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二面角的求法导学案


蒙山中学
主备人 刘立新 复备人 备课组长审核 专题:二面角的求法

高二

年级

数学(文科 C 层)

学科
班 级

导学案
小 组 姓 名 授课时间

刘立新

教务处科研处审批

例 3.如图, AB ? 平面 BCD , BD ? CD ,若 AB ? BC ? 2BD ,求 A 二面角 B ? AC ? D 的正弦值 一、教学目标 分析:要求二面角的正弦值,首先要找到二面角的平面角 E .进一步巩固二面角的求法,能根据已知条件找出二面角的平面角并进行运算. 解: D 作 DE ? AC 于 E , E 作 EF ? AC 交 BC 于 F , 过 过 连结 DF , F C B 则 C 垂直于平面 DEF , ?FED 为二面角 B ? AC ? D 的平面角, 二. 教学难点:用定义法、三垂线找二面角的平面角,向量法求二面角。 ∴ AC ? DF ,又 AB ? 平面 BCD , 三.知识讲解 ∴ AB ? DF , AB ? CD ,∴ DF ? 平面 ABC , D 求二面角的大小是立体几何的一个重要内容,是高考的一个重点和热点,因此就二面角的求法给出 ∴ DF ? EF , DF ? BC ,又∵ AB ? CD , BD ? CD , 一些解法,希望同学们合理选择,熟练掌握,以提高解题速度。 ∴ CD ? 平 面 ABD , ∴ CD ? AD , 设 BD ? a , 则 AB ? BC ? 2a , 在 Rt ?BCD 中 , 一、 几何法: 15 3 1 1 即作出二面角的平面角,再求解,此法解题过程为:作——证——算——答 a, a ,同理, Rt ?ACD 中, DE ? S?BCD ? BC ? DF ? BD ? CD ,∴ DF ? 根据辅助线的做法又可分为定义法、垂面法、三垂线法。 2 2 2 2 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

⑴定义法: 在棱上找一点 O 在两个平面内分别作棱的垂线 AO、 BO, 此法较多适用于两面是共底的等腰三角形或全等三角形。 例 1 在正四面体 ABCD 中,求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小
王新敞
奎屯 新疆

为 ? ? CD ? ? 的平面角,
A
王新敞
奎屯 新疆

DF ? ∴ sin ?FED ? DE

解:取 BC 的中点 E ,连接 AE , DE ,∵正四面体 ABCD ,∴ BC ? AE, BC ? ED 于 E ,∴ ?AED 为二面角 A ? BC ? D 的平面角,设正四面体的棱长为 1, 则 AE ?
D B E C

3 a 10 10 2 ? ,所以,二面角 B ? AC ? D 的正弦值为 . 5 5 15 a 2 2
S射 S原
求解 S B C D

二、射影面积法:通常使用于无棱的二面角的大小的计算。即用公式 cos ? = 例 4.

1 1 3 3 , DE ? , AD ? 1 ,由余弦定理得 cos ?AED ? ,∴ ?AED =arccos . 2 2 3 3

(2)垂面法: 过二面角内一点作棱的垂面,则这个垂面与二面角的两个面的交线的夹角就是二面角的平面角。 例 2.自二面角内的一点到两个平面的距离都是 6cm,两个垂足间的距离也是 6cm,求此二面角的度数。 如图,P 是二面角 ? ? l ? ? 内的一点,PA ? ? , PB ? ? ,A,B 分别为垂足,PA=PB=AB=6cm, l 为二面角 的棱, 所以 ? APB= 60? ,因为 PA ? ? , PB ? ? , PA,PB 相交于 P 点, PA 和 PB 作平面分别交 ?,? 且 过 两个平面于 AC 和 CB,则平面 PACB ? l , 所以 ? ACB 是二面角的平面角。又 PA ? AC,PB ? CB, ? 所以 ? PAC= ? PBC= 90? l 所以由 APB=60,得 ? ACB= 120 ? , 即所求二面角的度数为 120 ? ? (3)三垂线法 利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角,其特征是过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线,然 后过垂足或斜足作棱的垂线 ,从而构造二面角的平面角。

1 如图 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD. SA=AB=BC=1 AD= 2
A

求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小 -解:由于 DA ? 平面SAB , CB ? 平面SAB ,则 ?SCD 在平面 SAB 的射影是 ?SAB ,易 求,SB= 3 ,SD= CD ?

cos? ?

P

S ?SAB S ?SCD

2 1 2 6 5 1 ? ,?SC 上的高为 , S ?SCD ? ? 3 ? ,又 S ?SAB ? , 则 2 2 4 2 2 2 2 2 6 2 6 2 6 ? = .?? ? arccos ,即面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小为 arccos . 6 6 6 6

P

三、向量法:设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 与 n,即二面角 ? 和 m 与 n 的夹角相 等或互补。 例 5. (07 梧州市三模 19 题)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中底面 ABCD 为直角梯形,AB//CD,AB <CD, ?ADC ? 90?, AD ? AA1 ? 1, CD ? 2 (Ι )求证 A1 D ? D1 B (Ⅱ)当 AB 为何值时,二面角 D1-CB-D 的大小为

A

C

B

? 4

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蒙山中学
主备人 刘立新 复备人 备课组长审核 解:如图建立空间直角坐标系 O-xyz,设 AB=a,则有 B(1,a,0) , D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,01),A1(1,0,1) (Ι ) DA1 =(1,0,1) BD1 =(-1,-a,1) Z D
1

高二

年级

数学(文科 C 层)

学科
班 级

导学案
小 组 姓 名 授课时间

刘立新

教务处科研处审批

4、如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC, C
1

?ABC ? 90?, PA ? 平面ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.
(Ⅰ)求证: BD ? 平面PAC;

DA1 ? BD1 ? ?1,01??? 1,?a,?1? ? 0 ,所以 A1 D ? D1 B
(Ⅱ)面 BCD 的一个法向量为 DD1 ? ?0,0,1? , D1C ? ?0,2,?1?

A ,
1

D

B
1

C

y

D1 B ? ?0, a,?1? 设面 D1BC 的一个法向量为 n =(x,y,z)
? ? D1C ? n ? 0 ? 2y ? z ? 0 ? ?? 则有 ? ? ? D1 B ? n ? 0 ?x ? a ? z ? 0 ?
当二面角 D1-CB-D 的大小为

A x

1 B1 x

(Ⅱ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 分析:本题在证明 BD 和 AC 垂直时会遇到困难,可将直角梯形拿到平面图形上来会迎刃而解.

5:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3 , 故令 y=1,z=2,x=2-a 所以 n =(2-a,1,2)
?? ? ? n ? D1 D ? ??

P

AD ? 2 , PA ? 2 , PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60? .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的正切值. A B D C

? ? 时, cos ? 4 4 ?

?

n D1 B

?2 ? a,1,2??0,01? ?2 ? a ?2 ? 1 ? 4

?

2 ? a ? 2? 3 2

当 AB ? 2 ? 3 为何值时,二面角 D1-CB-D 的大小为 四、强化训练

? 4

6、:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,

1、在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,二面角A ? A1 B ? D1的大小 ______, 二面角A1 ? BD ? A的正切值 ____,二面角A1 ? BD ? C1的余弦值 ______.

?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ)证明 AE ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的大小.

P
E A B
C
P

D

2、 .已知空间四边形ABCD中,AB ? BC ? CD ? DA ? 1,对角线AC ? BD ? 2 , 求二面角A ? BD ? C的大小 ________.

6 , 2

P

练习:过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ? 平面ABCD ,设 PA=AB= a , 求二面角 B - PC - D 的大小。
B

A D

7.无棱二面角的处理方法 (1)找棱 例 1. 过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA⊥底面 ABCD, PA=AB= a , 设 面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小。 (2)射影面积法( cos? ?
S 射影 S

求平
A D

C


B C

P

3、如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点, PA⊥底面 ABCD,PA= 3
D E B

例 2. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, 是棱 AA1 的中点, P 求平面 PB1C1 与平面 ABCD 所成二面角的大小。
c
A

.(Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 A-BE-P 的大小 解:
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高三复习——二面角的求法(二) 3、如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点, PA⊥底面 ABCD,PA= 3 .(Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 A-BE-P 的大小 解:
(1)连结BD,由ABCD是菱形且?BCD ? 60?知,?BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点, 所以BE ? CD, 又AB // CD, 所以BE ? AB.

分析:1、2 问由题目条件很容易解答,第 3 问的解答利用三垂线的方法可找到二面角的平面角;

解:( )证明:在?PAD中,由题设PA ? 2,AD ? 2, PD ? 2 2, 1 可得PA2 ? AD 2 ? PD 2,于是AD ? PA. 在矩形ABCD中, AD ? AB, 又PA ? AB ? A, 所以AD ? 平面PAB.
(2)解:由题设,BC // AD, 所以?PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角. 在?PAB中,由余弦定理得 PB ? PA 2 ? AB 2 ? 2 PA ? AB ? cos ?PAB ? 7 由(1)知AD ? 平面PAB, PB ? 平面PAB, 所以AD ? PB, 因而BC ? PB, 所以在Rt?PBC中, tan ?PCB ? PB 7 ? BC 2 7 2

又因为PA ? 平面ABCD, BE ? 平面ABCD, 所以PA ? BE. 而PA ? AB ? A,因此BE ? 平面PAB.又BE ? 平面PBE, 所以平面PBE ? 平面PAB.

(2)由(1)知, BE ? 平面PAB, PB ? 平面PAB, 所以PB ? BE. 又AB ? BE , 所以?PBA是二面角的平面角在Rt?PAB中, . PA tan ?PBA ? ? 3 , 所以?PBA ? 60 ?.故二面角A ? BE ? P的大小是60?. AB
4、如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?,

所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为

(3)解:过点P作PH ? AB于H,过点H作HE ? BD于E,连接PE. 因为AD ? 平面PAB, PH ? 平面PAB, 所以AD ? PH , 又AD ? AB ? A, 因而PH ? 平面ABCD. 因为BD ? 平面ABCD,? PH ? BD, 又PH ? HE ? H , ? BD ? 平面PHE. ? PE ? 平面PHE ,? BD ? PE. 从而?PEH是二面角P ? BD ? A的平面角.
B A H E C D P

PA ? 平面ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.
(Ⅰ)求证: BD ? 平面PAC; (Ⅱ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 分析:本题在证明 BD 和 AC 垂直时会遇到困难,适时点拨将直角梯 形拿到平面图形上来会迎刃而解.

由题设可得 : PH ? PA ? sin 60? ? 3 , AH ? PA ? cos 60? ? 1, BH ? AB ? AH ? 2, BD ? AB 2 ? AD 2 ? 13 , HE ? PH 39 ? . HE 4 39 . 4 AD 4 ? BH ? BD 13

5: 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3 ,AD ? 2 ,PA ? 2 ,PD ? 2 2 , P

于是在Rt?PHE中, ?PEH ? tan

∠PAB ? 60? .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的正切值. A B D C

所以二面角P ? BD ? A的平面角的正切值为

6、:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,

?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ)证明 AE ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的大小.

P E A B
C

D

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