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甘肃省天水市秦安县第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题


秦安一中 2015~2016 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(理科)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)
1.错误!未找到引用源。表示椭圆的( A.充分不必要 B.必要不充分 )条件. C.充要条件 D.既不充分也不必要



2.命题“若 x2+y2=0,x、y∈R,则 x=y=0”的逆否命题是( A.若 x≠y≠0,x、y∈R,则 x2+y2=0 C.若 x≠0 且 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 3.双曲线

B.若 x=y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 D.若 x≠0 或 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 )

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4
B.

A.

2 5

4 5

C.

2 5 5

D.

4 5 5
)

4.已知某物体的运动方程是 S ? t ? A.10 m /s B.9 m /s

1 3 t , 则当 t ? 3 s 时的瞬时速度是 ( 9
C.4 m /s D.3 m /s ) D. ?8

5.抛物线 y ? ax 2 的准线方程是 y ? 2 ? 0 ,则 a 的值为( A.

1 8

B. ?

1 8

C. 8

x2 y2 ? ? 1 内的一点 P(2,?1) 的弦恰好被点 P 平分,则这条弦所在的直线程是 6.过椭圆 6 5
( ) A. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 B. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 C. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 D. 5 x ? 3 y ? 13 ? 0 )

7.动点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上移动时,它与定点 B?3,0? 连线的中点的轨迹方程是 ( A. x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 3 y ? 2 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 3 y ? 2 ? 0

8. 如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 =a

A1 D1 =b,

A1 A =c,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是(

)

A.-

1 1 a+ b+c 2 2

B.

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 a- b+c 2 2
) C. ? sin ? ln x ?

C.

1 1 a- b+c 2 2

D.-

9.函数 y ? cos ? ln x ? 的导数 y? ? ( A. ln ? sin x ? B. sin ? ln x ?

1 x

D.

1 sin ? ln x ? x

10.函数 f ? x ? 的定义域为开区间 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图象如下图所示,则 函数 f ? x ? 在开区间 ? a, b ? 内有极大值有( )个

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

11. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是 ( ) A.( ?

15 15 ) , 3 3

B.( 0,

15 ) 3

C.( ?

15 ,0 ) 3

D.( ?

15 ,?1 ) 3

SA 垂直于底面 ABC , 12.已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 (
A. ) D.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

3 4

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸上)
13.曲线 y ? 3x 2 ? 1 在点 (1,2) 处的切线方程为 14.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于__________. 15. 若 一 个 椭 圆 长 轴 的 长 度 、 短 轴 的 长 度 和 焦 距 成 等 差 数 列 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 是 .

16.若函数 f ( x) ? x ?

a ? a 在 [1,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 x

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 10 分) 如图所示, 45? 的二面角的棱上有两点 A, B ,直线 AC , BD 分别在
这个二面角的两个半平面内, 且都垂直于 AB , 已知 AC ? 1, AB ? 3, BD ? 2 , 求 CD 的 长.
β C A B α D

x2 ? y 2 ? 1与直线 l : x ? y ? ? ? 0 相切. 18. (本小题满分 12 分)已知椭圆 4
(1)求 ? 的值; (2)设直线 m : x ? y ? 4 5 ? 0 ,求椭圆上的点到直线 m 的最短距离.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 4 (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性;

?

? ? x ? a ? , a ? R ,且 f ? ? ?1? ? 0 .

(2)求函数 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,椭圆 C 上 a2 b2

任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求直线

l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点.
A A1

C D B B1

C1

(1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的大小; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(错误! 未找到引用源。、错误!未找到引用源。为实数),且曲线错误!未找到引用源。在点错 误!未找到引用源。处的切线错误!未找到引用源。的方程是错误!未找到引用源。. (1)求实数错误!未找到引用源。的值; (2)现将切线方程改写为错误!未找到引用源。,并记错误!未找到引用源。,当错误! 未找到引用源。时,试比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小关系.

秦安一中 2015~2016 学年第一学期期末考试 高二数学(理科)参考答案
一、选择题

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 C

5 B

6 A

7 B

8 A

9 C

10 B

11 D

12 A

二、填空题 13. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 14. 60? 16. [?1,??) (或者 a ? ?1 )

3 15. 5
三、解答题 17.(1)?CD ? CA ? AB ? BD,

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ? CD ? (CA ? AB ? BD)2 ? CA ? AB ? BD ? 2 CA BD cos135?
???? ??? ? ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 AC BD cos 45? ? 4 ,
? CD ? 2

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 18.(1)联立 ? 4 得: 5 x ? 8? x ? 4? ? 4 ? 0 ,由 V? 0 解得: ? ? ? 5 . ?x ? y ? ? ? 0 ?
(2)最短距离 d ?

3 10 2

.

19. (1) 因为 f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? 4 , f ? ? ?1? ? 0 , 所以 a ?
或x?

1 .令 f ? ? x ? ? 0 , 得 x ? ?1, 2

4 4? ? ?4 ? .所以 f ? x ? 在 ? ??, ?1? , ? , ?? ? 上单调递增;在 ? ?1, ? 上单调递减. 3 3? ? ?3 ?

(2)



.

20.(1)由已知 2a ? 6 , 2c ? 2 6 ,解得 a ? 3 , c ? 6 ,

所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 . 9 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (2)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2, ?

得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 .

2 因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 解得 k ?

1 . 9

12 k 3 , x1 x 2 ? . 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 12 k 4 ?4? ? 计算 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标 E( ,? ). 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 ? ?1 2 1 ? 3 k k PE ? k AB ? ?1 ,所以 因为 PA = PB , 所以 PE⊥AB, ? k ? ?1 , 解得 k ? ?1 . 6k 1 ? 3k 2
设 A( x1 , y 1 ) ,B( x2 , y 2 )则 x1 ? x 2 ? 经检验符合题意,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . A

21.解法一: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,

A1
F C

? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为

O

D

C1

B B1 BC,CC1 的中点,? B1O ⊥ BD ,? AB1 ⊥ BD . 在正方形 ABB1 A 1BD . 1 中, AB 1⊥A 1 B ,? AB 1 ⊥平面 A (2)设 AB1 与 A1 B 交于点 G ,在平面 A 1BD 中,作 GF ⊥ A 1 D 于 F ,连结 AF ,由(Ⅰ) 得 AB1 ⊥平面 A 1BD . ? AF ⊥ A1D ,?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角. 在 △AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

1 4 5 ,又? AG ? AB1 ? 2 , 2 5

AG 2 10 10 .所以二面角 A ? A1D ? B 的正弦值 . ? ? 4 AF 4 5 4 5 ? S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 . (3) △A1BD 中, BD ? A1 D ? 5,A1 B ? 2 2, ? sin ∠AFG ?
d. 在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A 1BD 的距离为
由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得

3S△ BCD 2 1 1 ? S△ BCD ? 3 ? S△ A1BD ?d ,? d ? .? 点 C 到平 S△ A1BD 2 3 3

面A 1BD 的距离为

2 . 2 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 , ??? ? ???? ? ? ??? ? AD ⊥ 平面 BCC1B1 .取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向

, 0, 0) , D(?11 , , 0) , A1 (0, 为 x,y,z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 B(1 2,3) ,

2, 0) . A(0, 0,3) , B1 (1,
A

z

A1
F C

O B x

D

C1
y

B1

???? ???? ??? ? 1, 0) , BA1 ? (?1 ? AB1 ? (1 , 2, ? 3) , BD ? (?2, , 2,3) . ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥平面 A1BD .
???? ???? ???? AA1 ? (0, 2, 0) .? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ???? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ? y ? 0, ?n?AD ? 0, ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?2 y ? 0, ? x ? ? 3 z. ?n?AA1 ? 0, ?
( 2 ) 设 平 面 A , , ? 3) , 1 AD 的 法 向 量 为 n ? ( x,y,z ) . AD ? (?11

????

令 z ? 1 得 n ? (? 3, 0, 1) 为平面 A1 AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A 1BD ,? AB 1BD 的法向量. 1 为平面 A

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 6 . ?? ? 二面角 A ? A1D ? B 的余弦值为 . cos ? n ,AB1 ?? ???? ? 4 4 2?2 2 n ? AB1 ???? ??? ? ???? (3)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A , 0,, 0) AB1 ? (1 , 2, ? 3) . 1BD 法向量,? BC ? (?2

??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 . ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB1
22. (1) 由错误!未找到引用源。及条件可得错误!未找到引用源。,
化得错误!未找到引用源。,又易知错误!未找到引用源。,化得错误!未找到引用源。解得 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. (2)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.

记错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。, 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。递增, 当错 误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。递减, 故当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,所以当错误!未找到引用源。时, 错 误!未找到引用源。.


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