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安徽省六校教育研究会2014年高三素质测试理科数学参考答案


安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试 数学(理)参考答案
一、选择题(5'×10=50')

题号 答案

1
A

2 B

3 B

4 A

5 C

6 B

7 D<

br />
8 D

9 A

10 D

二、填空题(5'× 5=25') 11) 、-80; 12) 、 n2 ? n ; 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 化为 3 cos( x ? 13)、 (?1, 0) ; 14) 、 1 9 1 ? ; 15) ③ ④ 、② 。

?
3

? 3 3 sin x ? cos x ………………2 分 ? 3 sin( x ? ) …………4 分(注:也可以 6 2 2
) )所以 f ( x) 的最大值为 3 .……6 分(注:没有化简或化简过程不全正确,但

结论正确,给 4 分) (Ⅱ)因为 b ? 2a f ( A ?

?

6 2 2 又 B ? 2 A ,所以 sin 2 A ? 2 3 sin A ,即 sin A cos A ? 3 sin A ,

) ,由(1)和正弦定理,得 sin B ? 2 3 sin 2 A .……7 分
……9 分

而 A 是三角形的内角,所以 sin A ? 0 ,故 cos A ? 3 sin A , tan A ? 所以 A ?

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2

3 , ……11 分 3
A1

. …………12 分

17.(本小题满分 12 分)

AD CE 1 ? ? , DB EA 2 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? ,
证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 由 余 弦 定 理 得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 . 因 为
2 2 ?

D E H P C

B AD 2 ? DE 2 ? AE 2 , 所以 AD ? DE . ?????????3 分 折叠后有 A1 D ? DE ,因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角, 所以平面 A1 DE ? 平面 BCED ,又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED .????6 分 (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P , 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH ,又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 B x H

A1

z

D

E y P C

, , ?????????8 分

安徽省六校教育研究会 2014 年高三素质测试数学试卷答案(理)

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设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? , 则 BH ?

3 x , PH ? x , 在 Rt △ PA1 H 中 , ?PA1 H ? 60? , 所 以 2 2 1 1 A1 H ? x , 在 Rt △ A1 DH 中 , A1 D ? 1 , DH ? 2 ? x , 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 , 得 2 2
2 2 2

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意 所以在线段 BC 上存在点 P , 2 5 使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? ?????????12 分 2 解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED .
,解得 x ? 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系 D ? xyz 如图 ,设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a ,所以

1 ? ?1 ? ? 1 ??2? x? ? ? x? 2 ? ?2 ? ?

???? A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 , 所 以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 , 因 为 ED ? 平 面 ???? A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 , ?????????9 分

?

?

?

?

?

?

?

?



???? ???? PA1 ?DE sin 60? ? ???? ???? PA1 DE





线

PA1
,?







A1 BD
?











60?

,





3a 4a ? 4a ? 5 ? 3
2

3 , 2

解得 a ?

5 5 , 即 PB ? 2a ? , 满 足 4 2

0 ? 2a ? 3 ,符合题意,所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此 5 时 PB ? . ?????????12 分 2
2 2 (Ⅰ)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

18. (本小题满分 12 分)

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 ??????2 分 2

2 ? a2 ? a14 , ? 当 n ? 2 时 , ?an ? 是 公 差 d ? 2 的 等 差 数 列 . ? a2 , a5 , a14 构 成 等 比 数 列 , ?a5

? a2 ? 8?

2

? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,????3 分
2 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1??????4 分

由条件可知, 4a1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.
? 3n ………………6 分

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.??????5 分,
数列 {bn } 的通项公式为 bn

b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 3n?1 ? 3 3 ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒 成 立 , ? ? ( Ⅱ ) Tn ? , ?( 2 2 1? q 1? 3 2
?k ? 2n ? 4 * 对 n ? N 恒成立,----9 分, n 3
安徽省六校教育研究会 2014 年高三素质测试数学试卷答案(理) 第 2 页共 4 页

令 cn ?

2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) ? n ?1 ? , cn ? cn ?1 ? ,当 n ? 3 时, cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, n 3 3n 3 3n
2 2 ,k ? .????12 分 27 27

cn ? cn?1 ? (cn ) max ? c 3 ?
19(本小题满分 12 分)

(Ⅰ )由题可知 元件 A 为正品的概率为

4 3 ,元件 B 为正品的概率为 。?????2 分 5 4

(Ⅱ) (i)设生产的 5 件元件中正品件数为 x ,则有次品 5 ?x 件,由题意知 100 x ? 20(5 ? x) ? 300 得 到 x ? 4 , 5, 设 “ 生 产 5 件 元 件 B 所 获 得 的 利 润 不 少 于 300 元 ” 为 事 件 C , 则

3 1 3 81 。???????????6 分 P(C ) ? C54 ( ) 4 ? ? C5 5 ( ) 5 ? 4 4 4 128
(ii)随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30,

4 3 3 1 3 3 4 1 1 , P( X ? 30) ? ? ? , ? ? , P ( X ? 90) ? ? ? 5 4 5 5 4 20 5 4 5 1 1 1 , P( X ? ?30) ? ? ? 5 4 20 所以 X 的分布列为: 150 90 30 -30 X 3 3 1 1 P 5 20 5 20
则 P ( X ? 150) ? ???????10 分

3 3 1 1 ? 30 ? ? 30 ? ? 108 ??????????12 分 E ( X ) ? 150 ? ? 90 ? 5 20 5 20
(20) (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意 k ? f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x x ? 0 ? 1 ? ln x ?? , ,所以 f ? ? x ? ? ? ? ?? 2 x x ? x ?

???2 分

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. ????????3 分

?0 ? a ? 1 2 1? ? ? 因为函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? ?(其中 ? a ? 0? ) 上存在极值, 所以 ? , 得 ? a ?1. 即 1 3 3? a ? ? 1 ? ? 3 ?
实数 a 的取值范围是 ? , 1? .

?2 ? ?3 ?

?????6 分

2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 ? e 2, ? ? ? 上单调递减,不妨设 x1 ? x2 ? e ,则

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m

1 1 1 1 m m ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m( ? ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? x1 x2 x2 x1 x2 x1
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安徽省六校教育研究会 2014 年高三素质测试数学试卷答案(理)

? 函数 F ( x) ? f ( x) ?
由 F ( x) ? f ( x) ?

m 在 ? e 2, ? ? ? 上单调递减。?????8 分 x ?

m 1 ? ln x m ln x m ? ? , x ? [e 2 , ??) ,则 F ?( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 在 [e2 , ??) 上恒成 x x x x x 2 立,所以 m ? ln x 在 [e , ??) 上恒成立,所以,故 m ? 2 .??????13 分
21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)解(Ⅰ)由题意得 c ? 1 ,又

3 1 + 2 ? 1 ,?????????2 分 2 2a b 1 消去 b 可得,2a 4 ? 7 a 2 ? 3 ? 0 , 解得 a 2 ? 3 或 a 2 ? (舍去) , 则 b2 ? 2 , 2
求椭圆 G 的方程为 C :

y P l

x2 y 2 ? ? 1 .????????4 分 3 2 (Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? kx ? m ,并设点 P( x0 , y0 ) ,
由?

Q x

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0
2 2

F1 O

F2

? y ? kx ? m
2

? (3k 2 ? 2) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 .
第 19 题图
2

? ? ? 0 ? m ? 2 ? 3k ,?????????6 分 3km 3k x0 ? ? ?? ? 0 , 当 k ? 0 时 , m ? 0 , 直 线 与 椭 圆 相 交 , 所 以 k ? 0, m ? 0 , 2 m 2 ? 3k 6 , m2 ? 2 ? 3k 2 ? m ? 3 ? x0 2

x0 2 y0 2 2(3 ? x0 2 ) 2x 2 ? ? 1 ? y0 2 ? 得m ? ,? k ? ? 0 ,???????8 分 3 2 3 y0 3 y0 x x y y y y 2x x 2 1 1 ,整理得: 0 ? 0 ? 1 .而 k1 ? 0 , k2 ? 0 ,代入 中得 ? y?? 0 ? 3 2 x ?1 x ?1 kk1 kk2 3 y0 y0


3 y x ? 1 x0 ? 1 1 1 ? ?? 0 ( 0 ? ) ? ?3 为定值. ????????10 分 kk1 kk2 2 x0 y0 y0
(用导数求解也可,若直接用切线公式扣 4 分,只得 2 分) (III) PF2 的斜率为: k PF2 ?

y0 x ?1 ,又由 PF2 ? F2 Q ? k F2Q ? ? 0 , x0 ? 1 y0

x0 ? 1 ? y ? ? ( x0 ? 1) ? x0 ? 1 y0 ? 从而得直线 F2 Q 的方程为: y ? ? , ( x0 ? 1) ,联立方程 ? y0 ? x0 x ? y0 y ? 1 ? 2 ? 3 消去 y 得方程 ( x0 ? 3)( x ? 3) ? 0 ,因为 x0 ? 3 , 所以 x ? 3 , 即点 Q 在直线 x ? 3 上. ?????????14 分

安徽省六校教育研究会 2014 年高三素质测试数学试卷答案(理)

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