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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:3.1.2 复数的几何意义]


选修 2-2

第三章

3.1

3.1.2

一、选择题 → → 1.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数为( A.0 C.-3i [答案] C → [解析] 由OZ=(0,-3),得点 Z 的坐标为(0,-3), → ∴OZ对应的复数为 0-3i=-3i.故选 C. 2.已知 z1=5+3i,

z2=5+4i,则下列各式正确的是( A.z1>z2 C.|z1|>|z2| [答案] D [解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小,排除选项 A,B. 又|z1|= 52+32,|z2|= 52+42, ∴|z1|<|z2|. 故选 D. → 3.在复平面内,O 为原点,向量OA对应复数为-1-2i,若点 A 关于直线 y=-x 的对 → 称点为 B,则向量OB对应复数为( A.-2-i C.1+2i [答案] B [解析] 由题意知 A 点坐标为(-1,-2),而点 B 与点 A 关于直线 y=-x 对称,则 B → 点坐标为(2,1),所以向量OB对应复数为 2+i.故应选 B. 4.在复平面内,复数 6+5i、-2+3i 对应的点分别为 A、B.若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i [答案] C 6-2 5+3 [解析] 由题意知 A(6,5),B(-2,3),AB 中点 C(x,y),则 x= =2,y= =4, 2 2 ) B.8+2i D.4+i ) B.2+i D.-1+2i B.z1<z2 D.|z1|<|z2| ) ) B.-3 D.3

∴点 C 对应的复数为 2+4i,故选 C. 5.复数 1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( α A.2cos 2 α C.2sin 2 [答案] B [解析] 所求复数的模为 ?1+cosα?2+sin2α= 2+2cosα= π α ∵π<α<2π,∴ < <π, 2 2 α ∴cos <0, 2 ∴ α α 4cos2 =-2cos . 2 2 ) α 4cos2 , 2 ) α B.-2cos 2 α D.-2sin 2

6.复数 z=-2(sin100° -icos100° )在复平面内所对应的点 Z 位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] z=-2sin100° +2icos100° . ∵-2sin100° <0,2cos100° <0, ∴点 Z 在第三象限.故应选 C. 二、填空题 B.第二象限 D.第四象限

7.(2013· 湖北文,11)i 为虚数单位,设复数 z1、z2 在复平面内对应的点关于原点对称, 若 z1=2-3i,则 z2=________. [答案] -2+3i [解析] ∵z1=2-3i,∴z1 对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3). ∴z2=-2+3i. 8.复数 3-5i、1-i 和-2+ai 在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数 a 的值为 ________. [答案] 5 [解析] 复数 3-5i,1-i 和-2+ai 在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(- -1-?-5? a-?-1? 2,a),所以由三点共线的条件可得 = .解得 a=5. 1-3 -2-1 9.若复数 z=(m2-9)+(m2+2m-3)i 是纯虚数,其中 m∈R,则|z|=________. [答案] 12

[解析]

2 ? ?m +2m-3≠0 由条件知? 2 , ?m -9=0 ?

∴m=3,∴z=12i,∴|z|=12. 三、解答题 10.实数 m 分别取什么数值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i 是: (1)对应点在 x 轴上方; (2)对应点在直线 x+y+5=0 上. [解析] (1)由 m2-2m-15>0,得知 m<-3 或 m>5 时,z 的对应点在 x 轴上方; (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得知: -3- 41 -3+ 41 m= 或 m= , 4 4 z 的对应点在直线 x+y+5=0 上.

一、选择题 11.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i 对应的点在虚轴上,则实数 m 的值是( A.-1 C.-1 和 4 [答案] C [解析] 由 m2-3m-4=0 得 m=4 或-1,故选 C. [点评] 复数 z=a+bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和 z 为纯虚数应加以区别.虚轴上包括 原点,切勿错误的以为虚轴不包括原点. 12.下列命题中,假命题是( A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数 z1>z2 的充要条件是|z1|>|z2| [答案] D [解析] ①任意复数 z=a+bi(a、b∈R)的模|z|= a2+b2≥0 总成立.∴A 正确;
? ?a=0 ②由复数相等的条件 z=0?? ?|z|=0,故 B 正确; ?b=0 ?

)

B.4 D.-1 和 6

)

③若 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、b1、a2、b2∈R), 若 z1=z2,则有 a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2|. 反之由|z1|=|z2|,推不出 z1=z2, 如 z1=1+3i,z2=1-3i 时|z1|=|z2|,故 C 正确;

④不全为零的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,∴D 错. 13.已知复数 z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线 x-3y+4=0 上,则复数 z2=a+2i 对应 的点在( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 [答案] B

[解析] 复数 z1=2-ai 对应的点为(2,-a),它在直线 x-3y+4=0 上,故 2+3a+4 =0,解得 a=-2,于是复数 z2=-2+2i,它对应的点在第二象限,故选 B. 14.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A.(1,5) C.(1, 5) [答案] C [解析] 由已知,得|z|= a2+1. 由 0<a<2,得 0<a2<4, ∴1<a2+1<5. ∴|z|= a2+1∈(1, 5). 故选 C. 二、填空题 15.已知复数 z1=-1+2i、z2=1-i、z3=3-2i,它们所对应的点分别是 A、B、C,若 O C =x O A +y O B (x、y∈R),则 x+y 的值是________________. [答案] 5 [解析] 由复数的几何意义可知, B.(1,3) D.(1, 3) )







→ → → O C =xOA+yOB,
即 3-2i=x(-1+2i)+y(1-i), ∴3-2i=(y-x)+(2x-y)i, 由复数相等可得,
? ? ?y-x=3, ?x=1, ? 解得? ?2x-y=-2, ? ? ?y=4.

∴x+y=5. 16.设(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线 x+y+1=0 上,则 tanθ 的值为________. [答案] 1 2

[解析] 由题意,得 sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,

1 ∴tanθ= . 2 三、解答题 17.(2014· 山东鱼台一中高二期中)已知复数 z=m(m-1)+(m2+2m-3)i(m∈R). (1)若 z 是实数,求 m 的值; (2)若 z 是纯虚数,求 m 的值; (3)若在复平面 C 内,z 所对应的点在第四象限,求 m 的取值范围. [解析] (1)∵z 为实数,∴m2+2m-3=0,解得 m=-3 或 m=1.
? ?m?m-1?=0, (2)∵z 为纯虚数,∴? 2 解得 m=0. ? ?m +2m-3≠0.

(3)∵z 所对应的点在第四象限,
? ?m?m-1?>0, ∴? 2 解得-3<m<0. ?m +2m-3<0. ?

*18.已知复数 z1=1+cosθ+isinθ,z2=1-sinθ+icosθ,且两数的模的平方和不小于 2, 求 θ 的取值范围. [解析] 由已知得, |z1|2=(1+cosθ)2+sin2θ=2+2cosθ, |z2|2=(1-sinθ)2+cos2θ=2-2sinθ. |z1|2+|z2|2≥2, 即 2+2cosθ+2-2sinθ≥2, cosθ-sinθ≥-1, π - 2 cos(θ+ )≥ , 4 2 π 所以 2kπ-π≤θ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 π 所以 θ 的取值范围是[2kπ-π,2kπ+ ],k∈Z. 2


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