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数学高二(上)沪教版(数列、等差数列(一))教师版


学员编号: 学员姓名:

年 级:高二 辅导科目:数学

课时数:3 学科教师:





数列、等差数列(一)

授课日期及时段 1、 掌握数列的相关概念 2、 掌握等差数列的定义,同项公式,求和公式 3、 掌握等差数列各种性质 教学内容

/>教学目的

本讲义是适合中等学生使用, 选取的也是一些基础和中等的题目, 强调的是学生对于数列的基础知识, 基础概念的掌握。 【知识梳理】
问题思考: 1、 什么是数列?能否举出一些数列的例子?数列可以非为哪几种类型?数列与集合有何区别? 2、 什么是数列的通项公式? 3、 数列与函数有什么样的关系? 4、 什么是数列的递推关系? 5、 等差数列的定义是什么?通项公式是什么?如何推导的呢? 6、 等差数列的前 n 项和适什么?如何推导?用的是什么方法? 解析: 1、这里把数列与集合对比,加深学生对数列概念的理解。数列研究的是数,而集合研究的可以是数,也可以是人、 物等;数列是有序的,而集合是无序的;数列中的项是可重复的,而集合中的数是不可重复的;记法也是不同的。 2、这里要强调的是并不是所有的数列都有通项公式,而有的数列的通项公式是不唯一的,由数列的前几项可以猜想 出数列的通项公式。 3、数列的实质是函数,但是它是特殊的函数,因为定义域是特殊的。数列有三种表示方法:列举法、图示法、通向 公式法。 4、递推关系是数列所特有的表示法,它包含两个部分,一是递推关系,二是初始条件,二者缺一不可。 5、定义一定要说的严密,是从第二项起后项减前项是常数,主要强调数列的通项公式的推导方法---叠加法。 6、这里给出两个等差数列的前 n 项和的公式, Sn ? na1 ? 强调等差数列的求和公式的推导方法---倒序相加法。

n(a 1 ? a n ) n(n ? 1) ;在适当的适合选择适当的公式。 d? 2 2

【典型例题分析】
例 1、写出下面数列的一个通项公式,使它的前 n 项分别是下列各数:

1. 0,1,0,1,0,1
2. ?

2 3 4 5 6 , ,? , ,? 35 3 8 15 24
1

3.10,100,1000,10000

4.?1,7,?13,19,?25,31

5.

5 10 17 26 , , , 3 8 15 24

解析:1、

1 ? ( ?1) n , 2
n

2、分子分母分开考虑, (?1)

n ?1 (n ? 1) 2 ? 1

3、 10

n

4、 (?1)n (6n ? 5)

5、

( n ? 1) 2 ? 1 ( n ? 1) 2 ? 1

变式练习: 1、根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有___________________个点.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2、

1 1 1 1 ,? , ,? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9

3、9,99,999,9999,99999,? 4、7,77,777,7777,77777,? 解析:1、 n ? n ? 1;2、 (?1)
2

n ?1

7 1 n n ;3、 10 ? 1 ;4、 (10 ? 1) 9 (2n ? 1)(2n ? 1)
2

例 2、已知数列的通项公式 an ? ?n ? 7n ? 8, (1)问

45 是否是数列中的项?(2)求数列的最大项的值。 4

解析:本题就是应用函数的思想来解决数列的问题,注意数列的项数(即自变量)为正整数 由 an ?

45 1 13 45 7 2 81 , 得n ? , n ? 所以 不是数列中的项 。 an ? ?n 2 ? 7n ? 8 ? ? (n- ) ? 得 n=3,或 n=4 时取得最 4 2 2 4 2 4

大值为 20。 特别提醒:必须注意到 n 只能取正整数。 变式练习:
2

1、 数列 ?an ?中, an ?

n (n ? N ? ) ,则数列中数值最大的项是第 13 项 n ? 169
2

2、 an ? n2 ? an ? 2 是递增数列,求实数 a 的取值范围。答案:a<3 例 3、在等差数列 {an } 中, (1) a1 ? 20, an ? 54, sn ? 999, 求d与n;

1 , n ? 37, sn ? 629, 求a1与an ; 3 5 1 (3) a1 ? , d ? ? , sn ? ?5, 求n与an ; 6 6
(2) d ? (4) d ? 2, n ? 15, an ? ?10, 求a1与sn 解析:根据知三求二的原理,让学生熟练掌握公式的变式应用,

17 ;(2)a1 ? 11, an ? 23; 13 答案: 3 (3)n ? 15, an ? ? ;(4)a1 ? ?38, sn ? ?360 2 (1)n ? 27, d ?
变式练习: 1、已知{an}为等差数列。 (1)如果 a1=100,a8=60,求 S8. (2)如果 a1=3,a2=5,求 S7. 解析:S8=640

S7=63

2、已知数列{an}的前 n 项和 Sn= 解析:an=2n+

n

2

3 * ? n( n ∈ N ),求数列{an}的通项公式。 2

1 2

3、一个等差数列共 2n+1 项,其中奇数项之和为 36,偶数项之和为 30,求此数列第 n+1 项的值。 解析:6 4、已知等差数列{an}中,a3 a7=-12,a2

+a6=-4,求等差数列{an}的通项公式。

解析:根据已知条件,利用等差数列的通项公式不难求出等差数列的通项为 an= 2n-12 或 an=8-2n,但是值得注意的 是本题有两种情况需要讨论。an= 2n-12 或 an=8-2n

例 4、设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

3

解析: 法一:利用基本元素分析法
7?6 ? S ? 7a 1 ? d?7 ? ? 7 2 设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ?S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 15 1 ? 2 ?
?a ? ?2 n(n ? 1) ∴ ? 1 ∴ Sn ? ?2 ? d ? 1 2 ?



Sn n ?1 n 5 ? ?2 ? ? ? 此式为 n 的一次函数 n 2 2 2 Sn 1 a }为等差数列∴ Tn ? n 2 ? n 4 4 n
2

∴ {

法二:{an}为等差数列,设 Sn=An +Bn
1 ? A? 2 ? ? S ? A ? 7 ? 7 B ? 7 1 5 ? ? 2 ∴ ? 7 解之得: ? ∴ Sn ? n 2 ? n ,下略 2 5 2 2 ? ?B ? ? ?S15 ? A ? 15 ? 15B ? 75 ? 2 ?

注:法二利用了等差数列前 n 项和的性质 变式练习: 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 解析:由 Sn=12n-n2 知 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数(n∈N*) ,可知{an}为等差数列,求出 an,然后再判 断哪些项为正,哪些项为负,最后求出 Tn. 解:当 n=1 时,a1=S1=12-12=11; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n. ∵n=1 时适合上式, ∴{an}的通项公式为 an=13-2n. 由 an=13-2n≥0,得 n≤

13 , 2

即当 1≤n≤6(n∈N*)时,an>0;当 n≥7 时,an<0. (1)当 1≤n≤6(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+an=12n-n2. (2)当 n≥7(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+?+|an| =(a1+a2+?+a6)-(a7+a8+?+an) =-(a1+a2+?+an)+2(a1+?+a6) =-Sn+2S6=n2-12n+72. ∴Tn= ?
2 ? ?12n ? n 2 ? ?n ? 12n ? 72

(1 ? n ? 6, n ? N * ), (n ? 7, n ? N * ).

评述:此类求和问题先由 an 的正负去掉绝对值符号,然后分类讨论转化成{an}的求和问题. 例 5、已知数列 {an } 的前 n 项和分别为 (1)sn ? 2n2 ? n(2)sn ? n2 ? n ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解析:本题为理解数列的通项公式 an 与 s n 之间的关系式的应用。

4

n=1 时, 也满足, 所以数列的通项公式为 an ? 4n ? 3, (1)当n ? 1时, a1 ? s1 ? 1; n ? 2时, an ? sn ? sn?1 ? 4n ? 3, 经检验, (2) (2)当n ? 1 时, a1 ? s1 ? 3; n ? 2时, an ? sn ? sn?1 ? 2n, 经检验,当 n=1 时,不成立。? an ? ?

?3,(n ? 1) ?2n,(n ? 2)

本题要让学生注意检验 n=1 的情形,并且根据两种情况分析总结什么情况的时候 n=1 满足公式,什么时候不满足。进 而可以得出结论,等差数列前 n 项和的特征是一个关于 n 的二次函数,并且常数项为 0。如果常数项不为 0,那么就 是从第二项起是个等差数列。 变式练习:正数数列 {an } 中前 n 项和 s n 与通项公式 an 之间满足 2 sn ? an ? 1
2 ? ?4sn ? (an ? 1) ? 4an ? (an ? an ?1 ? 2)(an ? an ?1 ) ? 解析: ? 2 ? ?4sn ?1 ? (an ?1 ? 1)

试求 s n 关于项数 n 的表达式。

【课堂小练】 1、一个等差数列的前 4 项的和为 40,最后 4 项的和为 80,所有项的和是 210,则项数 n 是 ( C ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2、已知等差数列共有 10 项,其奇数项的和为 15,偶数项的和为 30,则该等差数列的公差为 (C) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3、若 {a n } 是等差数列,首项 a 1 ? 0 , a 2007 ? a 2008 ? 0 , a 2007 ? a 2008 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 n是 A. 4012 (C) B. 4013 C. 4014 D. 4015

4、已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 4n ? 5 ,则通项公式 a n ?

an ?

?

2( n?1) 5?3n( n?2)

5、已知正数数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,且对于任意的 n ? N ? ,有 S n ? (1)求证 {a n } 为等差数列; (2)求 {a n } 的通项公式; 解析: (1)证明略(2)2n-1

1 (a n ? 1) 2 4

【课堂总结】
主要是回顾一些数列的有关定义和常用的解题方法 1.深刻理解等差数列的定义,紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点. 2.等差数列中,已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个,便可求出其余两个. 3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是: (1)利用定义,证明 an-an-1(n≥2)为常数; (2)利用等差中项,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2). 4.等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,数列{an}为递增数列,Sn 有最小值;当 a1>0,d<0 时,数列{an}为递 减数列,Sn 有最大值;当 d=0 时,{an}为常数列. 5.复习时,要注意以下几点: (1)深刻理解等差数列的定义及等价形式,灵活运用等差数列的性质. (2)注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

5

【课后练习】 3 1 5 9 1、等差数列 , ? , ? , ? ,?的一个通项公式是( ) 2 2 2 2 1 3 7 3 A. 2 n ? B. ? 2 n C. ? 2 n D. ? 2 n 2 2 2 2 2、下列四个命题:①数列 6 , 4 , 2 , 0 是公差为 2 的等差数列;②数列 a , a ? 1 , a ? 2 , a ? 3 是公差为 a ? 1 的
等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成 an ? an ? b 的形式( a 、 b 为常数) ;④数列 ?2n ? 1 ? 是等差数列.其 中正确命题的序号是( A.①② ) B.①③ C.②③④ ) D. 120 )
?

D.③④

3、 ??? C 中,三内角 ? 、 ? 、 C 成等差数列,则 ?? ? ( A. 30
?

B. 60

?

C. 90

?

4、已知 a ?

1 1 ,b ? ,则 a 、 b 的等差中项是( 3? 2 3? 2
B. 2 C.

A. 3

1 3

D.

1 2


5、已知等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, an 的公差为 d ,则 ca1 , ca2 , ca3 ,?, can ( c 为常数,且 c ? 0 )是( A.公差为 d 的等差数列 C.非等差数列 6、 2000 是等差数列 4 , 6 , 8 ,?的( A.第 998 项 B.第 999 项 ) C.第 1001 项 D.第 1000 项 ) D. 45 B.公差为 cd 的等差数列 D.以上都不对

7、在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 等于( A. 10 B. 42 C. 43 )

8、在等差数列 40 , 37 , 34 ,?中第一个负数项是( A.第 13 项 B.第 14 项

C.第 15 项 )

D.第 16 项

9、在等差数列 ?an ? 中,已知 a15 ? 10 , a45 ? 90 ,则 a60 等于( A. 130 B. 140 C. 150

D. 160 )

10、在 a 和 b ( a ? b )两个数之间插入 n 个数,使它们与 a 、 b 组成等差数列,则该数列的公差为( A.

b?a n

B.

b?a n ?1

C.

a?b n ?1

D.

b?a n?2


11、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A. 120 12、 lg B. 105 C. 90 D. 75 )

?

3 ? 2 与 lg

?

?

3 ? 2 的等差中项是(

?

6

A. 0

B. lg

3? 2 3? 2

C. lg 5 ? 2 6

?

?

D. 1

13、若 a ? b ,两个等差数列 a , x1 , x2 , b 与 a , y1 , y2 , y3 , b 的公差分别为 d1 , d2 ,则

d1 ?( d2



A.

3 2

B.

2 3

C.

4 3

D.

3 4


14、一个首项为 23 ,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则它的公差是( A. ? 2 B. ? 3 C. ? 4 D. ? 6 ) D. 300 ) 15、在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 的值等于( A. 45 B. 75 C. 180

16、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,则 a3 ? a6 ? a9 的值为( A. 30 B. 27 C. 24 D. 21

17、设数列 ?an ? 是递增等差数列,前三项的和为 12 ,前三项的积为 48 ,则它的首项是( A. 1 B. 2 C. 4 D. 6



18、高山上的温度从山脚起,每升高 100 米降低 0.7 ℃,已知山顶的温度是 14.1 ℃,山脚的温度是 26 ℃,则山脚到 山顶的高度为( A. 1500 米 ) B. 1600 米 C. 1700 米 D. 1800 米

19、等差数列 ?an ? 的公差是 2 , a1 ? a4 ? ? ?a97 ? ?50 ,则 a3 ? a6 ? ? ?a99 ? ____72_____. 20、定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和.若数列 ?an ? 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5 ,那么 a18 的值为____3____,这个数列 的通项公式 an ? _______ 2 ?
n 1? (-1) ____________. 2

22、在 1 和 2 之间插入 n 个数,使它们与 1 、 2 组成等差数列,则该数列的公差为____ 24 、等差数列 ?an ? 中, a1 ? _____

1 ____. n ?1

1 , d ? 0 ,且从第 10 项开始每项都大于 1 ,则此等差数列公差 d 的取值范围是 25

8 3 ?d ? ______. 75 25

25、已知{an}为等差数列,前 10 项的和 S10=100,前 100 项的和 S100=10,求前 110 项的和 S110. 解析:方程的思想,将题目条件运用前 n 项和公式,表示成关于首项 a1 和公差 d 的两个方程. 设{an}的首项为 a1,公差为 d,则

1 ? 10a1 ? ? 10 ? 9d ? 100, ? ? 2 ? ?100a ? 1 ? 100 ? 99d ? 10, 1 ? 2 ?

7

11 ? a1 ? ? , ? ? 50 解得 ? ?d ? 1099 . ? 100 ? 1 ∴S110=110a1+ ×110×109d=-110. 2 评述:解决等差(比)数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法,即运用条件转化成关于 a1 和 d(q)的 方程;②巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地,运用数列的性质, 可化繁为简.

8


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