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高中数学 两角和与差的正弦、余弦和正切课后练习二


高中数学 两角和与差的正弦、余弦和正切课后练习二 新人教 A 版必 修4
题 1: 题 面 : 已 知 s i n? ? _____________.

4 , tan(α +β )=1 , 且 α 是 第 二 象 限 角 , 那 么 tanβ 的 值 等 于 5

题 2: 题面:函数 y=2cos x+sin 2x 的最小值是________.
2

题 3: 1 11 题面:已知 α 、β 为锐角,且 cos α = ,cos(α +β )=- ,则 β 的值为________ . 7 14

题 4: 1 3 题面:若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α ·tan β =________. 5 5

题 5: 题面:已知 α ∈ 4 A.- 3 1 (0,π ),且 sinα +cosα = ,则 tanα 的值为 5 4 3 B.- 或- 3 4 3 C.- 4 ( )

4 3 D. 或- 3 4

题 6:

题面:已知 ? ? R , sin ? A.

? 2cos ? ?
C.

10 ,则 tan ? ? ( 2
D.

)

4 3

B.

3 4

?

3 4

?

4 3

题 7: 题面:证明

sin ? 2 A ? B ? sin B ? 2cos ? A ? B ? ? . sin A sin A

题 8: 题面:已 知 tan?

?π +α ?4

?=1. ? 2 ?

(1)求 tan α 的值; sin 2α -cos α (2)求 的值. 1+cos 2α
2

题 9: 题面: 已知△ABC 中的三内角 A、 B、 C 成等差数列, 且 求 cos
1 1 2 ? ?? , [来源:Zxxk.Com] cos A cos C cos B

A?C 的值. 2

题 10: 4cos x-2cos 2x-1 题面:已知函数 f(x)= . cos 2x
4

? 11 ? (1)求 f ?- π ?的值; ? 12 ? ? π? (2)当 x ∈?0, ?时,求 g(x)=f(x)+sin 2x 的最大值和最小值. 4? ?

课后练习详解 题 1: 答案: -7 详解:

4 ,α 是第二象限角, 5 3 ∴ cos ? ? ? . 5 4 ∴ tan ? ? ? . 3
∵ sin ? ? ∴tanβ =tan[(α +β )-α ]

4 tan( ? ? ? ) ? tan? 3 ? ?7 . ? ? 1 ? tan( ? ? ? ) tan? 1 ? 4 3 1?

题 2: 答案:1- 2. π? ? 2 详解:y=(2c os x-1)+sin 2x+1=cos 2x+sin 2x+1= 2sin?2x+ ?+1 4? ? ∴y 的最小值为 1- 2.

题 3: π 答案: 3 1 ? 11? 详解:cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α = ×?- ? 7 ? 14? + 4 3 5 3 1 × = . 7 14 2

π ∴β = . 3

题 4: 1 答案: . 2 1 详解:∵cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = ,cos(α -β )=cos α cos β +sin 5 3 α sin β = , 5 2 1 ∴cos α cos β = ,sin α sin β = . 5 5 ∴ sin α sin β 1 = , cos α cos β 2

1 即 tan α ·tan β = . 2

题 5: 答案:A. 详解: π π π 当 α ∈(0, )时,sinα +cosα = 2sin(α + )>1.故 α ∈( ,π ) . 2 4 2 ∴sinα >0,cosα <0.且|sinα |>|cosα |∴|tanα |>1. 由 (sinα + cosα ) = (舍).
2

1 24 2tanα 24 4 3 sin2α =- ? =- ? tanα =- 或 tanα =- ? 2 25 25 1+tan α 25 3 4

题 6: 答案:C. 详解:∵ sin ?

? 2cos ? ?

10 2 2 ,又 sin ? ? cos ? ? 1. 2

? 3 10 10 ? sin ? ? ? ? ?sin ? ? ? 10 10 ? 联立解得 ? 或? ?cos ? ? 3 10 ?cos ? ? ? 10 ? ? 10 10 ? ?

故 tan ? ?

sin ? 1 ? ? ,或 tan ? ? 3 , cos ? 3

1 2 ? (? ) 2 tan ? 3 ??3 代入可得 tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? (? 1 ) 2 4 3
或 tan 2? ? 故选 C.

2 tan ? 2?3 3 ? ?? 2 2 1 ? tan ? 1 ? 3 4

题 7: 答案:见详解. 详解:

原式 ?

sin ? ?? A ? B ? ? A ? ? ? 2cos ? A ? B ? sin A

sin A sin ? A ? B ? cos A ? cos ? A ? B ? sin A ? sin A sin ? ?? A ? B ? ? A ? ? ? sin A sin B ? . sin A

题 8: 1 答案:(1)- . 3 5 (2)- . 6 ?π ? 1+tan α =1.解得 tan α =-1. 详解:(1)由 tan? +α ?= 3 ?4 ? 1-tan α 2 sin 2α -cos α 2sin α cos α -cos α (2) = 2 1+cos 2α 2cos α
2 2

1 5 =tan α - =- . 2 6

题 9:

答案:

2 . 2

详解:由已知,B=60°,A+C=120°



A?C ? ? ,则 2 A?C A?C A? ? ? 60? ? ? , 2 2
A?C A?C ? ? 60? ? ? . 2 2

C?



1 1 ? cos A cos C 1 1 ? ? cos ? 60? ? ? ? cos ? 60? ? ? ? ? 1 1 3 1 3 cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 2 2 2 2 cos ? cos ? ? ? . 1 3 2 3 2 2 cos ? ? sin ? cos ? ? 4 4 4 ? 1

依题设有

cos? cos2 ? ? 3 4

??

2 ? ?2 2 cos B

整理得 : 4 2 cos2 ? ? 2cos? ? 3 2 ? 0,

?2 cos? ? 2 ??2

2 cos? ? 3 ? 0.

?

2 2 cos? ? 3 ? 0,
?2cos? ? 2 ? 0.
故 cos A?C 2 ? . 2 2

题 10:

答案: 详解:

3 ;最小值是 1,最大值是 2. 2

f(x)=
2

(2cos x-1)(
2

2

2

x+

)-2cos2x

cos 2x

cos 2x (2cos x+1) -2cos 2x = cos 2x

2

=2cos x+1-2=2cos x-1 =co s 2x.

? 11π ?=cos 2 ?-11π ?=cos11π =cosπ = 3. (1)f ?- ? ? 12 ? 6 6 2 ? 12 ? ? ?
π? ? (2)g(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin?2x+ ?. 4? ? π π π 3π 由 0≤x< , 故 ≤2x+ < , 4 4 4 4 ≤ 2. 即 g(x)的最小值是 1,最大值是 2. ∴ π? π? 2 ? ? ≤sin?2x+ ?≤1, 1≤ 2sin?2x+ ? 4? 4? 2 ? ?


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