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数学建模2010C题论文+评阅要点+题目


2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
(请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范” )

C 题 输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送 成品油。 由于这种模式具有一定的普遍性, 油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数 学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形, 提出你的设计方案。 在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所 示,其中 A 厂位于郊区(图中的 I 区域),B 厂位于城区(图中的 II 区域),两个区域的 分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离(单位:千米)分别为 a = 5,b = 8,c = 15,l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程 补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲 级资质,公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示: 工程咨询公司 附加费用(万元/千米) 公司一 21 公司二 24 公司三 20

请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

1

3. 在该实际问题中,为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的 油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元,输送 B 厂成品 油的每千米 6.0 万元,共用管线费用为每千米 7.2 万元,拆迁等附加费用同上。请给出管线 最佳布置方案及相应的费用。

2

2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题评阅要点
[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。

(1) 如图 1,设 P 的坐标为(x, y) (x ≥ 0,y ≥ 0),共用管道的费用为非共用管道的 k 倍,模型 可归结为

min f ( x, y ) = ky + x 2 + ( a ? y ) 2 + (c ? x) 2 + (b ? y ) 2

图1 只需考虑1 ≤ k < 2 的情形。对上述二元费用函数求最小值可得(不妨假设 a ≤ b ) (a) 当 c ≤

4 ? k2 * 2 2 (b ? a ) 时, P = (0, a ) , f min = (b ? a) + c + ka ; k

(b) 当

4 ? k2 (b ? a ) < c < k

4 ? k2 (b + a) 时, k

? 4?k2 ? 1 c 1 k 2 P* = ? (a ? b) + , (a + b ? c ) ? , f min = ( a + b ) k + 4 ? k c ; 2 ? 2k ? 2 2 2 4?k ? ?
(c) 当 c ≥

(

)

ac 4?k2 * ,0) , f min = ( a + b) 2 + c 2 。 (b + a ) 时, P = ( a+b k

对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令 k = 1。 本小题的评阅应注意模型的正确性,结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况,模型将做以下变更: (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质,用加权平均 的方法得出费用的估计值。注意:公司一的权值应大于公司二和公司三的权值,公司二和公 司三的权值应相等。 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为 Q,Q 到铁路线的距离为 z(参见图 2) 。

3

图2 一般情况下,连接炼油厂 A 和点 Q 到铁路线的输油管最优布置应取上述(1)(b)的结果, 因此管道总费用最省的数学模型成为

min g ( z ) =

1 (a + z + 3 c) + t ? (b ? z ) 2 + (l ? c) 2 2

其中 t 表示城乡建设费用的比值。 当 z* = b ?

l ?c 4t 2 ? 1

时, g (z ) 取得最小值

g ( z*) =

1 ( a + b + 3 c + 4t 2 ? 1 (l ? c)) 。 2

若在建立正确的模型后,用优化软件进行数值求解也是可取的。 两种极端情形:当权重取为 1:1:1 时, 点坐标为(5.4462,1.8556), 点坐标为 (15.0000, P Q 7.3715),最小费用为 283.5373 万元。当权重取为 1:0:0 时,P 点坐标为(5.4593,1.8481),Q 点坐标为 (15.0000, 7.3564),最小费用为 280.1771 万元。 最终的答案依赖于权重的不同取值,但最小费用应介于 280.1771 万元和 283.5373 万元 之间。 (3) 考虑各部分管道费率不等的情况。 分别用 k1 , k 2 , k 3 , k 4 记 AP、PQ、PH、BQ 段管道的费率,并设 P 和 Q 点的坐标分别为 (x, y)、(c,z) (如图 3 所示),则总费用的表达式为

F (x, y, z) = k1 x 2 + (a ? y ) 2 + k 2 (c ? x) 2 + ( z ? y ) 2 + k 3 y + k 4 (l ? c) 2 + (b ? z ) 2

4

图3 可以写出 F 的最优解的解析表达式,也可以用数值求解的方法得到比较精确的结果。 两 种 极 端 情 形: 当 权 重取 为 1:1:1 时 ,P 点 坐标 为 (6.7310,0.1409),Q 点 坐 标为 (15.0000,7.2839), 最小费用为 252.8104 万元。 当权重取为 1:0:0 时, 点坐标为(6.7424,0.1327), P Q 点坐标为 (15.0000, 7.2659),最小费用为 249.4422 万元。 最终的答案依赖于权重的不同取值,但最小费用应介于 249.4422 万元和 252.8104 万元 之间。 注:评阅时,(2)、(3)两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。

5

输油管线的优化布置
摘 要: 铁路一侧建两家炼油厂, 合建输油管线而达到费用最省的设计模式, 具 有一定的普遍性. 利用多元函数极值模型, 从管线长度和角度两方面进行分析: 对问题一: 考虑共用管线与非共用管线费用相同或不同的情形分为: 1. 所 有管线费用相同; 2. 共用管线与非共用管线费用不同, 但非共用管线费用相同; 3. 共用管线与非公用管线费用不同,两条非公用管线的费用也不同. 对上述三种情况从管线长度和角度进行分析得到了较好的结果: 情况 1, x =
l 3 a+b 3 π ? l ; α1 = α 2 = ; ? (b ? a ) , y = 2 2 2 6 3

情况 2, x =

l 4 ? k2 a+b k k ? ? l , α1 = α 2 = arccos ; (b ? a ) , y = 2 2k 2 2 2 4? k2
w w , sin α 2 = , 其中w = 2k12 k22 + 2k12 k32 + 2k22 k32 ? k14 ? k24 ? k34 . 2k1k3 2k2 k3

情况3, sin α1 =

角度上的分析不仅使这种情况有统一的模型, 并且清晰的量化了管线的费 用系数对角度的影响. 也更加直观的理解是否需要建立共用管线的条件和运输 管线交点 P 的位置情况. 对问题二 : 首先比较了三家工程咨询公司的资质和估算值, 选择具有甲级 资质的公司一(估算值 21 万元/千米), 本问题是一个三元函数极值问题, 用
matlab 求解得 x = 5.4593,

y = 1.8481, z = 7.3564 时, 有最省费用为 280.1771 万

元. 对问题三 : 与问题二相似, 选择具有甲级资质的公司一, 利用三元函数极 值的方法, 结合 matlab 求解得 x = 6.7424; y = 0.1327; z = 7.2659 时, 同时有最 省费用为 249.4650 万元.

关键词: 多元函数; 极值; 优化

6

一、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂, 同时在铁路线上增建一个车站, 用来运送成品油. 由于这种模式具有一定的普遍性, 需要解决以下三个问题. 问题一, 针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离提出不同的方 案, 并要求若有共用管线, 要考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同 的情形. 问题二, 题目要求我们需对一更为复杂的情形进行具体的分析和设计, 并 且两炼油厂分别在郊区和城区. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等 附加费用, 聘请三家工程咨询公司 (其中公司一具有甲级资质, 公司二和公司三 具有乙级资质) 对此项附加费用进行估计进行了估算. 具体数据见题表, 得出具 体方案和计算出相关费用. 问题三, 为进一步节省费用, 根据炼油厂的生产能力, 选用相适应的油管, 降低管线费用, 得出的具体方案和计算出费用.

二、问题分析
问题一, 考虑到共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形, 分为 以下几种情况: 情况 1, 共用费用与非共用管线费用均相同, 讨论是否需要建立共用管线, 在需要建立共用管线的情况下, 共用管线与非共用管线的分叉点的位置, 它们 与 a, b, l 取值的关系; 情况 2, 两条非共用管线费用相同, 但是共用管线费用与非共用管线费用 不同非共用管线与共用管线在单位长度上的费用的比例为 k (1 < k < 2) ; 情况 3, 共用管线与非公用管线费用不相同, 以及两条非共用管线费用也 不 相 同 , 两 条 非 共 用 管 线 费 用 与 共 用 管 线 费 用 的 比 值 为 k1 : k2 : k3 , k1 < k3 , k2 < k3 , k3 < k1 + k2 ; 建立模型并分析影响 P 点坐标值的因素; 得到最优 方案. 问题二、 三, 首先对三家工程咨询公司进行比较, 选出较优的公司, 建立三 元函数, 找出极值点, 最后算出最省费用.

三、模型假设与符号说明
模型假设 1. 假设只考虑管线费用和附加费用, 不考虑管线拐弯和分叉的费用; 2. 假设炼油厂 A 比炼油厂 B 距离铁路近; 3. 假设不考虑铺设管线线路的地势和地形的变化. 符号说明
A, B : 分别表示铁路线一侧两个炼油厂的位置;

7

P : 表示共用和非共用管线的交叉点;

L1 , L2 : 分别表示 AP , BP 的长度; f i : 表示第 i 种情况下, 铺设管线的总费用 ( i = 1, 2,3) ; M : 表示城区和郊区的输油管线费用不同的情况下的总费用; N : 表示在共用管线和非共用管线, 以及城区和郊区管线费用都不同的情况下 的总费用; S : 表示车站的位置; a : 表示 A 厂到铁路的距离; b : 表示 B 厂到铁路的距离; l : 表示 A 、 B 两个厂之间铁路的距离;
x1 , x2 : 分别表示 PE , PF 的长度;

y1 , y2 : 分别表示 AE , BF 的长度;

α1 : 表示过 A 点的管线与 y 轴的夹角; α 2 : 表示过 B 点的管线与 BF 的夹角;
k : 表示当共用和非共用管线费用不同, 但两个厂非共用管线费用相同时, 共 用和非共用管线费用的比值; k1 , k2 , k3 : 分别表示在所有管线费用都不同的情况下, 在 AP , PB , PS 管线上的

费用的相对值;

四、模型的建立与求解
4.1 问题一的模型 根据题目可知, 两个炼油厂建在铁路的一侧, 针对共用管线与非共用管线费 用是否相同, 共分为以下三种情况进行讨论: 4.1.1 共用管线费用和非共用管线费用均相同 以铁路线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系, 取一点 P ( x, y ) , 连接 AP , BP . 从 P 点向 x 轴引一条垂线, 交点为 S , 记 S 点就是车站. 如图 1,
y

B

L2
A L1 y1 α1 x1 E

α2
y2

P

x2

F D
x

C

S

,
8

由于铺设所有管线的费用相同, 为了计算方便设为 1, 建立模型:

f1 ( x, y ) = AP + BP + PS
则在此情况下, 铺设管线费用为,

f1 ( x, y ) =
用 matlab 求解方程组:

(a ? y)

2

+ x2 +

(b ? y ) + (l ? x )
2

2

+y

? 2 × (l ? x ) 1 2x 1 ? × =0 ? f1x′ = × 2 2 2 2 2 2 x + (a ? y) b ? y ) + (l ? x) ? ( ? ? 2 × (b ? y ) ? f ′ = ? 1 × 2(a ? y) ? 1 × +1 = 0 ? 1y 2 2 2 2 2 x2 + ( a ? y ) b ? y ) + (l ? x ) ( ? ?
? l 3 (b ? a ) ?x = ± ? 2 2 得? ?y = a +b ± 3 l ? 2 6 ?

运用多元函数求极值判断方法和结合实际问题, 得 x =
y=

l 3 ? (b ? a ) , 2 2

?l a+b 3 3 ? l . 即 P 点的坐标为 ? ? ? 2 2 (b ? a ) , 2 6 ?

a+b 3 ? ? l? ? 2 6 ?

这里对解的结果分情况进行讨论:
1. 当 y < 0 时 , 不需要建共用管线 , 这时需要所铺设的管线总长度最短 , 过
A 点作关于
, 连 接 AS . 此 时 a x AS + BS (即铺设的管线)是最短的, 具体如图 2 所示, 根据相似三角形有 = , b l?x

x轴的对称点

A′ , 连 接 A ' B 交

x轴于点 S

所以可以求得 x =

al ? al ? , 所以车站建在铁路线上 S ? , 0 ? 点处. a+b ? a+b ?
y
B

A
S
A'

x

2. y > 0 时, 需要建共用管线:
9

( 1 ) 当 x > 0 时 , 共 用 管 线 与 非 共 用 管 线 的 分 叉 点 P ( x, y ) , 其 中
x=

?l ? l 3 a+b 3 3 ? ? l ,车站建在 S ? ? (b ? a ) , y = ? 2 2 ( b ? a ) , 0 ? 处. ? 2 2 2 6 ? ?

(2)当 x < 0 时, 就是 P 点位于 y 轴的左侧, 这样连接 BP 有可能与 y 轴的交 点在 A 点上面, 这样使得所铺的管线就越长, 耗用的费用就越大, 所以这时将车 站建在 C 点处(即坐标原点), A 点为共用管线与非共用管线的分叉点, BA 为 非共用管线, AC 为共用管线. 为进一步分析上面“ y < 0 ”和“ x < 0 ”出现的结果的原因, 我们从管线 AP 、
BP 与 y 轴的角度关系来进行验证和分析. 1 2x 1 令 f1x′ = × ? × 2 2 2 x2 + ( a ? y ) 2 × (l ? x)

(b ? y ) + (l ? x )
2

2

=0



x1 x2 = , 即 sin α1 = sin α 2 ; L1 L2
2 × (b ? y )

2(a ? y) 1 1 令 f1 y′ = ? × ? × 2 2 2 x2 + ( a ? y )

(b ? y ) + (l ? x )
2

2

+1 = 0 ;



y1 y2 + = 1 , 即 cos α1 + cos α 2 = 1 ; L1 L2

得到角度模型:

?sin α1 = sin α 2 ? ?cos α1 + cos α 2 = 1
解得 α1 = α 2 =

π
3

.

即 AP 与 y 轴, BP 与 BF 的夹角均为

π
3

. 根据这个角度模型, 形象的解释上

面“ y < 0 ”, “ x < 0 ”的情况. 如图 1, 先从 B 点向原点方向引一条与 y 轴成 的直线, 若此直线与 y 轴的交点在 A 点的上面, 即 “x<0” 的情况. 再从 A 点向 D 点方向引一条与 y 轴成 在 x 轴的下方, 即

π
3

b?a 3 > 时, 就是上面 l 3

π
3

的直线, 两线的交点若

b+a 3 < 时, 就是上面“ y < 0 ”的情况. l 3

10

4.1.2 共用管线费用和非共用管线费用不相同, 但两个非共用管线费用是相同 引入共用管线费用和非共用管线费用的比值为 k (1 < k < 2 ) , 建立模型:

f 2 ( x, y ) = AP + BP + k PS
则在这种情况下,铺设管线的总费用为,

f 2 ( x, y ) =

(a ? y)

2

+ x2 +

(b ? y ) + (l ? x )
2

2

+ ky ;

? l 4 ? k2 x= ? ? (b ? a ) ; ? 2 2k 利用 matlab , 求解得 ? k ?y = a +b ? l; ? 2 2 4? k2 ? 此结果与 4.1.1 的模型求解结果结构相同, 取 k = 1 时, 即为 4.1.1 的模型求解 的结果. 同样地,建立角度模型,分析 k 对角度的影响.
1 2x 1 令 f 2 x′ = 0, 则有 × ? × 2 2 2 x2 + ( a ? y ) 2 × (l ? x)

(b ? y ) + (l ? x )
2

2

= 0;



x1 x2 = , 即 sin α1 = sin α 2 ; L1 L2
2 × (b ? y )

2(a ? y) 1 1 再令 f 2 y′ = 0 , 则 ? × ? × 2 2 2 x2 + ( a ? y )

(b ? y ) + (l ? x )
2

2

+k =0;



y1 y2 + = k , 即 cos α1 + cos α 2 = k ; L1 L2

即得到角度模型:

?sin α1 = sin α 2 ? ?cos α1 + cos α 2 = k
k? π? 解得 α1 = α 2 = arccos ? 0 < α1 = α 2 < ? . 2? 3?

从此结果得出系数 k 对角度 α1 , α 2 产生的影响的量化表示. 4.1.3 共用管线费用和非共用管线两支线的费用都不相同 引入共用管线费用和非共用管线费用的比值为 k1 , k2 , k3 , 此处 ki 的取值关系 为: k1 < k3 , k2 < k3 , k3 < k1 + k2 . 如图 1,建立模型:

f 3 ( x, y ) = k1 AP + k2 PB + k3 PS
11

具体为: f 3 ( x, y ) = k1 x 2 + ( a ? y ) + k2
2

(l ? x ) + (b ? y )
2

2

+ k3 y ;

令 f3x ' = 0

?

k1 x1 k2 x2 = ; L1 L2

令 f3 y ' = 0

?

k1 y1 k2 y2 + = k3 ; L1 L2

?k1 sin α1 = k2 sin α 2 ; 解得到角度模型, ? ?k1 cos α1 + k2 cos α 2 = k3 ;
通过 matlab 软件求解, 记 w = 2k12 k22 + 2k12 k32 + 2k22 k32 ? k14 ? k24 ? k34 , 得 sin α1 =
w w , sin α 2 = 2k1k3 2k 2 k3

为了进一步论证上面式子的准确性, 就前两问中涉及到的关于 α1 , α 2 , 把
k1 = k2 = k3 = 1 代入上式, 结果与 4.1.1 相同; 把 k1 = k2 = 1, k3 = k 代入上式, 结

果与 4.1.2 相同. 这 里 只 给 出 了 α1 , α 2 的 值 , 而 没 有 给 出 明 确 的 P 点 的 坐 标 . 由 于
a, b, l , x, y, k1 , k2 , k3 都是未知量, 用 matlab 求解的结果含有 x 和 y 的表达式相当

复杂, 这里就不具体给出, 利用软件的运算过程见附录 1. 在图形上, α1 和 α 2 的值就能够确定 P 点的位置. 在实际的应用中, k1 , k2 , k3 都是确定的数值. 用附 录 1 的程序计算即可. 综上所述, 在有共用管线情况下, 即 0 <
b?a 3 b+a 3 < , > , P 点的 l 3 l 3

坐标是和 a, b, l , k 的值的大小有关, 而角度 α1 , α 2 的大小只跟 k1 , k2 , k3 这三个值有 关. 4.2 问题二的模型 在出现城郊分界线后, 需要考虑附加费用, 加入城郊分界线, 那么管线在城 郊分界线上有个拐点,记为 Q ( c, z ) , 建立如图 3 所示的直角坐标系, 另外考虑到 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用, 对三家咨询公司的资 质和估算结果进行比较, 公司一是具备甲级资质的咨询公司, 公司二和公司三 是具备乙级资质的咨询公司, 但是这两家乙级资质公司的收费标准相差 4 万元/
12

千米, 差距很大. 根据的中华人民共和国建设部第 149 号令 ,甲、乙级资质的 负责人的工作年限比为 15:10, 专职专业人数比为 20:12, 中级职工人数比为 16:8, 高级职工人数比为 10:6. 相比之下, 甲级资质的可信度比较高. 另外本 题中给出的具备甲级资质的公司一的收费为 21 万元/千米, 具备乙级资质的公 司的平均收费为 22 万元/千米. 在收费差距不大的情况下, 选择可信度比较高 的具有甲级资质的公司一作为工程咨询公司.
y
Q ( c, z )

[5]

B ( 20,8)

A
P ( x, y )

C

S

D

x

根据上图, 建立模型:
M ( x, y, z ) = 7.2 × ( AP + PQ + PS ) + ( 7.2 + 21) × QB ;

代入计算: M ( x, y, z ) = 7.2 ×

( (a ? y) + x +
2 2

(c ? x) + ( z ? y)
2

2

+ y + ( 7.2 + p ) ×

)

(l ? c) + (b ? z )
2

2

用 matlab 软件解得极小值点为:

( x, y, z ) = ( 5.4593,

1.8481, 7.3564 )

相应的最小费用为: M = 280.1771 万元 4.3 问题三的模型
B 炼油厂的分支管线与城郊分界线交于点 Q ( c, z ) , 建立如图 3 所示的直角

坐标系, 那么从问题二到问题三, 就只有两家炼油厂的管线铺设的费用不同, 城区管线的铺设费用以及共用管线的费用都发生变化, 另外涉及到附加费用, 采用的方法与前一问题相同, 选择具备甲级资质的咨询公司一, 根据图 3 具体 的模型如下:

N ( x, y, z ) = 5.6 × AP + 6 × PQ + 7.2 × y + ( 6 + 21) × QB ;
代入具体数值计算如下:

N ( x, y, z ) = 5.6× x2 + ( y ? a) + 6×
2

( x ? c) + ( y ? z )
2

2

+ 7.2× y + ( 6 + 21) × ( c ? 20) + ( 8 ? z)
2

2

使用 matlab 软件解得极小值点为:

( x, y, z ) = ( 6.7424,

0.1327, 7.2659 )

相应的最小费用为: N = 249.4650 万元.

五、模型的评价与推广
13

5.1 模型的评价 模型优点: 1. 针对共用管线和非共用管线费用是否相同等三种情况, 考虑全面; 2. 从距离和角度两个方面建立模型, 分析的结果相互照应, 并且清晰量化 了管线的费用, 更加直观的确定出共用管线的位置,达到优化设计的目的; 3. 求解的结果合理, 具有一定的可行性和实用性. 模型缺点: 在 4.1.3 的模型中, 由于 a, b, l , x, y, k1 , k2 , k3 都是未知量, 用 matlab 求解的结 果含有 x 和 y 的表达式相当复杂, 在附录中已经给出运算程序, 但没有将结果 进一步化简. 5.2 模型的推广 在现实生活中, 有很多与本题输油管线铺设类似的问题, 比如货物运输路 线的铺设, 工厂排污管道的铺设, 解决铺设成本最低等问题,我们可以根据本题 的思想通过数学建模的方法, 结合实际,找出最佳方案. 虽然在建立和解决模型 等方面有一些理想化因素, 但我们基本上能够为策划者提供一个较为实际且能 够受用的简单可操作的方案.

六、参考文献
[1] 杨启帆,数学建模, 杭州: 浙江大学出版社, 2005. [2] 姜启源, 谢金星, 叶俊, 数学建模, 第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003. [3] 张圣勤, MATLAB7.0 实用教程,北京: 机械工业出版社, 2006. [4] 孙祥, 徐流美, 吴清编著, MATLAB 基础教程, 北京: 清华大学出版社, 2005. [5] 中华人民共和国建设部令, http://www.gov.cn/, 2010/09/11.

七、附录

14

附录 1 >> syms a b l x y s k1 k2 k3 >> s=k1*sqrt(x^2+(a-y)^2)+k2*sqrt((l-x)^2+(b-y)^2)+k3*y; >> diff(s,x,1) k1/(x^2+a^2-2*a*y+y^2)^(1/2)*x+1/2*k2/(l^2-2*l*x+x^2+b^2-2*b*y+y^2)^( 1/2)*(-2*l+2*x) >> diff(s,y,1) 1/2*k1/(x^2+a^2-2*a*y+y^2)^(1/2)*(-2*a+2*y)+1/2*k2/(l^2-2*l*x+x^2+b^2 -2*b*y+y^2)^(1/2)*(-2*b+2*y)+k3 >>[xx,yy]=solve('k1/(x^2+a^2-2*a*y+y^2)^(1/2)*x+1/2*k2/(l^2-2*l*x+x^2 +b^2-2*b*y+y^2)^(1/2)*(-2*l+2*x)','1/2*k1/(x^2+a^2-2*a*y+y^2)^(1/2)*( -2*a+2*y)+1/2*k2/(l^2-2*l*x+x^2+b^2-2*b*y+y^2)^(1/2)*(-2*b+2*y)+k3') 解得 x=1/4/(k2^4-2*k1^2*k3^2+k1^4+k3^4-2*k1^2*k2^2-2*k2^2*k3^2)*(-2*k1^4*b +2*k1^4*a+4*k1^2*k2^2*b+4*k1^2*b*k3^2-4*k1^2*k2^2*a-4*k1^2*a*k3^2-2*k 3^4*b+4*k2^2*b*k3^2-2*k2^4*b+2*k3^4*a-4*a*k3^2*k2^2+2*k2^4*a-2*(4*k1^ 6*k3^2*l^2+2*k2^4*k3^4*l^2+4*k1^6*k2^2*l^2-6*k1^4*k2^4*l^2+4*k1^2*k2^ 6*l^2-k3^8*l^2-k2^8*l^2+4*k1^2*k2^4*k3^2*l^2-8*k1^4*k2^2*k3^2*l^2+4*k 1^2*k2^2*k3^4*l^2-6*k1^4*k3^4*l^2+4*k1^2*k3^6*l^2-k1^8*l^2)^(1/2))*l* (-k2^2-k3^2+k1^2)/k3^2/(-1/2/(k2^4-2*k1^2*k3^2+k1^4+k3^4-2*k1^2*k2^22*k2^2*k3^2)*(-2*k1^4*b+2*k1^4*a+4*k1^2*k2^2*b+4*k1^2*b*k3^2-4*k1^2*k 2^2*a-4*k1^2*a*k3^2-2*k3^4*b+4*k2^2*b*k3^2-2*k2^4*b+2*k3^4*a-4*a*k3^2 *k2^2+2*k2^4*a-2*(4*k1^6*k3^2*l^2+2*k2^4*k3^4*l^2+4*k1^6*k2^2*l^2-6*k 1^4*k2^4*l^2+4*k1^2*k2^6*l^2-k3^8*l^2-k2^8*l^2+4*k1^2*k2^4*k3^2*l^2-8 *k1^4*k2^2*k3^2*l^2+4*k1^2*k2^2*k3^4*l^2-6*k1^4*k3^4*l^2+4*k1^2*k3^6* l^2-k1^8*l^2)^(1/2))+a-b) y=1/2*(2*a*k3^2-1/2/(k2^4-2*k1^2*k3^2+k1^4+k3^4-2*k1^2*k2^2-2*k2^2*k3 ^2)*(-2*k1^4*b+2*k1^4*a+4*k1^2*k2^2*b+4*k1^2*b*k3^2-4*k1^2*k2^2*a-4*k 1^2*a*k3^2-2*k3^4*b+4*k2^2*b*k3^2-2*k2^4*b+2*k3^4*a-4*a*k3^2*k2^2+2*k 2^4*a-2*(4*k1^6*k3^2*l^2+2*k2^4*k3^4*l^2+4*k1^6*k2^2*l^2-6*k1^4*k2^4* l^2+4*k1^2*k2^6*l^2-k3^8*l^2-k2^8*l^2+4*k1^2*k2^4*k3^2*l^2-8*k1^4*k2^
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2*k3^2*l^2+4*k1^2*k2^2*k3^4*l^2-6*k1^4*k3^4*l^2+4*k1^2*k3^6*l^2-k1^8* l^2)^(1/2))*k1^2-1/2/(k2^4-2*k1^2*k3^2+k1^4+k3^4-2*k1^2*k2^2-2*k2^2*k 3^2)*(-2*k1^4*b+2*k1^4*a+4*k1^2*k2^2*b+4*k1^2*b*k3^2-4*k1^2*k2^2*a-4* k1^2*a*k3^2-2*k3^4*b+4*k2^2*b*k3^2-2*k2^4*b+2*k3^4*a-4*a*k3^2*k2^2+2* k2^4*a-2*(4*k1^6*k3^2*l^2+2*k2^4*k3^4*l^2+4*k1^6*k2^2*l^2-6*k1^4*k2^4 *l^2+4*k1^2*k2^6*l^2-k3^8*l^2-k2^8*l^2+4*k1^2*k2^4*k3^2*l^2-8*k1^4*k2 ^2*k3^2*l^2+4*k1^2*k2^2*k3^4*l^2-6*k1^4*k3^4*l^2+4*k1^2*k3^6*l^2-k1^8 *l^2)^(1/2))*k3^2+1/2/(k2^4-2*k1^2*k3^2+k1^4+k3^4-2*k1^2*k2^2-2*k2^2* k3^2)*(-2*k1^4*b+2*k1^4*a+4*k1^2*k2^2*b+4*k1^2*b*k3^2-4*k1^2*k2^2*a-4 *k1^2*a*k3^2-2*k3^4*b+4*k2^2*b*k3^2-2*k2^4*b+2*k3^4*a-4*a*k3^2*k2^2+2 *k2^4*a-2*(4*k1^6*k3^2*l^2+2*k2^4*k3^4*l^2+4*k1^6*k2^2*l^2-6*k1^4*k2^ 4*l^2+4*k1^2*k2^6*l^2-k3^8*l^2-k2^8*l^2+4*k1^2*k2^4*k3^2*l^2-8*k1^4*k 2^2*k3^2*l^2+4*k1^2*k2^2*k3^4*l^2-6*k1^4*k3^4*l^2+4*k1^2*k3^6*l^2-k1^ 8*l^2)^(1/2))*k2^2)/k3^2

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