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芝罘区数学函数的单调性及题型2016年高三专题复习-函数(1)


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烟台芝罘区数学 2015-2016 高三专题复习-函数(1)函数的单调性及题型

1、 A 为函数 f(x)定义域内某一区间,

2、 单调性的判定:作差 f(x1)-f(x2)判定;根据函数图象判定; 3、 复合函数的单调性的判定:f(x),g(x) 同增、同减,f(g(x)) 为增函数,f(x),g(x)一增、一减, f(g(x)) 为减函数. 【经典例题】 例 1、设 a>0 且 a≠1,试求函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. [解析]:由题意可得原函数的定义域是(-1,4), 设 u=4+3x-x2 ,其对称轴是 x=3/2 , 所以函数 u=4+3x-x2 ,在区间(-1,3/2 ]上单调递增;在区间[3/2 ,4)上单调递减. ①a>1时,y=logau 在其定义域内为增函数, 由 x↑→u↑→y↑ ,得函数 u=4+3x-x2 的单调递增区间(-1,3/2 ], 即为函数 y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间. ②0<a<1时,y=logau 在其定义域内为减函数, 由 x↑→u↓→y↑ ,得函数 u=4+3x-x2 的单调递减区间[3/2 ,4), 即为函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. 例 2、已知 y=loga(2-ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围。 [解析]:由题意可知,a>0.设 u=g(x)=2-ax, 则 g(x)在[0,1]上是减函数,且 x=1时,g(x)有最小值 umin=2-a .

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又因为 u=g(x)=2-ax>0,所以, 只要 umin=2-a>0则可,得 a<2. 又 y=loga(2-ax) 在[0,1]上是 x 减函数,u=g(x)在[0,1]上是减函数, 即 x↑→u↓→y↓ ,所以 y=logau 是增函数,故 a>1. 综上所述,得1<a<2. 例 3、已知 f(x)的定义域为(0,+∞),且在其上为增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1 , 试解不等式 f(x)+f(x-2)<3 . [解析]:[此题的关键是求函数值3所对应的自变量的值] 由题意可得,f(4)=f(2)+f(2)=2 ,3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8) 又 f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成 f(x2-2x)<f(8)

所以原不等式的解集为{x|2<x<4}

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针对性课堂练习
1.函数 y = x -4 x +5 在闭区间 [ -1, m ] 上有最大值 10,则 m 的取值范围是( (A) ( -∞,5 ] ; (B) ( -1,5 ] ; (C) [ 2,5 ] ; (D) ( -1,+∞ ) . 2.函数 y = 2x ? x 2 的单调递减区间是( )
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(A) [ -1,+∞ ) ; (B) ( -∞,1 ] ; (C) [ 0,1 ] ; (D) [ 1,2 ] . 3. 设 0< a < b , 奇函数 f ( x) 在 [ - b , - a ] 上是减函数, 且有最小值 2, 则函数 F ( x ) =-| f ( x) | ( (A)是 [ a , b ] 上的减函数且有最大值-2; (B)是 [ a , b ] 上的增函数且有最小值-2; (C)是 [ a , b ] 上的减函数且有最小值-2; (D)是 [ a , b ] 上的增函数且有最大值-2. )

4.已知函数 f ( x) =

ax2 ? 1 为奇函数 ( a 、 b ∈Z ) , f (1) =2, f ( 2) <3. bx ? c

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x <0 时,确定 f ( x) 的单调递增区间,并给予证明.

5.对于 x ∈R,函数 f ( x) 表示 x -1 与| x -4 x +3|中大的一个值. (1)求 f (0) , f (1) , f ( 2) , f (3) ; (2)作出 y = f ( x) 的图象; (3)在 [ 0,2 ] 内,求 f ( x) 的值域.

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