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基本不等式练习题


基本不等式
一.选择题(共 26 小题) 1.若实数 a,b 满足 + = A. 2.若直线 A.2 B.2 ,则 ab 的最小值为( C.2 ) D.4 )

=1(a>0,b>0)过点(1,1) ,则 a+b 的最小值等于( B.3
2

C.4

D.5 ]上单调递减,

3.如果函数 f(x)= (m﹣2)x +(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[ 那么 mn 的最大值为( ) A.16 B.18

C.25

D.

4.在 R 上定义运算⊕ :x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立, 则实数 a 的取值范围是( ) A.[﹣1,7] B.(﹣∞,3] C.(﹣∞,7] D.(﹣∞,﹣1]∪ [7, +∞) 5.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 A.2 B.2
x y

的最小值是( C.4

) D.2

6.设 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(其中 a>0,b>0)的最

大值为 3,则 A.4
2

的最小值为( B.3

) C.2
2

D.1 )

7. 已知直线 l1: a x+y+2=0 与直线 l2: bx﹣ (a +1) y﹣1=0 互相垂直, 则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4 C.2 D.1
2

8.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=16a1 ,则 + 的 最小值为( A. ) B. C. D.不存在

9.若 a>0,b>0,且 a+2b﹣2=0,则 ab 的最大值为(
第1页



A.

B.1

C.2

D.4

10.已知不等式 mn>0,则 A.

的解集为{x|a<x<b},点 A(a,b)在直线 mx+ny+1=0 上,其中 ) C.9 ,∠ BAC= ) D.24 D.12 ,若△ MBC,△ MCA,△ MAB

的最小值为( B.8

11.已知 M 是△ ABC 内的一点,且 的面积分别为 ,x,y,则 A.16 B.18 的最小值为(

C.20

12.已知向量 =(3,﹣2) , =(x,y﹣1)且 ∥ ,若 x,y 均为正数,则 + 的最小值是 ( A. ) B. C.8 D.24

13.已知 a>0,b>0,c>0,且 ab=1,a +b +c =4,则 ab+bc+ac 的最大值为( A. B. C.3 D.4

2

2

2



14.设 a>0,b>0,A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0) ,若 A、B、C 三点共线,则 + 的最小值是( A.3+2 ) B.4 C.6 D.

15. 已知 m, n 是满足 m+n=1, 且使 则 α 的值为( A.﹣1 ) B.

取得最小值的正实数. 若曲线 y=x 过点 P (m, n) ,

α

C.2

D.3

16.若正数 x,y 满足 3x+y=5xy,则 4x+3y 的最小值是( A.2 B.3 C.4 17.若 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A. B.3 C.

) D.5 ) D.4

第2页

18.已知正实数 m,n 满足 m+n=1,且使 则 a 的值为( A.﹣1 ) B.

取得最小值.若曲线 y=x 过点 P( , ) ,

a

C.2

D.3

19.已知 a>0,b>1 且 2a+b=4,则 + A.8 B.4

的最小值为( C.2

) D.

20.若 4 +4 =1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,1] B.[﹣1,0]
a b

x

y

) C.[﹣1,+∞)

D.(﹣∞,﹣1] )

21.设 a>0,b>0,若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.8 B. C.4

的最小值为( D.

22.已知 D、E 分别是△ ABC 的边 AB、AC 上的点,且 BD=2AD,AE=2EC,点 P 是线段 DE 上的任意一点,若 A. =x B. +y ,则 xy 的最大值为( C. ) D.

23.设 a>0,b>0.若 4a+b=ab,则 a+b 的最小值是( A.1 B.5 C.7

) D.9 )

24.小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则( A.a<v< B.v= C. D. <v< v=

25.已知 x>0,y>0,若 A.m≥4 或 m≤﹣2 B.m≥2 或 m≤﹣4
2

恒成立,则实数 m 的取值范围是( C.﹣2<m<4 D.﹣4<m<2



26. 已知二次函数 f (x) =ax +2x+c 的值域是[0, +∞) , 那么 A.1 B.2 C.

的最小值是 ( D.3



二.填空题(共 4 小题) 27.设 x,y 是正实数,且 x+y=1,则 的最小值是
第3页



28.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分) ,则 其边长 x 为 (m) .

29.实数 a>b>c 且 a+b=1﹣c,a?b=c(c﹣1) ,则 c 的取值范围为 30.设实数 a,b 满足 lg(a﹣1)+lg(b﹣1)=lg4,则 a?b 的取值范围是

. .

第4页

基本不等式
一.选择题(共 26 小题) 1. (2015?湖南)若实数 a,b 满足 + = A. B.2 ,则 ab 的最小值为( C.2 ) D.4

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由 + = ,可判断 a>0,b>0,然后利用基础不等式
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即可求解 ab

的最小值 解答: 解:∵ + = ∴ a>0,b>0, ∵ ∴



(当且仅当 b=2a 时取等号) , ,

解可得,ab ,即 ab 的最小值为 2 , 故选:C. 点评: 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用,属于基础试题

2. (2015?福建)若直线 A.2 B.3

=1(a>0,b>0)过点(1,1) ,则 a+b 的最小值等于( C.4 D.5



考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式. 分析: 将(1,1)代入直线得: + =1,从而 a+b=( + ) (a+b) ,利用基本不等式求出即
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可. 解答: 解:∵ 直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1) , ∴ + =1(a>0,b>0) , 所以 a+b=( + ) (a+b)=2+ + ≥2+2 当且仅当 = 即 a=b=2 时取等号, ∴ a+b 最小值是 4, 故选:C. 点评: 本题考察了基本不等式的性质,求出 + =1,得到 a+b=( + ) (a+b)是解题的关
第5页

=4,

键.
2

3. (2015?四川)如果函数 f(x)= (m﹣2)x +(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[ 上单调递减,那么 mn 的最大值为( A.16 B.18 ) C.25 D.

]

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;利用导数研究函数的极值. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;不等式的解法及应用. 分析: 2 函数 f(x)= (m﹣2)x +(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[
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]上单调递减,则

f′ (x)≤0,故(m﹣2)x+n﹣8≤0 在[ ,2]上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8 是一次函 数,在[ ,2]上的图象是一条线段.故只须在两个端点处 f′ ( )≤0,f′ (2)≤0 即 可.结合基本不等式求出 mn 的最大值. 解答: 2 解:∵ 函数 f(x)= (m﹣2)x +(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[ 减, ∴ f′ (x)≤0,故(m﹣2)x+n﹣8≤0 在[ ,2]上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8 是一次函 数,在[ ,2]上的图象是一条线段.故只须在两个端点处 f′ ( )≤0,f′ (2)≤0 即 可.即

]上单调递

由(2)得 m≤ (12﹣n) , ∴ mn≤ n(12﹣n)≤ 验 m=3,n=6 满足(1)和(2) . 故选:B. 解法二: ∵ 函数 f(x)= (m﹣2)x +(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[ ∴ ① m=2,n<8 对称轴 x=﹣ ,
2

=18,当且仅当 m=3,n=6 时取得最大值,经检

]上单调递减,

第6页















设 y= ,y′ =



当切点为(x0,y0) ,k 取最大值. ① ﹣ =﹣2.k=2x ,

∴ y0=﹣2x0+12,y0= ∵ x=3>2 ∴ k 的最大值为 3×6=18

=2x0,可得 x0=3,y0=6,

第7页

② ﹣

=﹣ . ,k=



y0=

=



2y0+x0﹣18=0, 解得:x0=9,y0= ∵ x0<2 ∴ 不符合题意. ③ m=2,n=8,k=mn=16 综合得出:m=3,n=6 时 k 最大值 k=mn=18, 故选;B 点评: 本题综合考查了函数方程的运用,线性规划问题,结合导数的概念,运用几何图形判 断,难度较大,属于难题. 4. (2015?河东区一模)在 R 上定义运算⊕ :x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a) ?x≤a+2 都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.[﹣1,7] B.(﹣∞,3] C.(﹣∞,7] D.(﹣∞,﹣1]∪ [7, +∞) 考点: 其他不等式的解法. 专题: 压轴题;新定义;不等式的解法及应用. 分析: 由 x?y=x(1﹣y) ,把(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2,由任意 x>2,
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不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立,知 a≤

.令 f(x)=

,x>2,则 a≤[f

(x)]min,x<2.由此能求出结果. 解答: 解:∵ x?y=x(1﹣y) , ∴ (x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2, 2 ∴ ﹣x +x+ax﹣a≤a+2, 2 a(x﹣2)≤x ﹣x+2, ∵ 任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立, ∴ a≤ .

令 f(x)=

,x>2,

则 a≤[f(x)]min,x>2 而 f(x)= =

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=(x﹣2)+ ≥2

+3 +3=7,

当且仅当 x=4 时,取最小值. ∴ a≤7. 故选:C. 点评: 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题,关键是理解定 义,并会用定义来解题.
x y

5. (2015?武清区模拟)已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 A.2 B.2 C.4

的最小值是( D.2



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出. x y x y x+3y 解答: 解:∵ lg2 +lg8 =lg2,∴ lg(2 ?8 )=lg2,∴ 2 =2,∴ x+3y=1.
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∵ x>0,y>0,∴

=

=2+

=4,当且仅

当 x=3y= 时取等号. 故选 C. 点评: 熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键.

6. (2014 秋?许昌月考)设 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(其

中 a>0,b>0)的最大值为 3,则 A.4 B.3

的最小值为( C.2

) D.1

考点: 基本不等式;简单线性规划. 专题: 计算题;作图题. 分析:

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本题考查的知识点是线性规划, 处理的思路为: 根据已知的约束条件



画出满足约束条件的可行域,再根据目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 3, 求出 a,b 的关系式,再利用基本不等式求出 的最小值.

第9页

解答: 解:满足约束条件 的区域是一个三角形,如图

3 个顶点是 A(﹣3,0) ,B(﹣2,0) ,C( 1,2) , 由图易得目标函数在(1,2)取最大值 3, 即 a+2b=3. ∴ = (a+2b)?( + ) )

= (1+4+

≥ ×9=3(当且仅当 a=b=1 时取“=”) . 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是线性规划, 作出线性规划的图形是关键, 明确目标函数过点 C (1, 2)其最优解为 3 是难点,属于中档题. 7. (2015?嘉兴一模)已知直线 l1:a x+y+2=0 与直线 l2:bx﹣(a +1)y﹣1=0 互相垂直, 则|ab|的最小值为( ) 5 A. B.4 C.2 D.1 考点: 基本不等式;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知直线的斜率存在,利用直线的垂直关系,求出 a,b 关系,然后求出 ab 的 最小值. 解答: 解:∵ 直线 l1 与 l2 的斜率存在,且两直线垂直, 2 2 ∴ a b﹣(a +1)=0,
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2

2

∴ b=

>0,

当 a>0 时,|ab|=ab=a+ ≥2;当 a<0 时,|ab|=﹣ab=﹣a﹣ ≥2, 综上,|ab|的最小值为 2.
第 10 页

故选 C 点评: 此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系,以及基本不等式的运用,熟练掌握 直线垂直时满足的关系是解本题的关键. 8. (2015?河南模拟)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=16a1 ,则 + 的最小值为( A. B.
2

) C. D.不存在

考点: 基本不等式;等比数列的通项公式. 专题: 常规题型;高考数学专题. 2 分析: 应先从等比数列入手,利用通项公式求出公比 q,然后代入到 aman=16a1 中,可得到 关于 m,n 的关系式,再利用基本不等式的知识解决问题. 解答: 解:设正项等比数列{an}的公比为 q,易知 q≠1,由 a7=a6+2a5,得到 a6q=a6+2 ,解
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得 q=﹣1 或 q=2, 因为{an}是正项等比数列,所以 q>0,因此,q=﹣1 舍弃. 所以,q=2 因为 aman=16a1 ,所以
2

,所以 m+n=6, (m>0,n>0) ,

所以 当且仅当

≥ m+n=6,即 m=2,n=4 时等号成立.



故选 A 点评: 对等比数列的考查一定要突出基本量思想,常规思路一般利用同项、求和公式,利用 首项,公比表示已知,进一步推出我们需要的隐含条件或结论;基本不等式要重视其 适用条件的判断,这里容易在取“=”时出错. 9. (2015?泉州校级模拟)若 a>0,b>0,且 a+2b﹣2=0,则 ab 的最大值为( A. B.1 C.2 D.4 )

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由于 a>0,b>0,a+2b=2,故可利用基本不等式求 ab 的最大值. 解答: 解: :∵ a>0,b>0,a+2b=2 ∴
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∴ ab

当且仅当 a=2b=1 即 a= ,b=1 时取等号

第 11 页

∴ ab 的最大值为 故选 A 点评: 本题以等式为载体,考查基本不等式,关键是注意基本不等式的使用条件:一正,二 定,三相等.

10. (2015?江西一模)已知不等式 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 A. B.8

的解集为{x|a<x<b},点 A(a,b)在直线 的最小值为( C.9 ) D.12

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由不等式 ,解得﹣2<x<﹣1.可得 a=﹣2,b=﹣1.由于点 A(﹣2,﹣1)
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在直线 mx+ny+1=0 上,可得 2m+n=1.再利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 解答: 解:不等式 ?(x+2) (x+1)<0,解得﹣2<x<﹣1. ∴ 不等式 的解集为{x|﹣2<x<﹣1},

∴ a=﹣2,b=﹣1. ∵ 点 A(﹣2,﹣1)在直线 mx+ny+1=0 上, ∴ ﹣2m﹣n+1=0,化为 2m+n=1. ∵ mn>0, ∴ = =5+ =9, 当且仅当 m=n= 时

取等号. ∴ 的最小值为 9.

故选:C. 点评: 本题考查了分式不等式的解法、基本不等式的性质,属于基础题. 11. (2015?烟台一模)已知 M 是△ ABC 内的一点,且 △ MCA,△ MAB 的面积分别为 ,x,y,则 A.16 B.18 的最小值为( C.20 ,若△ MBC,

,∠ BAC= ) D.24

考点: 基本不等式;平面向量数量积的运算. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 由 ,∠ BAC= ,利用数量积运算可得
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,即

第 12 页

bc=4.利用三角形的面积计算公式可得 S△ABC= △ MAB 的面积分别为 ,x,y.可得 = 解答: 解:∵ ∴ ∴ S△ABC= = = ,∠ BAC= ,

=1.已知△ MBC,△ MCA,

,化为 x+y= .再利用基本不等式 即可得出.

,∴ bc=4. =1.

∵ △ MBC,△ MCA,△ MAB 的面积分别为 ,x,y. ∴ ∴ = ,化为 x+y= . = =18,当且仅当

y=2x= 时取等号. 故 的最小值为 18.

故选:B. 点评: 本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能 方法,属于中档题.

12. (2015?岳阳二模)已知向量 =(3,﹣2) , =(x,y﹣1)且 ∥ ,若 x,y 均为正数, 则 + 的最小值是( A. ) B. C.8 D.24

考点: 基本不等式;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理可得 2x+3y=3,再利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 解答: 解:∵ ,∴ ﹣2x﹣3(y﹣1)=0,化为 2x+3y=3,
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∴+ = 且仅当 2x=3y= 时取等号. ∴ + 的最小值是 8.

=

=8,当

第 13 页

故选:C. 点评: 本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”和基本不等式,属于中档题. 13. (2015?山东校级模拟)已知 a>0,b>0,c>0,且 ab=1,a +b +c =4,则 ab+bc+ac 的 最大值为( ) A. B. C.3 D.4 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 由基本不等式 a +b =4﹣c ≥2ab=2 可求 c 的范围, 然后由 a+b 从而可求 ab+acbc 的最大值 2 2 2 解答: 解:∵ a +b +c =4,ab=1
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2

2

2

可求 a+b 的范围,

∴ a +b =4﹣c ≥2ab=2 当且仅当 a=b=1 时取等号 2 ∴ c ≤2 ∵ c>0 ∴ 0 , 当 c= 时,a=b=1 ∴ (a+b)c 则 ab+bc+ac=1+(a+b)c ∴ ab+acbc 的最大值为 1+2 故选 A 点评: 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用,注意由已知分离出 c 是求解的关键 14. (2015?哈尔滨校级四模)设 a>0,b>0,A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0) ,若 A、B、C 三点共线,则 + 的最小值是( A.3+2 B.4 ) C.6 D.

2

2

2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用向量共线定理可得 2a+b=1.再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: =(a﹣1,1) , =(﹣b﹣1,2) ,
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∵ A、B、C 三点共线, ∴ 2(a﹣1)+b+1=0, 化为 2a+b=1. ∵ a>0,b>0,∴ + =(2a+b) ( + ) =3+ =3+2 ,当且仅当 b= a= ﹣1 时取等号.

故选:A. 点评: 本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.

第 14 页

15. (2015?泰安一模)已知 m,n 是满足 m+n=1,且使 y=x 过点 P(m, n) ,则 α 的值为( A.﹣1 B.
α

取得最小值的正实数.若曲线

) C.2 D.3

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由基本不等式易得 m= 且 n= 时取到最小值,可得
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= ,解方程可得.

解答: 解:∵ 正实数 m,n 是满足 m+n=1, ∴ =( ) (m+n) ≥10+2 =16,

=10+ +

当且仅当 =
α

即 m= 且 n= 时取到最小值, = ,

∴ 曲线 y=x 过点 P( , ) ,∴ 解得 α=

故选:B 点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及幂函数的运算,属基础题. 16. (2015?山东一模)若正数 x,y 满足 3x+y=5xy,则 4x+3y 的最小值是( A.2 B.3 C.4 D.5 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 已知式子变形可得 +
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=1,进而可得 4x+3y=(4x+3y) (

+

)=

+

+



由基本不等式求最值可得. 解答: 解:∵ 正数 x,y 满足 3x+y=5xy, ∴ = + =1, + ) =5

∴ 4x+3y=(4x+3y) ( = + + ≥ = +2

当且仅当

即 x= 且 y=1 时取等号,

∴ 4x+3y 的最小值是 5 故选:D
第 15 页

点评: 本题考查基本不等式求最值,1 的代换是解决问题的关键,属基础题. 17. (2015?淮北二模)若 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A. B.3 C. D.4 )

考点: 基本不等式. 专题: 不等式. 分析: 首先分析题目由已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值,猜想到基本不等 式的用法,利用 a+b≥2 代入已知条件,化简为函数求最值 解答: 2 解:考察基本不等式 x+2y=8﹣x?(2y)≥8﹣( ) (当且仅当 x=2y 时取等号)
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整理得(x+2y) +4(x+2y)﹣32≥0 即(x+2y﹣4) (x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, 所以 x+2y≥4(当且仅当 x=2y 时取等号) , 则 x+2y 的最小值是 4, 故选:D. 点评: 本题主要考查基本不等式的用法,对于不等式 a+b≥2 应用非常广泛,需要同学们多加注意,属于基础题.

2

在求最大值最小值的问题中

18. (2015?济南二模)已知正实数 m,n 满足 m+n=1,且使 过点 P( , ) ,则 a 的值为( A.﹣1 B. ) C.2

取得最小值.若曲线 y=x

a

D.3

考点: 基本不等式. 专题: 不等式. 分析: 先根据基本不等式等号成立的条件求出 m,n 的值,得到点 P 的坐标,再代入到函数 的解析式中,求得答案. 解答: 解: =(m+n) ( + )=1+16+ + ≥17+2 =25,当且仅当 n=4m,即
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m= ,n= 时取等号, ∴ 点 P( ∴= ∴ α= . 故选:B 点评: 本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式,属于基础题. , ) , ,

第 16 页

19. (2015?重庆模拟)已知 a>0,b>1 且 2a+b=4,则 + A.8 B.4 C.2

的最小值为( D.



考点: 基本不等式. 专题: 导数的综合应用. 分析: a>0,b>1 且 2a+b=4,由 b=4﹣2a>0,解得 0<a<2.则 +
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=

=f(a) ,

利用导数研究其单调性极值与最值即可得出. 解答: 解:∵ a>0,b>1 且 2a+b=4, ∴ b=4﹣2a>1,解得 0<a< . 则 + = = =f(a) ,

∴ f′ (a)=

+

=





时,f′ (a)<0,此时函数单调递减;当 >

时,f′ (a)>0,此时

函数单调递增. ∴ 当 a= 时,f(a)取得极小值即最小值, ∴+ 的最小值为 . = .

故选:D. 点评: 本题考查了导数研究其单调性极值与最值, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 20. (2015?顺义区一模)若 4 +4 =1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,1] B.[﹣1,0] C.[﹣1,+∞) 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 运用基本不等式得出 1
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x

y

) D.(﹣∞,﹣1]

,化简计算即可得出;x+y≤﹣1,

x y x y x+y x y 解答: 解;∵ 4 +4 =1,4 >0,4 >0,4 =4 ?4 .

∴ 1

(x=y 时,等号成立) ,

化简计算即可得出;x+y≤﹣1, ∴ x+y 的取值范围: (﹣∞,﹣1]. 故选:D 点评: 本题考查了运用基本不等式求解变量的范围问题,注意化简运算,属于中档题.

第 17 页

21. (2015?和平区校级三模)设 a>0,b>0,若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 为( A.8 ) B. C.4 D.

a

b

的最小值

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: a b 2 由条件可得 3 ?3 =3 ,故 a+b=2,
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= (a+b) (

) ,展开后利用基本不等式求

出它的最小值. a b a b 2 解答: 解:∵ a>0,b>0,3 是 3 与 3 的等比中项,3 ?3 =3 ,故 a+b=2. ∴ = (a+b) ( = )= ( + )= +2+ + ≥ +2 = ,

当且仅当 则

时,等号成立,

的最小值为 ,

故选 D. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质, 基本不等式的应用, 注意检验等号成立的条件, 式子的变形是解题的关键,属于中档题. 22. (2015?河南一模) 已知 D、 E 分别是△ ABC 的边 AB、 AC 上的点, 且 BD=2AD, AE=2EC, 点 P 是线段 DE 上的任意一点,若 A. B. =x +y ,则 xy 的最大值为( C. D. )

考点: 基本不等式;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 如图所示, , .由于点 P 是线段 DE 上的任意一点,利用向量共线
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定理可得:存在实数 k 使得 =x +y

=k

+

,与

比较可得 2x+y= ,再利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解:如图所示, , .

∵ 点 P 是线段 DE 上的任意一点, ∴ 存在实数 k 使得 =k + ,

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=x

+y

比较可得:



∴ 2x+y= , ∴ 化为 xy≤ 故选:B. , ,当且仅当 2x=y= 时取等号.

点评: 本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 23. (2015?汇川区校级三模)设 a>0,b>0.若 4a+b=ab,则 a+b 的最小值是( A.1 B.5 C.7 D.9 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 a>0, b>0, 4a+b=ab, 可得
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, 解得 a>1. a+b=a+

=



再利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵ a>0,b>0,4a+b=ab,∴ ∴ a+b=a+ =

,解得 a>1. +5=9, 当且仅当 a=3, b=6 时取

等号. ∴ a+b 的最小值是 9. 故选:D. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 24. (2012?陕西)小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速 为 v,则( ) A.a<v< B.v= C. D. <v< v=

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题.
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分析: 设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b, 行驶的路程 S, 则 v=

=

及 0<a<b,

利用基本不等式及作差法可比较大小 解答: 解:设小王从甲地到乙地按时速分别为 a 和 b,行驶的路程 S 则 v= =

∵ 0<a<b ∴ a+b ∴ >0

∵ v﹣a= ∴ v>a

=

=

综上可得, 故选 A 点评: 本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用, 比较法中的比差法在比较大小中的 应用.

25. (2012?济南三模)已知 x>0,y>0,若 围是( ) A.m≥4 或 m≤﹣2

恒成立,则实数 m 的取值范

B.m≥2 或 m≤﹣4

C.﹣2<m<4

D.﹣4<m<2

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先利用基本不等式求得
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的最小值,然后根据

恒成立,求得

m +2m<8,进而求得 m 的范围. 解答: 解: ≥2 =8 若
2

2

恒成立,则使 8>m +2m 恒成立,

2

∴ m +2m<8,求得﹣4<m<2 故选 D 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用. 考查了学生分析问题和解决问题的 能力,属于基础题. 26. (2012?鞍山校级二模) 已知二次函数 ( f x) =ax +2x+c 的值域是[0, +∞) , 那么 的最小值是( )
2

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A.1

B.2

C.

D.3

考点: 基本不等式;二次函数的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用二次函数的性质可得 ac=1,且 a 和 c 都是正数,把要求的式子化为(a+c)﹣
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,故当 a+c 最小时, (a+c)﹣ 的最小值为 2,由此求得 的最小值.

最小为 1,由基本不等式求得 a+c

2 解答: 解: :∵ 二次函数 f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞) , ∴ a>0,△ =4﹣4ac=0, ∴ a>0,c>0,ac=1.



= ,

+

=

=

=(a+c)



故当 a+c 最小时, (a+c)﹣ 而 a+c≥2 =2,故当 a+c=2 时,

最小. =(a+c)﹣ 最小为 2﹣1=1,

故选 A. 点评: 本题主要考查二次函数的性质,基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子 的变形是解题的关键,属于基础题. 二.填空题(共 4 小题) 27. (2014?江苏模拟)设 x,y 是正实数,且 x+y=1,则 的最小值是 .

考 基本不等式. 点: 专 计算题;压轴题;不等式的解法及应用. 题: 分 该题是考查利用基本不等式求最值问题,但直接运用基本不等式无从下手,可考虑运用 析: 换元思想,把要求最值的分母变为单项式,然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不 等式求最值得问题. 解 解:设 x+2=s,y+1=t,则 s+t=x+y+3=4, 答: 所以
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=

=

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. 因为

所以



故答案为 . 点 本题考查了基本不等式,考查了换元法和数学转化思想,训练了整体代换技巧,解答此 评: 题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式,展开后使问题变得明朗 化. 28. (2013?陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴 影部分) ,则其边长 x 为 20 (m) .

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设矩形高为 y,由三角形相似可求得 40=x+y 且 x>0,y>0,x<40,y<40,利用基 本不等式即可求得答案. 解答: 解:设矩形高为 y,由三角形相似得: = ,且 x>0,y>0,x<40,y<40,
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?40=x+y≥2 ,仅当 x=y=20m 时,矩形的面积 s=xy 取最大值 400m . 故答案为:20. 点评: 本题考查基本不等式,考查相似三角形的应用,求得 40=x+y 是关键,属于中档题. 29. (2013?杭州模拟)实数 a>b>c 且 a+b=1﹣c,a?b=c(c﹣1) ,则 c 的取值范围为 (﹣ ,0) .

2

考点: 基本不等式. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据题目给出 a>b>c 且 a+b=1﹣c,断定 a>0,c<0,把 b 用 a 和 c 及常数表示后代 入 ab=c(c﹣1) ,化为关于 a 的一元二次方程后由判别式大于等于 0 求出 c 的初步范 围,再结合 c<0,a>b 可得 c 的具体范围. 解答: 解:由 a+b=1﹣c,所以 a+b+c=1>0,又 a>b>c,所以 a>0,c<1,则 c﹣1<0, 若 c>0,则 c(c﹣1)<0,即 ab=c(c﹣1)<0,因为 a>0,所以 b<0,与 a>b>c 矛盾,
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所以 c<0. 再由 a+b=1﹣c,得 b=1﹣c﹣a,代入 ab=c(c﹣1) ,得:a +(c﹣1)a+c ﹣c=0, 2 2 由关于 a 的方程 a +(c﹣1)a+c ﹣c=0 有实数根, 得: (c﹣1) ﹣4(c ﹣c)=﹣3c +2c+1≥0,解得 又 c<0,且当 所以 c 的取值范围为 故答案为 . 时 a=b,与 a>b>c 不符. .
2 2 2 2 2



点评: 本题考查了基本不等式, 考查了数学转化和方程思想, 解答此题的关键在于思考全面, 不然极易出错,此题是易错题. 30. (2013?余杭区校级模拟)设实数 a,b 满足 lg(a﹣1)+lg(b﹣1)=lg4,则 a?b 的取值 范围是 [9,+∞) . 考点: 基本不等式;对数的运算性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 首先由对数的性质可得 a>1、b>1,结合对数的运算性质可将 lg(a﹣1)+lg(b﹣1) =lg4 变形为 ab﹣(a+b)﹣3=0,结合基本不等式可得 ab﹣2 ﹣3≥0,运用换元法, 2 令 t= ,可得 t ﹣2t﹣3≥0,解此方程并结合可得 t 的范围可得 t≥3,转化可得 ab≥9, 即可得答案. 解答: 解:根据题意,lg(a﹣1)+lg(b﹣1)=lg4,有 a﹣1>0,b﹣1>0,即 a>1、b>1, lg(a﹣1)+lg(b﹣1)=lg4?lg(a﹣1) (b﹣1)=lg4?(a﹣1) (b﹣1)=4, 即 ab﹣(a+b)+1=4,变形可得 ab﹣(a+b)﹣3=0,① 又由 a+b≥2 , 将其代入① 可得,ab﹣2 ﹣3≥0, 2 令 t= ,则 t>1,可得 t ﹣2t﹣3≥0, 解可得 t≥3 或 t≤﹣1, 又由 t>1,则 t≥3,即 ≥3,则 ab≥9, 则 a?b 的取值范围是[9,+∞) ; 故答案为[9,+∞) . 点评: 本题考查基本不等式的应用, 涉及对数运算性质, 注意结合对数的性质, 分析出 a>1、 b>1.
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