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§2.1


第二章 变化率与导数
§2.1 变化的快慢与变化率

问题提出

世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?

实例分析

问题1

物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程, 显然s是时间t的函数, 表示

为s ? s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
t/s s/m 0 0 2 6 5 9 10 20 13 32 15 44 … …

物体在0~ 2s和10 ~13s这两段时间内 , 哪一段时间运动得快 ? 如何刻画物体运动的快 慢?

分析 我们通常用平均速度来比较运动的快慢.
6?0 在0~ 2 s这段时间内 , 物体的平均速度为 ? 3(m / s ); 2?0 32 ? 20 在10 ~13s这段时间内 , 物体的平均速度为 ? 4(m / s ). 13 ? 10

显然,物体在后一段时间比前一段时间 运动得快.

问题2 某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示:
39 38 37 36
x / min 10 20 30 40 50 60 70 比较时间x从0 min到20 min 和从20 min到30 min 体温的变化情况 , 哪段时间体温变化较快 ? 如何刻画体温变化的快 慢?

y /(?c)

分析 由上图可看出:
当时间x从0 min到20min时, 体温y从39?c变为38.5?c, 下降了 0.5?c;

当时间x从20min到30min时, 体温y从38.5?c变为38?c, 下降了 0.5?c;

两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
?我们也可以比较在这两 段时间中 , 单位时间内体温的平均 变化量,
于是当时间x从0 min 变到20 min时, 体温y相对于自变量 x的平均变 化率为: 38.5 ? 39 ? 0.5 ? ? ?0.025(?c / min). 20 ? 0 20

当时间x从20 min 变到30 min时, 体温y相对于自变量 x的平均变 38 ? 38.5 ? 0.5 化率为: ? ? ?0.05(?c / min). 30 ? 20 10

这里出现了负号 , 它表示体温下降了 , 显然, 绝对值越大下降得 越快, 这里, 体温从20 min到30 min 这段时间下降得比 0 min到 20 min 这段时间要快 .

归纳
在第一个问题中, 我们用一段时间内物体的平均速度刻画 了物体运动的快慢,当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从 s(t0 )变为s(t1 ), 这段时间内物体的平均速度是 : s(t1 ) ? s(t 0 ) 平均速度 ? . t1 ? t0
在第二个问题中, 我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了 体温变化的快慢,当时间从x0 变为x1时, 体温从 y(x0 )变为y(x1 ), y(x ) ? y(x0 ) 体温的平均变化率 ? 1 . x1 ? x0

抽象概括
对一般的函数y ? f (x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f (x1 ) 变为f (x2 ), 它的平均变化率为 : f (x2 ) ? f (x1 ) . x2 ? x1

通常我们把自变量的变化x2 ? x1称作自变量的改变量, 记作?x ,函数 值的变化f (x2 ) ? f (x1 ), 称作函数值的改变量, 记作?y.这样,函数的平 均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即: ?y f (x2 ) ? f (x1 ) f (x1 ? ?x) ? f (x1 ) ? ? . ?x x2 ? x1 ?x 我们用它来刻画函数值在区间[ x1 , x2 ]上变化的快慢.

探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5] 上的平均变化率. 答案:都是2 2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均 变化率. 答案:还是2 3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变 化率. 答案:是k 一般地,一次函数f(x)=kx+b (k≠0)在任意区间[m,n](m<n)上的平 均变化率等于k.

探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变 化率. y 答案:是0
C1 C3

B

C2

A
O

平均变化率的缺点:
x2
x

x1

探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1,3] , [1,2], [1,1.1] ,[1,1.01] ,[1,1.001]上的平均变 化率. 答案:在这5个区间上的平均变化率分别 是:4、3、 2.1、2.01、2.001 规律: 当区间的右端点逐渐接近1 时,平 均变化率逐渐接近2.

小结:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 ? x1
y B(x2,f(x2))

A(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1) =△y
x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? x2 ? x1 ?x

x2-x1 =△x
0

平均变化率的几何意义:
曲线 y ? f ( x)上两点
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. ( x1 , f ( x1 ))、

(二)、瞬时变化率
例1、一个小球从高空自由下落,其走过的 路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函 1 2 数关系为 s ? gt 其中,g为重力加速度 2 2 ( g ? 9.8m / s ) ,试估计小球在t=5s这个时刻 的瞬时速度。
分析:当时间t从t0变到t1时,根据平均速度公式

?s s(t1 ) ? s(t 0 ) ? ?t t1 ? t 0

可以求出从5s到6s这段时间内 小球的 s ( 6 ) ? s ( 5 ) 176 . 4 ? 122 . 5 平均速度 ? ? 53.9(m/s) 我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。 为了提高精确度,可以缩短时间间隔,如求出 5-5.1s这段时间内的平均速度
s (5.1) ? s (5) 127 .45 ? 122 .5 ? ? 49 .5 (m/s)。 5.1 ? 5 0.1

6?5

1

用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果时 间间隔进一步缩短,那么可以想象,平均速度 就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。

1 解:我们将时间间隔每次缩短为前面的 10

,计算出相应的平均速度得到下表:
t0/s
5 5 5

t1/s
5.1 5.01 5.001

时间的改 变量 (Δ t)/s 0.1 0.01 0.001

路程的改 变量 (Δ s ) /m 4.95 0.49 0.049

? ?s ? ? 平均速度 ? ? ?t ?
/(m/s) 49.5 49.049 49.0049

5
5

5.0001


0.0001


0.0049


49.00049


例2、如图所示,一根质量分布不均匀的合 金棒,长为10m。x(单位:m)表示OX 这段 棒长,y (单位:kg)表示OX这段棒的质量, 它们满足以 下函数关系:y ? f ( x) ? 2 x 估计该合金棒在x=2m处的 线密度。

分析:一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度, 就是这段合金棒的平均线密度。 解:由此,我们可以计算出相应的平 均线密度得到下表

x0/s

x1/s

长度x的改变 量 (Δ x)/m 0.1 0.01 0.001

质量y的改 变量 (Δ s ) /kg 0.070 0.0071 0.00071

? ?y ? 平均线密度? ? ? ?x ? /(kg/m)

2 2 2

2.1 2.01 2.001

0.70 0.71 0.71

2
2

2.0001


0.0001


0.000071


0.71


当x1趋于x0=2m时,平均线密度趋于0.71kg/m, 因此,可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为 18 0.71kg/m。

抽象概括
在前面的问题中,我们通过减小自变量的改变 量用平均变化率“逼近”瞬时变化率.
故可知: 对于一般函数 y ? f ( x), 在自变量x从x0变到x1的 过程中, 若设?x ? x1 ? x0 , 则函数的平均变化率是 : ?y f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ? . ?x x1 ? x0 ?x 而当?x趋于0时, 平均变化率就趋于函数 在x0点的瞬时变 化率, 瞬时变化率刻画的是函 数在一点处变化的快慢 .

回顾小结:
1.理解什么是平均速度,什么是瞬时速度,它们之 间有什么关系.
2. 平均变化率的定义:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 ? x1
y B(x2,f(x2))

A(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1) =△y
x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y ? x2 ? x1 ?x

x2-x1 =△x
0

3. 平均变化率的几何意义:
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. 曲线 y ? f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、


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