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专题十五:不等式选讲2013-2016高考数学全国卷(理)


1、 (2016 全国 I 卷 24 题)本小题满分 10 分)选修 4 - 5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣ - ∣2x - 3∣. (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集.

1? ? 【答案】 (I)见解析(II) ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ?

3? ?

考点:分段函数的图像,绝对值不等式的解法 2、 (2015 全国 I 卷 24 题) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知函数

=|x+1|-2|x-a|,a>0.

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围 【答案】 (Ⅰ) {x | 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用零点分析法将不等式 f(x)>1 化为一元一次不等式组来解; (Ⅱ)将 f ( x) 化为分段函数,求出 f ( x) 与 x 轴围成三角形的顶点坐标,即可求
2 ? x ? 2} (Ⅱ) (2,+∞) 3

出三角形的面积,根据题意列出关于 a 的不等式,即可解出 a 的取值范围.

考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法 3、 (2014 全国 I 卷 24 题) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 ? b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

………5 分

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2
……………10 分

4、 (2013 全国 I 卷 24 题) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 .

(Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x ) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x ) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题. 【解析】当 a =-2时,不等式 f ( x ) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

? ? ?5 x , ? ? 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, ? ?3 x ? 6, ? ?

x?

1 2

1 ? x ? 1, 2 x ?1

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集 是 {x | 0 ? x ? 2} .

a 1 , )时, f ( x ) = 1 ? a ,不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a ∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ? , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2 4 ∴ a 的取值范围为(-1, ]. 3
(Ⅱ)当 x ∈[ ? 5、 (2016 全国 II 卷 24 题) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? (I)求 M; (II)证明:当 a, b ? M 时, a ? b ? 1 ? ab .
1 1 ? x ? ,M 为不等式 f ? x ? ? 2 的解集. 2 2

1 1 1 1 【解析】解:⑴当 x ? ? 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? ?2x ,若 ?1 ? x ? ? ; 2 2 2 2
1 1 1 1 当 ? ≤ x ≤ 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? 1 ? 2 恒成立; 2 2 2 2

当x?

1 1 时, f ? x ? ? 2x ,若 f ? x ? ? 2 , < x ? 1 . 2 2

综上可得, M ? ?x | ?1 ? x ? 1? . ⑵当 a , b ? ? ?1, 1? 时,有 a2 ? 1 b2 ? 1 ? 0 , 即 a 2b2 ? 1 ? a 2 ? b2 , 则 a 2b2 ? ?2ab ? 1 ? a 2 ? 2ab ? b2 ,

?

??

?

则 ? ab ? 1? ? ? a ? b? ,
2 2

即 a ? b ? ab ? 1 , 证毕.

6、 (2015 全国 II 卷 24 题) (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd;则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

7、 (2014 全国 II 卷 24 题) (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

8、 (2013 全国 II 卷 24 题) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a

9、 (2013 全国 III 卷 24 题) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a (I)当 a=2 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)设函数 g ( x) ?| 2 x ? 1|, 当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) {x | ?1 ? x ? 3} ; (Ⅱ) [2, ??) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用等价不等式 | h( x) |? a ? ?a ? h( x) ? a ,进而通过解不等式可求得; (Ⅱ)根据条件可首先将问题转化求解 f ? x ? ? g ? x ? 的最小值,此最值可利用三角形不等 式求得,再根据恒成立的意义建立简单的关于 a 的不等式求解即可. 试题解析: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . ………………5 分

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a? |1 ? 2 x |

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a ?|1 ? a | ?a ,
当x?

1 时等号成立, 2

考点:1、绝对值不等式的解法;2、三角形绝对值不等式的应用.


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