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2012届高三上学期期末检测 数学文


试卷类型:A

高三数学(文科)试题

2012.1

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和 2B 铅笔 分别涂写在答卷纸和答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题答案及解答一律填写在答卷纸上。试题不交,只交答卷纸和答题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 3}, B ? {x ? R | x2 ? 4} ,则 A ? B = A. ?x | ?2 ? x ? 0? 2.复数 B. ?x | 2 ? x ? 3? C. ?x | 2 ? x ? 3? D. ?x | x ? ?2或2 ? x ? 3?

B. ? 1 ? i D. 1 ? i 3.阅读如图所示程序框图,为使输出的数据为 31, 则判断框中应填的是 A. n ? 4 B. n ? 5 C. n ? 6 D. n ? 7 4.已知向量 m ? n 的夹角为 A.1 B.2

2i 等于 1? i A. ? 1 ? i C. 1 ? i

? ,且 | m |? 3,| n |? 2,| m ? n |? 6
C.3 D.4

?0 ? x ? 2 ? 5.若点 M( x , y )是平面区域 ? y ? 2 内任意一点,点 A(-1,2) ,则 z ? OM ? OA 的最小值为 ? ?x ? 2 y
A.0 B. 4 ? 2 C.2- 2 D.4

6.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? lg x, 则 f ( f ( A.

1 )) 的值等于 100

1 lg 2

B. ?

1 lg 2

C. lg 2

D.- lg 2

7.若 tan( ? ? ? ) ? ?

1 cos 2? ,则 的值为 3 2 sin ? cos? ? cos2 ?

A.

8 3

B.

8 5

C.

8 15

D. ?

8 7

8.正三角形一个顶点是抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点,另两个顶点在抛物线上,则满足此条件的 正三角形共有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个

9.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,且 ?POQ ? 120? (其中 Q 为原点) ,则 K 的 值为 A. 3,? 3 10.函数 y ? B. 4,? 3 C. 3 ,-1 D.1,-1

x ? sin x 的图象大致是 3

11.已知数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列, ?bn ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数 列 ab 前 10 项的和等于 n A.511 B.512 C.1023 D.1033

? ?

12.若点 O 和点 F 分别为椭圆 最小值为 A.

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任意一点,则 OP ? FP 的 9 5

11 4

B.3

C.8

D.15

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分。 13.若椭圆

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点,则 a= 与双曲线 ? y ? 1 ( a ? 0 ) 2 2 a

.

14.设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, a1 ? 4d . 若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k= 15.已知曲线 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ?1 在点( 1, f (1) )处的切线斜率为 3,且 x ? 值点,则 a+b= .

.

2 是 y ? f ( x) 的极 3

16.关于 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 有以下命题:

①若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ;

② f ( x) 图象与 g ( x) ? 3 cos( 2 x ? ③ f ( x) 在区间 [ ?

?
4

) 图象相同;

7? 3? ,? ] 上是减函数; 8 8

④ f ( x) 图象关于点 (?

?

8

,0) 对称。

其中正确的命题是 。 三、解答题:本大题共 6 个小题。满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 17.(本小题满分 12 分)
x 已 知 a>0 且 a ? 1 , 关 于 x 的 不 等 式 a ? 1 的 解 集 是 ?x | x ? 0? , 解 关 于 x 的 不 等 式

1 log a ( x ? ) ? 0 。 x
18.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos B ? (1)当 A ?

?

4 ,b ? 2 . 5

6 (2)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值。
19.(本小题满分 12 分) 设椭圆 E:

时,求 a 的值;

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上焦点是 F1 ,过点 P(3,4)和 F1 作直线 P F1 交椭圆于 A、 a 2 b2
1 4 ). 3 3

B 两点,已知 A( ,

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设点 C 是椭圆 E 上到直线 P F1 距离最远的点,求 C 点的坐标。 20.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? (1)证明:数列 ?

1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,?? 2

?n ?1 ? S n ? 是等差数列,并求 Sn ; ? n ?

(2)设 bn ?

Sn ,求证: b1 ? b2 ???? bn ? 1 . n3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x , (K 常数) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f ( x) ? x3 ? ln x 恒成立,求 K 的取值范围。 22.(本小题满分 14 分)

已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F (1)若直线 l 过点 M(4,0) ,且 F 到直线 l 的距离为 2,求直线 l 的方程; (2)设 A,B 为抛物线上两点,且 AB 不与 X 轴垂直,若线段 AB 中点的横坐标为 2.求证:线段 AB 的垂直平分线恰过定点。

高三数学(文科)参考答案
20.选择题:1.C 2.B 3.B 4.A 21.填空题:13.2 14.3 15.-2 22.解答题:
x

5.A 6.D 7.C 16.②③④

8.C

9.A

10.C

11.D

2012.1 12.A

17.解:∵关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 ∵ log a ( x ? ) ? 0,? log a ( x ? ) ? log a 1

?x | x ? 0?,? a ? 1,

…………………………2 分

1 x

1 x

? 1 x? ?0 ( 1 ) ? ? x ∴? ? x ? 1 ? 1 (2) ? x ?
由(1)得

……………………4 分

x2 ?1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 ; x x2 ? x ?1 1? 5 1? 5 或0 ? x ? ; ? 0 ,解得 x ? x 2 2 1? 5 1? 5 ) ? (1, ). 2 2

……………………7 分

由(2)得

………………………10 分

∴原不等式的解集是 (?1, 18.解: (1)? cos B ?

…………………………12 分

4 3 ,? sin B ? . 5 5 a b a 10 由正弦定理得 ? , 可得 ? . ? 3 sin A sin B sin 6 5 ?a ? . 3 1 3 17.? ?ABC 的面积 S ? ac sin B, sin B ? , 2 5 3 ? ac ? 3 , ac ? 10 . 10
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 4= a ? c ?
2 2

…………………………2 分 ………………………… 4 分

…………………………6 分

…………………………8 分 …………………………9 分 …………………………10 分 …………………………11 分 …………………………12 分

2

2

2

8 ac ? a 2 ? c 2 ? 16 ,即 a 2 ? c 2 ? 20 . 5

∴ (a ? c)2 ? 2ac ? 20, (a ? c)2 ? 40, ∴ a ? c ? 2 10 .

三、解: (1)由 A( , 令 x=0,得 y=1,即 c=1

1 4 )和 P(3,4)可求直线 PF1 的方程为:y=x+1…………………………1 分 3 3
…………………………2 分

椭圆 E 的焦点为 F1 (0,1) 、 F2 (0,?1) ,由椭圆的定义可知

1 2 4 1 2 4 2 2 2a ?| AF 1 | ? | AF 2 |? ( ) ? ( ? 1) ? ( ) ? ( ? 1) ? 2 2 3 3 3 3
∴a ?

…………………………4 分

2, b ? 1

…………………………5 分

y2 椭圆 E 的方程为 ? x2 ? 1 2
(2)设与直线 PF1 平行的直线 l : y ? x ? m

…………………………6 分

…………………………7 分

? y2 ? ? x2 ? 1 2 2 ,消去 y 得 3x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 ?2 ?y ? x ? m ?

………………………… 8 分

? ? (2m)2 ? 4 ? 3? (m2 ? 2) ? 0 ,即 m2 ? 3, m ? ? 3

…………………………9 分

要使点 C 到直线 PF1 的距离最远,则直线 L 要在直线 PF1 的下方,所以 m ? ? 3 ……………10 分 此时直线 l 与椭圆 E 的切点坐标为 (

3 2 3 3 2 3 ,? ) ,故 C ( ,? ) 为所求。 3 3 3 3

……………12 分

20.证明: (I)由 Sn ? n2an ? n(n ?1) 知, 当 n ? 2 时: Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n(n ?1) , 即 (n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n(n ?1) , ∴ …………………………1 分

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1

…………………………3 分



1?1 ?n ?1 ? S1 ? 1,? ? S n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 1 ? n ?
……………………5 分

n ?1 S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 n

n2 ∴ Sn ? n ?1

……………………6 分

13. bn ?

Sn 1 1 1 ? ? ? 3 n(n ? 1) n n ? 1 n
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 2 3 n n ?1

…………………… 8 分

∴ b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 1 ? =1 ?

1 ?1 n ?1
1 ? 2k x

…………………… 12 分 ………………………1 分

21.解: (1)由 f ( x) ? ln x ? 2kx 可得, f ' ( x) ? ∵ f ( x) 的定义域为(0,+ ? ) ,

1 ? 2k ? 0 , f ( x) 在(0,+ ? )是增函数。 ……………………4 分 x 1 1 当 k>0 时,由 ? 2k ? 0 可得 x ? , x 2k 1 1 ∴f(x)在(0, )是增函数,在( ,+ ? )是减函数。 ……………………7 分 2k 2k 综上,当 k ? 0 时,f(x)的单调增区间是(0,+ ? ) ; 1 1 当 K>0 时,f(x)的单调增区间是(0, ) ,单调减区间是( ,+ ? ).…………8 分 2k 2k
∴当 k ? 0 时, f ' ( x) ? (2)由 f ( x) ? x3 ? ln x 恒成立,可得 x ? 2kx ? 0 恒成立, x ? (0,??) . 即 2kx ? ? x ,∴ 2k ? ? x 恒成立。 ∵ ? x 2 ?0 ∵ 2k ? 0, k ? 0 ∴K 的取值范围是[0,+ ? ) ………………………11 分 …………………………12 分
3 3

3

………………………10 分

22 解: (1)由已知,x=4 不合题意。设直线 L 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为(1,0) , 因为点 F 到直线 l 的距离为 2,所以 …………………………1 分

| 3k | 1? k 2

? 2,

…………………………3 分

解得 k ? ?

2 5 2 5 ,所以直线 L 的斜率为 ? . 5 5 2 5 ( x ? 4) 5

………………………5 分

所以直线 l 的方程为 y ? ?

…………………………7 分

(2)设 A、B 坐标为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b , ……………………8 分

联立方程 ?

? y2 ? 4x ? y ? kx ? b

,消去 y 得

k 2 x2 ? (2bk ? 4) x ? b2 ? 0 ,
x1 ? x2 ? 4 ? 2bk , k2 4 ? 2bk ?4 k2

…………………………9 分

因为 AB 中点的横坐标为 2,故

整理得 b ?

2 ? 2k 2 . k
1 ( x ? 2) k

由 AB 中点的坐标为(2,2k+b) 得 AB 垂直平分线的方程为: y ? (2k ? b) ? ? 将b ? (※) , ……………………12 分

2 ? 2k 2 代入方程(※)并化简整理得: k

x ? ky ? 4 ? 0 显然定点(4,0).
线段 AB 的垂直平分线恰过定点(4,0) …………………………14 分


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