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2011年新知杯上海市高中数学竞赛试题及解答


2011 年新知杯上海市高中数学竞赛试题
2011 年 3 月 27 日 上午 8:30——10:30 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每题 7 分,后 4 小题每题 8 分)

? y x ? 7 x ?12 ? 1 ? 1.方程组 ? 的解集为 ? x ? y ?1 ?
2

.

2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边) ,点 P 、 Q 的坐标分别 为 ? 0,1? 、 ?1, 2 ? ,则直线 AP 与直线 BQ 交点 R 轨迹的普通方程为 .

3.已知 M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在第一象限弧上的一点,MN ? y 轴, 垂足为 N , ?O N 的面积最大时, 当 M 16 9

它的内切圆的半径 r ? 4.已知 ?ABC 外接圆半径为 1,角 A 、 B 、 C 的平分线分别交 ?ABC 外接圆于 A 、 B1 、 C1 ,则 1

A B C AA cos ? BB cos ? CC cos 1 1 1 2 2 2 的值为 sin A ? sinB ? sin C

.

5.设 f ? x ? ? a sin ?? x ? 1? ? ? ? b 3 x ? 1 ? 2 ,其中 a 、 b 为实常数,若 f ? lg5? ? 5 ,则 f ? lg 20? 的值 ? ? 为 .
0

6.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A?3, a ? , B ?3, b? 使 ?AOB ? 45 ,其中 a 、 b 均为整数,且

a ? b ,则满足条件的数对 ? a, b ? 共有

组.

0 2 2 7.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0(圆心为 C ) 直线 y ? tan10 x ? 2 与圆 C 交于 A 、B ,

?

?

两点,则直线 AC , BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获胜.若甲、 乙两人每局取胜的概率都为 二、解答题: 9.(本题满分为 14 分)对于两个实数 a 、 b , min ?a, b? 表示 a 、 b 中较小的数,求所有非零实数 x ,使

1 ,则甲最后获胜的概率是 2

.

4 ? ? ? 1? min ? x ? , 4 ? ? 8 ? min ? x, ? . x ? ? ? x?

1

O 10. (本题满分为 14 分) 如图, ?ABC 中, 为 BC 中点, M ,N 分别在边 AB ,AC 上, AM ? 6 , 在 点 且
MB ? 4 , AN ? 4 , NC ? 3 , ?MON ? 900 .求 ? A 的大小.

11. (本题满分为 16 分)对整数 k ,定义集合 Sk ? n 50k ? n ? 50 ? k ? 1? , n ? Z ,问 S0 ,S1 ,S2 ,…,

?

?

S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含完全平方数?

12. (本题满分为 16 分)求所有大于 1 的正整数 n ,使得对任意正实数 x1 , x2 ,…, xn ,都有不等式

? x1 ? x2 ? ??? ? xn ?

2

? n ? x1 x2 ? x2 x3 ? ??? ? xn x1 ? .

2

2011 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见 一. 填空题 (7 '? 4 ? 8'? 4 ? 60') 1. (0,1),(2, ?1),(?3,4),(?4,5)? ; 5.-1; 二.解答题 6. 6; 7. 200o ; 8.

?

2.

y(x-2)=-2;

3.

2 ; 2

4. 2;

11 . 16

4 4 4 ? 2 x ? ? 4, 当 x ? 0 时, x ? ? ?4 ? 4, 故 x x x x ? 0; ? 4, 4 ? min ? x ? , 4? = ? 4 x ? x ? x , x ? 0. ? ?1 ? 1 ? ? , ?1 ? x ? 0或x ? 1; 又 min ? x, ? = ? x (4’) ? x ? ? x, x ? ?1或0<x ? 1. ?
9.解:当 x ? 0 时, x ? 所以有以下四种情形:

8 , x ? 2 .此时, x??2, ??? . x 1 1 (2) 当 0 ? x ? 1 时,原不等式为 4 ? 8 x, x ? .此时, x ? (0, ] . (9’) 2 2 4 8 2 (3) 当 ?1 ? x ? 0 时,原不等式为 x ? ? ? x ? 4. 此时, x ? (?1, 0) . x x 4 4 2 (4) 当 x ? ?1 时, 原不等式为 x ? ? 8 x ? x ? .此时, x ? (??, ?1] . x 7
(1) 当 x ? 1 时,原不等式为 4 ? 综上所述,满足题意的 x 的取值范围为

1 (??, 0) ? (0, ] ? [2, ??). 2

(14’)

10.解:延长 NO 至 P,使 OP=ON,又 BO=OC,可知 BPCN 为平行四边形, ? BP // AC ,BP=CN=3. (3’) 连接 MP, Q M 在 NP 的垂直平分线上, ? MP ? MN (6’) 令 MN=a,则在 V AMN 和 V MBP 中,由余弦定理得

A 6 M 4 B P O C 4 N 3

a ? MN ? 6 ? 4 ? 2 ? 6 ? 4cos A ? 52 ? 48cos A,
2 2 2 2

a 2 ? MP2 ? 32 ? 42 ? 2 ? 3 ? 4cos A ? 25 ? 24cos A.
消去 a
2

(10’)

,得 27 ? 72 cos A ? 0 ,

于是 cos A ?

3 3 , ?A ? arccos . (14’) 8 8
2 2

11.解: Q ( x ? 1) ? x ? 2x ? 1, 2x ? 1 ? 50( x ? N ) ? x ? 24( x ? N ) .

(24 ? 1)2 ? 625 ? S12 ,
3

? S0 , S1 ,L , S12 中含有的平方数都不超过 252 ,且每个集合都是由连续 50 个非负整数所组成的,故每个
集合至少含有 1 个平方数. (6’)

S13 , S14 ,L , S599 中,若含有平方数,都不小于 26 2 .而当 x ? 26 时,2x+1 ? 53,从而 S13 , S14 ,L , S599 中,每
个集合至多含有 1 个平方数. 另一方面, S599 中最大数是 600 ? 50 ? 1 ? 29999 ,

1732 ? 29999 ? 1742 ,? S13 , S14 ,L , S599 中含有平方数.
则不超过 1732 . (12’)

? S13 , S14 ,L , S599 中有且仅有 173-25=148 个集合含有平方数.
综上所述, S0 , S1 ,L , S599 中, 有 600-13-148=439 个集合不含有平方数. 12.解:当 n=2 时,不等式为 ( x1 ? x2 )2 ? 2( x1 x2 ? x2 x1 ), 即 (16’)

( x1 ? x2 )2 ? 0, 故 n=2 满足题意.
当 n=3 时,不等式 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? 3( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ), 等价于 ( x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( x3 ? x1 )2 ? 0, 故 n=3 满足题意. 当 n=4 时,不等式为

(2’)

(5’)

( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )2 ? 4( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ) ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )2 ? 0 .故 n=4 满足题意.
下证当 n>4 时,不等式不可能对任意正实数 x1 , x2 ,L , xn 都成立. 取 x1 ? x2 ? 1, x3 ? x4 ? L ? xn ? (8’)

1 , 5(n ? 2)

则原不等式为 [1 ? 1 ? (n ? 2) ?

1 2 n?3 ]2 ? n(1 ? ? 5(n ? 2) 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2

?

121 2n n(n ? 3) ? n? ? , 25 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2
121 ? 5 ? n 矛盾. 25
(16’)

这与

所以满足题意的正整数 n 为 2,3,4.

4


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