0,解得 a=0. 4a+1 ……… 2 分

(Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在区间[3,+∞)上为增函数,
' x[2ax2+? 1 -4a? - x ? 4a2 +2? ] 所以 f ( x) ? ≥0 在区间[3,+∞)上恒成立.……… 3 分 2ax+1 ' ①当 a=0 时, f ( x) ? x(x-2)≥0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f ( x ) 在[3,+∞)上为增函数,

故 a=0 符合题意.

……… 5 分

②当 a≠0 时,由函数 f ( x ) 的定义域可知,必须有 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,故只能 a>0, 所以 2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)≥0 在[3,+∞)上恒成立. 1 令函数 g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2),其对称轴为 x=1-4a, 1 因为 a>0,所以 1-4a<1,要使 g(x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g(3)≥0 即可,即 g(3)=- 4a2+6a+1≥0, 3- 13 3+ 13 所以 4 ≤a≤ 4 . 3+ 13 因为 a>0,所以 0<a≤ 4 .

? 3+ 13? 综上所述,a 的取值范围为?0, ? ……… 7 分 4 ? ?
1 (Ⅲ)当 a=-2时,函数

y ? f (1 ? x) ?

(1 ? x) 3 b ? -x? 3 3 x 有零点等价于方程 f(1-x)=? 1 3

? 1 -x? 3 b b b + x 有实根,f(1-x)= + x 可化为 ln x-(1-x)2+(1-x)= x . 3 问题转化为 b=xln x-x(1-x)2+x(1-x)=xln x+x2-x3 在(0,+∞)上有解,即求函数 g(x) =xln x+x2-x3 的值域. ……… 8 分 因为函数 g(x)=x(ln x+x-x2),令函数 h(x)=ln x+x-x2(x>0),
' ? 2x +1? ?- 1x? 1 则 h ( x) ? x +1-2x= , x

所以当 0<x<1 时, h ( x) >0,从而函数 h(x)在(0,1)上为增函数,当 x>1 时, h ( x) <0,从而函 数 h(x)在(1,+∞)上为减函数, 因此 h(x)≤h(1)=0. ……… 10 分 而 x>0,所以 b=x·h(x)≤0, 因此当 x=1 时,b 取得最大值 0. ……… 12 分

'

'


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