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第二节 不等式的证明


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理数

第二节 不等式的证明

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教材研读
?
1.比较法 (1)作差法(a、b∈R):a-b>0?① a>b
a (2)作商法(a>0,b>0):? >② 1 b

;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b.
a b a b

? a> b; ? <1?a<b;? =1?a=b.

2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列 的③ 推理、论证 而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的④充分条件 , 直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、定理等).这 是一种⑤ 执果索因 的思考和证明方法.

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3.反证法 先假设要证明的命题⑥ 不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用公 理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦ 推理 ,得到和命题的条件(或 已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧ 矛盾 的结论,以说明假设

⑨ 不正确 ,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩
放大 缩小 ,

或?

以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不 等式成立,这种方法称为放缩法.

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5.柯西不等式 二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥? (ac+bd) ,
2

当且仅当ad=bc时,等号成立. 柯西不等式的向量形式:设α、β为两个向量,则|α||β|≥|α· β|.当且仅当β是零 向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.

柯西不等式的一般形式:设a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn为实数,则(? a12 +
2 ? 2

a1 a2 a +…+ a )( b + b +…+ b )≥(a1b1+a2b2+…+anbn) ,其中等号成立?? b1 =? b2 =…=
2 ? n
2 ? 1 2 ? 2 2 ? n
2

a ? 或b =0( j=1,2,…,n). b
n
j

n

6.平均值不等式
a1 ? a2 ??? an ≥? n a a ?a ,当且仅当a1=a2 如果a1、a2、…、an为n个正数,则? 1 2 n n

=…=an时,等号成立.

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附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法; (5)放缩法;(6)数学归纳法;(7)换元法;(8)导数与积分法;(9)构造法.

?
a a?m 1.已知a、b、m均为正数,且a<b,M=? ,N=? ,则M,N的大小关系是? ( b b?m

)

A.M>N
?

B.M<N

C.M≥N

D.M≤N

答案 B

a a ? m m( a ? b ) cc 即M<N. M-N=? ? = ? <0, b b ? m b(b ? m)

2.若a=?3 -?2 ,b=? 5 ,c=? 6 -? 7 -? 6 ,则a,b,c的大小关系为? ( A.a>b>c
?

)

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>a>b

答案 A

1 1 1 “分子”有理化得a=? ,b=? ,c=? ,∴a>b>c. cc 3? 2 6? 5 7? 6

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3.若0<a<b<1,则a+b,2?ab ,a2+b2,2ab中最大的一个是? ( A.a+b
?

)

B.2?ab

C.a2+b2

D.2ab

答案 A 易知a+b>2?ab ,a2+b2>2ab,故只需比较a+b与a2+b2的大小即可.
cc

(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),

∵0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)+b(b-1)<0,
∴a2+b2<a+b.故选A. 4.(2013陕西,15A,5分)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+ an)的最小值为
? 答案 ? 解析

.

2 (am+bn)(bm+an)=ab(m2+n2)+mn(a2+b2)≥2mnab+mn(a2+b2)=mn(a+b)2
cc

=mn=2,当且仅当m=n=?2时等号成立.

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b +?c 的最大值为 5.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则?a +?
? ?

.

答案 ?3
2 2 2 2 解析 (?a +?b +?c )2=(1×?a +1×? (a+b+c)=3. c ) ≤(1 +1 +1 )· b +1×?

当且仅当a=b=c=? 时,等号成立.
2 ∴(?a +? c ) ≤3. b +?

1 3

cc

故?a +? c 的最大值为? 3. b +?

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考点突破
?
? 证明

比较法证明不等式

典例1 设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥?ab (a2+b2).

a,b是非负实数,

2 a3+b3-?ab (a2+b2)=a2?a (?a -? b )+b ? b (? b -? a) 5 5 =(?a -? b )[(? b ) ]. a ) -(? 5 5 当a≥b时,?a ≥? b ,从而(? b) , a ) ≥ (?

cc

得(?a -? b )[(? b ) ]≥0; a ) -(?
5 5 5 5 3 3 当a<b时,?a <? b ,从而(? b ) ,得(? b )[(? b ) ]>0.所以a +b ≥ a ) <(? a -? a ) -(?

5

5

? ab (a +b ).

2

2

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作差比较法证明不等式的步骤:(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结
论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形 式,再结合不等式的性质判断出差的正负.

注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第
(3)步要判断商与1的大小.

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) . 1-1 已知a,b∈(0,+∞),证明:a b ≥(ab?
a b
?

a ?b 2

证明 a,b∈(0,+∞),
?a? ? ? ?
a ?b 2

?
(ab)

ab

a b a ?b 2

?a? b a =? ? = ? b ? ? ?

a ?b 2

b?a 2

?

a ?b 2

,

当a=b时, ? ? b
a b

=1.

当a>b时,? >1,? >0,
a? 则? ? ?

? ?b?
? b
? ?

a ?b 2

a ?b 2

>1.
b

cc

a a ?b 当b>a时,0<? <1,? <0,
a? 则? ? ?
a ?b 2

2

>1.
a b

) 成立. 综上可知,a b ≥(ab?

a ?b 2

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?

综合法与分析法证明不等式

典例2 (2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
c +? (1)若ab>cd,则?a +? b >? d;

(2)?a +? c +? b >? d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.
?
2 2 证明 (1)因为(?a +? c +? b ) =a+b+2? ab ,(? cd ,且a+b=c+d, d ) =c+d+2? 2 2 ab>cd,所以(?a +? ) >( ? + ? ) c b d .

因此?a +? c +? b >? d.

(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得?a +? c +? b >? d.

cc

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c +? c +? b >? b )2>(? a +? d ,则(? d )2, (ii)若?a +?

即a+b+2?ab >c+d+2?cd . 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.

因此|a-b|<|c-d|.
综上,?a +? c +? b >? d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.

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1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:
a 2 ? b2 (1)a ≥0;(2)|a|≥0;(3)a +b ≥2ab,它的变形形式有(a+b) ≥4ab,? ≥ 2
2 2 2 2

?

1 ≥2(a>0),? b +? a≥ a ? b ≥? (a≥0,b≥0),它的变形形式有a+? ? a ? b ? 等;(4)? ab ? ? a a b 2 ? 2 ? b +? a ≤-2(ab<0)等. 2(ab>0),? a b

2

2.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆求”

错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要
条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使用“要 证”“只需证”这样的连接“关键词”.

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2-1 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1 -c).
? 证明

∵a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,

∴要证原不等式成立, 即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c) -c], 也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][( ccc+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).? ① 又(c+a)+(a+b)≥2? (c ? a)(a ? b) >0, (a+b)+(b+c)≥2? (a ? b)(b ? c) >0,

(b+c)+(c+a)≥2? (b ? c)(c ? a ) >0,
三式相乘得①式成立,故原不等式得证.

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?

放缩法证明不等式
3 1 2 n ?1
1 2 1 n
1 n

* 典例3 求证:? -? <1+? + … + ? <2? ( n ∈ N 且n≥2). 2 2

? 证明

∵k(k+1)>k2>k(k-1)(k∈N*且k≥2),

∴?

1 1 1 1 1 1 1 1 <? < ? , 即 ? ? < ? < ? -? . 2 2 k (k ? 1) k k ( k ? 1) k k ?1 k k ?1 k

分别令k=2,3,…,n得
1 <? 1 <1-? 1 -? 1, ? 2

2 3 2 2 1 <? 1 -? 1, 1 <? 1 -? ? 3 4 32 2 3

cc

……

1 -? 1 ,将这些不等式相加得 1 <? 1 -? 1 <? ? 2 n n ?1 n

n ?1 n

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? -? +? -? + …+ ? -? < ? + ? + … + ? <1? + ? ? + … + ? ? , 即 ? ? < ? + 2 2 2 2 n n ?1 2 3 n ?1 n n 2 3 3 4 2 2 3 1 1 1 ? + … + ? <1? , 2 2 n 3 n 1 1 1 1 1 1 ∴1+? -? <1+? + ? + … + ? <1+1? , n 22 32 n2 2 n ?1 1 1 1 1 3 1 * 即? -? <1+? + ? + … + ? <2? ( n ∈ N 且n≥2)成立. n 22 32 n2 2 n ?1

2 n ?1 2

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(1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两边的特点进行恰当放缩,任何不 适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)利用放缩法证明不等式就是舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放 大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数……, 从而达到证明不等式的目的.

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1 1 1 3-1 证明:不等式1+?+?+…+? <2?n (n∈N*). n 3 2 1 1 * ? 证明 证法一:∵?k -?k ?1 =? > ? ( k ∈ N ), k ? k ?1 2 k

∴? <2(?k -?k ?1 ).
分别令k=1,2,3,…,n,则有
1 <2(? -? ),? 1 1 <2(?cc 1 <2(? -? ),? ? 3 -?2 ),……,? <2(?n -?n ? 1 ), 2 1 1 0 n 3 1 1 1 将这些式子相加可得1+?+?+…+? <2?n (n∈N*). n 3 2 1 1 1 ? 证法二:设f(n)=2?n - ? 1 ? ? ??? ? ?, 2 3 n? ? 1

1 k

2

?

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2k ? 1 ? 2 k (k ? 1) ( k ? 1 ? k )2 1 则由f(k+1)-f(k)=2? k ? 1 -2? k -? =? =? >0(k∈ k ?1 k ?1 k ?1

N*),得f(k+1)>f(k), ∴f(n)在n∈N*上是增函数. ∴f(n)≥f(1)=1>0. ∴1+?+?+…+? <2?n (n∈N*).
1 2
1 3
1 n

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?
值为a. (1)求a的值;

柯西不等式与平均值不等式的应用

典例4 (2014福建,21(3),7分)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小

(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
? 解析

(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,

当且仅当-1≤x≤2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)证明:由(1)知p+q+r=3, 又因为p,q,r是正实数, =(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r2≥3.
cc

所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2

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利用柯西不等式或平均值不等式对有关不等式进行证明时,需要对待证不
等式变形,使之与柯西不等式或平均值不等式有相似的结构,从而达到证明 的目的.

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4-1 (2014江苏,21D,10分)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
? 证明

因为x>0,y>0,
cc

3 所以1+x+y2≥3? xy2 >0,

x 2 y >0, 1+x +y≥3?
2

3

3 3 2 xy 2 · x y =9xy. 故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3? 3?

3 2 1 4-2 已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,求? y +? x +? z 的最小值. 3 2 1 ?3 2 1? ? 解析 因为x,y,z>0,x+2y+3z=1,所以? ?x ? x ? y ? z ? ≥? y +? x +? z =(x+2y+3z)· ? ?

?

2 · ? +?2 y · ?+?3z · ?? =(?3 +2+?3 )2=16+8?3 .

3 x

2 y

1 z

cc x 2 y 3z 当且仅当 3 = 2 = 1 ,即x∶y∶z=3∶?3 ∶1时等号成立. x y z 3 2 1 所以? +? +? 的最小值为16+8?3 . x y z

???


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