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2016届高三数学二轮复习:高考压轴大题突破练一


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考前增分特训,高考题型冲刺练
高考压轴大题突破练(一)

——直线与圆锥曲线(1)
(推荐时间:70 分钟) x2 y2 3 1.(2014· 课标全国Ⅰ)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>

0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点, a b 2 2 3 直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 解 2 2 3 (1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3

c 3 又 e= = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 2 故 E 的方程为 +y =1. 4 (2)当 l⊥x 轴时,不合题意, 故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2), x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得 4 (1+4k2)x2-16kx+12=0. 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 8k± 2 4k2-3 x1,2= . 4k2+1 4 k2+1· 4k2-3 从而|PQ|= k2+1|x1-x2|= . 4k2+1 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 , k +1
2

4 4k2-3 1 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d|PQ|= . 2 4k2+1 4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2, t 7 即 k=± 时等号成立,且满足 Δ>0, 2

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所以,当△OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y=

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7 7 x-2 或 y=- x-2. 2 2

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y2 x2 2.(2014· 陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2: a b y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 (1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程. 解 (1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1, 3 . 2

且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左,右顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1, a 2 得 a=2.∴a=2,b=1. y2 (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0).易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y= 4 k(x-1)(k≠0),代入 C1 的方程, 整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xp,yp), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 由根与系数的关系,得 xp= 2 , k +4 -8k 从而 yp= 2 , k +4 k2-4 -8k ∴点 P 的坐标为( 2 , ). k +4 k2+4
? ?y=k?x-1??k≠0?, 同理,由? 得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2 ?y=-x +1?y≤0? ?

2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 -2k2 → → ∵AP⊥AQ,∴AP· AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0. k +4 ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0, 8 解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意. 3 8 ∴直线 l 的方程为 y=- (x-1), 3
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8 8 即直线 l 的方程为 y=- x+ . 3 3

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3.如图,抛物线 C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点 M(x0,y0)在抛物线 C2 上, 过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 x0=1- 2时, 1 切线 MA 的斜率为- . 2 (1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O). 解 x 1 (1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y′= ,且切线 MA 的斜率为- , 2 2

1? 所以 A 点坐标为? ?-1,4?, 1 1 故切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ . 2 4 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是 3-2 2 1 1 y0=- (2- 2)+ =- ,① 2 4 4 ?1- 2?2 3-2 2 y0=- =- .② 2p 2p 由①②,得 p=2. x2 x2 1 x1, ?,B(x2, 2),x1≠x2, (2)设 N(x,y),A? 4? ? 4 由 N 为线段 AB 中点知 x1+x2 x= ,③ 2
2 x2 1+x2 y= .④ 8

切线 MA、MB 的方程分别为 x1 x2 1 y= (x-x1)+ .⑤ 2 4 x2 x2 2 y= (x-x2)+ .⑥ 2 4 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= x1+x2 x1x2 ,y0= . 2 4

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x2 0=-4y0,
2 x2 1+x2 所以 x1x2=- .⑦ 6

4 由③④⑦得 x2= y,x≠0. 3

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4 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2= y. 3 4 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2= y. 3 x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F1MF2 是等腰 a b 直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=8,证明: 1 - ,-2?. 直线 AB 过定点? ? 2 ? (1)解 由已知,可得 b=2,a2=( 2b)2=8, x2 y2 所求椭圆方程为 + =1. 8 4 (2)证明 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 若直线 AB 的斜率存在,设方程为 y=kx+m, x y ? ? 8 + 4 =1, 由? 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0. ?y=kx+m, ? 2m2-8 4km 则 x1+x2=- . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 y1-2 y2-2 由 k1+k2=8,得 + =8, x1 x2 kx1+m-2 kx2+m-2 所以 + =8, x1 x2 x1+x2 即 2k+(m-2)· =8. x1x2 mk 1 所以 k- =4,整理得 m= k-2. 2 m+2 1 故直线 AB 的方程为 y=kx+ k-2, 2 1? 即 y=k? ?x+2?-2. 1 ? 所以直线 AB 过定点? ?-2,-2?. 若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 的方程为 x=x0, 设 A(x0,y0),B(x0,-y0), y0-2 -y0-2 1 由已知 + =8,得 x0=- . x0 x0 2 1 1 - ,-2?. 此时 AB 的方程为 x=- ,显然过点? ? 2 ? 2
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1 ? 综上,直线 AB 过定点? ?-2,-2?.

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5.已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上,中心在原点.若右焦点到直线 x-y+2 2=0 的距 离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 y=kx+m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M,N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围. 解 x2 (1)依题意可设椭圆方程为 2+y2=1, a

则右焦点 F( a2-1,0), | a2-1+2 2| 由题设 =3,解得 a2=3. 2 x2 ∴所求椭圆的方程为 +y2=1. 3 (2)设 P(xP,yP),M(xM,yM),N(xN,yN), P 为弦 MN 的中点, y=kx+m, ? ?2 由?x 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 2 ? 3 +y =1 ? ∵直线与椭圆相交, ∴Δ=(6mk)2-4(3k2+1)×3(m2-1)>0 ?m2<3k2+1.① ∴xP= xM+xN 3mk =- 2 , 2 3k +1

m 从而 yP=kxP+m= 2 , 3k +1 ∴kAP= yP+1 m+3k2+1 =- , xP 3mk

又∵|AM|=|AN|,∴AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- =- ,即 2m=3k2+1.② 3mk k 把②代入①,得 m2<2m,解得 0<m<2; 2m-1 1 由②,得 k2= >0,解得 m> . 3 2 1 综上求得 m 的取值范围是 <m<2. 2

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