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广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编10:空间中的平行与垂直问题


广东省 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 10:空间中的平行与垂直问题
一、选择题 错误!未指定书签。 . (广东省潮州市 20 13 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)对于平面 ? 和

共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是真命题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n //

? ,则 m // n C.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n D.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n 【答案】C 考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断.
错误!未指定书签。 . (2009 高考(广东理))给定下列四个命题:





①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.zxxk.c.o.m ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 w.w.w.zxxk.c.o.m A.①和② B.②和③ C.③和④ 【答案】 【解析】选 D.中 学 学 科 网 ZX X ( D.②和④ )

错误!未指定书签。 . (广东省增城市 2013 届高三毕业班调研测试数学(理)试题)给出三个命题:

(1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. (3)若 两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B


[来源:学科网]



错误!未指定书签。 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)下列命

题中假命题是 ( ) ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 【答案】B
错误!未指定书签。 . (广东省 华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)

若平面 α ,β 满足 α ⊥β ,α ∩β =l,P∈α ,P ? l,则下列命题中是假命题的为 ( ) A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β 【答案】解:对于 A,由于过点 P 垂直于平面 α 的直线必平行于平面 β 内垂直于交线的直线,因此平行 于平面 β ,因此 A 正确.根据面面垂直的性质定理知,选项 C.D 正确. 选 B.
错误!未指定书签。 . (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)设 O 是空间一点,a,b,c
1

是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 A.当 a∩b=O 且 a ? ? ,b ? ? 时,若 c⊥a,c⊥b,则 c⊥ ? B.当 a∩b=O 且 a ? ? ,b ? ? 时,若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 ? ∥ ? C.当 b ? ? 时,若 b⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D.当 b ? ? 时,且 c ? ? 时,若 c∥ ? ,则 b∥c 中 【答案】C
学 学 科 网 ZX X





错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题(word 版) )对于平面 ? 、

? 、 ? 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是
A.若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? C.若 ? / / ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则 a // b

( B.若 a // b, b ? ? ,则 a // ?



D . 若 a ? ? , b? ? , a / /? ,b / ?, 则 /

? // ?
【答案】 【解析】对于平面 ? 、 ? 、? 和直线 a 、 b ,真命题是“若 ? / / ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ,



a // b ”.故选 C
错误!未指定书签。 . (广东省揭阳一中 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)已知 ? , ? 是两个不同

的平面, l , m, n 是不同的直线,下列命题不正确的是 ... A.若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , 则 l ? ?





B . 若 l / / m , l? ? , m ? 则 l / /? ? ? ,

C.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l , 则 m ? ?
【答案】

D.若 ? ? ? , m ? ?, n ? ? ,则 m ? n , ( )

A.
错误!未指定书签。 . (2013 广东高考数学(理) 设 m, n 是两条不同的直线, )

? , ? 是两个不同的平面,下列
( )

命题中正确的是 A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?
【答案】D;ABC 是典型错误命题,选

D.

二、填空题 错误!未指定书签。(广东省惠州市 20 13 届高三第三次(1 月)调研考试数学(理)试题)已知 m, n 是两条 .
2

不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题中正确的有______. ? ?

n 则 ? 则 ① 若m‖? ,‖? , m‖ n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ;
m 则 n 则 ③ 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
【答案】 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确; n n n

m ? ? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 4 月 模 拟 考 试 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) 已 知 集合 . )

A A、B、C, ={直线}, B ={平面}, C ? A? B .
若 a ? A, b ? B, c ? C ,给出下列四个命题: ①?

?a // b ?a ? b ?a // b ? a // c ② ? ? a // c ③ ? ?a?c ?c // b ?c ? b ?c ? b ?a ? b ?a?c ?c // b
其中所有正确命题的序号是__________.

④?

【答案】 【解析】由题意知: C 可以是直线,也可以是平面,

当 C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.
三、解答题 错误! 未指定书签。 广东省中山市 2013 届高三 上学期期末统一考试数学 . ( (理) 试题) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1

中, AA1 ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (Ⅰ )求证: EF // 平面 BDC1 ;

1 AB . 4

(Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在, 指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

【答案】

3

所以符合要求的点 G 不存在.
错误!未指定书签。(广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二)测试数学(理)试题(详解) 如 . )

图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE. (1)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值; (2)设 M 为线段 A1C 的中点,求证:在△ADE 翻转过程中,BM 的长度为定值.
[来源:学#科#网]

【答案】解:(1)过 A1 作 A1F⊥DE, 由已知可得 A1F⊥平面 BCD,且 F 为 DE 中点,以 D 为原点,DC、DA 所在

直线为 y,x 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),C(0,4,0),E(2,2,0) ,A1(1,1, 2 ) 求得平面 CEA1 的一个法向量为 m=(1,1, 2 )

???? ???? ???? 1 DC =(0,4,0), DC ?m=| DC ||m|cosθ ,得 cosθ = 2
4

所以,直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值为

1 . 2

(2)取 A1D 中点 G,连结 MG,EG,由 MG∥EB,且 MG=EB,可得 BMGE 为平行四边形,所以,BM=EG,而三角形 ADE 中,EG 的长度为定值,所以,BM 的 长度为定值.
错误!未指定书签。(广东 省深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)如图,已知四棱锥 .

P ? ABCD 中,底面 ABCD是直角梯形, AB // DC , ?ABC ? 45? , DC ? 1 , AB ? 2 , PA ? 平面

ABCD, PA ? 1 .
(1)求证: AB // 平面 PCD (2)求证: BC ? 平面 PAC (3)求二面角 A ? PC ? D 的平面角 ? 的正弦值.[来源:学*科*网 Z*X*X*K] P

A

B

D

C

【答案】中









ZX X

(3)解 :如图,分别以 AD , AB , AP 为 x 轴, y 轴,

z
P

z 轴建立空间直角坐标系,则由题设可知:
A(0, 0, 0) , P(0, 0, 1) , C (1, 1, 0) , D(1, 0, 0)

∴ AP ? (0, 0, 1) , PC ? (1, 1, ? 1)
5

A

B

y
D

设 m ? (a, b, c) 为平面 PAC 的一个法向 量,[来源:Z|xx| k.Com] 则?

?m ? AP ? 0 ? ?m ? PC ? 0 ?

,即 ?

?c ? 0 , ?a ? b ? c ? 0

设 a ? 1 ,则 b ? ?1 ,∴m ? (1, ? 1, 0) ,
[来源:学*科*网]

错误!未指定书签。(2009 高考(广东理))如图 6,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E 是 .

正方形 BCC1 B1 的中心,点 F 、 G 分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点

z

E1 , G1 分别是点 E , G 在平面 DCC1 D1 内的正投影.
(1)求以 E 为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的正投影为 底面边界的棱锥的体积; G1 E1

y
6

x

(2)证明:直线 FG1 ? 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值.
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

【答案】解: (1)依题作点 E 、G 在平面 DCC1 D1 内的正投影 E1 、G1 ,则 E1 、G1 分别为 CC1 、 DD1

的中点,连结 EE1 、 EG1 、 ED 、 DE 1 ,则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积,其底面 DE1 FG1 面 积为

1 1 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? 2 , 2 2 1 2 又 EE1 ? 面 DE1 FG1 , EE1 ? 1 ,∴ VE ? DE1FG1 ? S DE1FG1 ? EE1 ? . 3 3
S DE1FG1 ? S Rt ?E1FG1 ? S Rt ?DG1E1 ?
(2) D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在直线分别作 x 轴,y 轴,z 轴, E1 (0,2,1) 、G1 (0,0,1) , 以 得 又 G(2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) ,则 FG1 ? (0,?1,?1) , FE ? (1,1,?1) , FE1 ? (0,1,?1) , ∴ FG1 ? FE ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , FG1 ? FE1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 ,即 FG1 ? FE , FG1 ? FE1 , 又 FE1 ? FE ? F ,∴ FG1 ? 平面 FEE1 .
[来源:Z。xx。k.Com]

( 3 ) E1G1 ? (0,?2,0) , EA ? (1,?2,?1) , 则 c o s? E1G1 , EA ??

E1G1 ? EA E1G1 EA

?

2 6

,设异面直线

E1G1与EA 所成角为 ? ,则 sin ? ? 1 ?

2 3 ? . 3 3

7


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