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安徽省2014届高三第一次模拟数学试题(理)


安徽省 2014 届高三第一次模拟数学试题(理)zhaoyumiao

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要 求的。) 1.已知复数 z1 ? 3 ? bi, z 2 ? 1 ? 2i, 若 B. ? 6
2

z1 是实数,则实数 b 的值为 z2
C.0

D.





A. 6

1 6
( )

2.命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

3.若集合 A ? {x | x 2 ? 9 x ? 0, x ? N * }, B ? { y |

4 ? N *},则A ? B 中元素个数为 ( y



A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面的情况,计 划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生 ( ) A. 30 人, 30 人, 30 人 B. 30 人, 45 人, 15 人 C. 20 人, 30 人, 10 人 D. 30 人, 50 人, 10 人 开始 5.已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ? 若 f ( x) 在 [?1, 0] 上是减函数,那么 f ( x) 在 [2,3] 上是 A.增函数 C.先增后减的函数 6.如右程序框图,输出的结果为 A.1 C.4
6

1 , f ( x)

a ? 1, b ? 1
( ) 否

B.减函数 D.先减后增的函数 ( ) B.2 D.16
4

a ? 3?


输出 b

7.“ a ? 2 ”是“ ( x ? a ) 的展开式的第三项是 60 x ” 的 条件 A.充分不必要 C.充要 8.与函数 y ? 0.1
lg(2 x ?1)

b ? 2b

a ? a ?1
B.必要不充分 D. 既不充分也不必要 的图象相同的函数是( )

结束

A. y ? 2 x ? 1 ( x ?

1 ) 2

B. y ?

1 2x ? 1

C. y ?

1 1 (x ? ) 2x ? 1 2

D. y ?|

1 | 2x ? 1

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9.正四棱锥底面边长为 2,高为 1,则此正四棱锥的侧面积等于 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2





10.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( ) A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.30 种
2 11. 已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8 x 相交 A、 两点, 为 C 的焦点。 FA ? 2 FB , B F 若

则 k= A.

( B.



1 3

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

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12.已知 ? ? {( x, y) | ?

?y ? 0 ? ?y ? 4? x ?
2

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同的交点,它们

围成的平面区域为 M ,向区域 ? 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P( M ) ,若

P( M ) ? [
A. [ ,1]

? ?2 ,1],则实数 m 的取值范围为 2?
B. [0,





1 2

3 ] 3

C. [

3 ,1] 3

D. [0,1]

二、填空题;(本大题共 4 小题,每小题 5 分。) 13.不等式 lg( x ? 1) ? 0 的解集是_____________. 14.某校举行 2009 年元旦汇演,七位评委为某班的小品打出 的分数(百分制)如右茎叶统计图,去掉一个最高分和一个 最低分后,所剩数据的中位数和方差分别为 __________. 15.如图,某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的 等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1, 那么这个几何体的体积为 . 16.某同学在研究函数 f ( x) ? 分别给出下面几个结论: ①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立; ②函数 f (x) 的值域为 (-1,1); ③若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2); ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 (请将你认为正确的结论的序号都填上) 三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤。

7 9 8 4 4 4 7 6 9 3
第 14 题

主视图

侧视图

x ( x? R) 时, 1? x
俯视图
第 15 题



17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且

s i A? n

5 5

, B?n si

10 10

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(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

18.(本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行 的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个 有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游, 其中 金卡,在省内游客中有

3 1 是省外游客, 其余是省内游客。 在省外游客中有 持 4 3

2 持银卡. 3
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(I)在该团中随机采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; (II)在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?,

PA ? 平面 ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.
(Ⅰ)求证: BD ? 平面PAC;
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(Ⅱ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

第 19 题

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x
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(Ⅰ)当 a ? 1 时, 求 f ( x) 的单调区间和极值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? g ( x) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一 个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数), C 2 : ? ( ? 为参数)。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅰ)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ? 直线 C3 : ?

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?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到

? x ? 3 ? 2t , ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a ? b ? 0, 求证: 3a ? 2b ? 3a b ? 2ab
3 3 2 2

参考答案
1.A 13. 2.B 3.D 4.B 5.A 6.D 7.A 8.C 9.D 10.C 11.D 12.D

?? 1,0?

14.84,1.6

15.

1 6

16.①②③

17.(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? ----2 分 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . ---4 分 5 10 5 10 2
????????????????6 分

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ? ? ∴ A ? B ? (II)由(I)知 C ?

?
4

2 3? ,∴ sin C ? ------------------7 分 2 4



a b c 得 ? ? sin A sin B sin C
5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b -------------9 分

又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ?
a ? 2 ,c ?

2? 1 ∴ b ? 1
5
????????????????12 分

18.(I)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡”, 则 P ( A) ?
1 1 C6C30 2 ? 2 C36 7

所以采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡的概率是

2 . 7

???????????6 分

(II)设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为: 事件 B1 为“采访该团 2 人,持金卡 0 人,持银卡 0 人”,事件 B2 为“采访该团 2 人,持金卡 1 人,持 银卡 1 人”两种情况,
1 1 2 C21 C9C6 44 ? 则 P ( B ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) ? 2 ? 2 C36 C36 105

所以采访该团 2 人,持金卡与持银卡人数相等的概率是 19.(Ⅰ)如图,建立坐标系,

44 . 105

?????12 分

0, 6, 则 A(0, 0) , B(2 3, 0) , C (2 3, 0) , D(0, 0) , P(0,3) , 0, 2, 0, ??? ? ???? ??? ? ? AP ? (0, 3) , AC ? (2 3, 0) , BD ? (?2 3, 0) ,……………………2 分 0, 6, 2,

? BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 .? BD ⊥ AP , BD ⊥ AC ,
又 PA ? AC ? A ,? BD ⊥面 PAC . (Ⅱ)设平面 ABD 的法向量为 m ? (0,1) , 0, 设平面 PBD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 则 n ? BD ? 0, n ? BP ? 0 ……………………8 分 B x P ………………………………6 分 z

A E

D

y C

? BP ? ? 2 3,0,3

?

?

? y ? 3x ?? 2 3x ? 2 y ? 0 ? ? 解得. ? ?? 2 3 ?? 2 3x ? 3z ? 0 x ?z ? ? 3 ?

令x ?

3 ,则 n ?

?

3 ,1,2 ………………………………10 分

?

? cos m, n ?

m?n mn

?

1 ?二面角 P ? BD ? A 的大小为 60? .………………12 分 2
1 x ?1 ? x x
??1 分

20.(Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

若 f ??x ? ? 0, 则 1 ? x ? e ;若 f ??x ? ? 0 ,则 0 ? x ? 1 ∴ f ?x ?在?0,上单调递减,在?1 e?上单调递减 1? , ∴ f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 ??4 分 (Ⅱ)? f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x) min ? 1 ??5 分 令 h( x ) ? g ( x ) ? ??3 分

1 ln x 1 1 ? ln x , ? ? , h?( x) ? 2 x 2 x

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (0, e] 上单调递增 ??6 分

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2 1 ∴在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? ??8 分 2
∴ h( x) max ? h(e) ? (Ⅲ)假设存在实数 a , 使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ?9 分 ? x x

①当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减,

f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?

4 (舍去), e

所以,此时 f (x) 无最小值. ??10 分 ②0 ?

1 1 ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减, a a

在 ( , e] 上单调递增

1 a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a 1 ①当 ? e 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, a

f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?

4 (舍去), e

所以,此时 f (x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e 2 , 使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3.---------12 分

21.解: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 焦距为 2c , a 2 b2

由题设条件知, a ? 8, b ? c, 所以 b 2 ?

1 2 a ? 4. 2

x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ?1 8 4 ---------------3 分
(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x ? ?4, 所以点 P 的坐标 (?4,0) , 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) 。 如图,设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 线段 MN 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y2 ?1 ? ? 4 ?8
得 (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 8 ? 0 . ??①
2 2 2 2

由 ? ? (16k ) ? 4(1 ? 2k )(32k ? 8) ? 0
2 2 2 2

解得 ?

2 2 ?k? . 2 2

??②

因为 x1 , x2 是方程①的两根,所以 x1 ? x2 ? ? 于是

16k 2 , 1 ? 2k 2

x0 ?

8k 2 x1 ? x2 4k =? , y0 ? k ( x0 ? 4) ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2



因为 x0 ? ?

8k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 1 ? 2k 2

又直线 F1 B2 , F1 B1 方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2,

所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
? 4k ? y 0 ? x0 ? 2 8k 2 即 ?1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2, ? ? ? y 0 ? ? x 0 ? 2 ? 4k 8k 2 ? ? ? 2, ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?

亦即 ?

? 2k 2 ? 2k ? 1 ? 0, ? 2 ? 2k ? 2k ? 1 ? 0. ?

解得 ?

3 ?1 3 ?1 ?k? ,此时②也成立. 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2
2

故直线 l 斜率的取值范围是 [?

x2 y 2 22.解:(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 : ? ? 1. 64 9
2

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M (?2 ? 4cos ? , 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ? 23.略

5 | 4 cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

8 5 4 3 . ,sin ? ? ? 时, d取得最小值 5 5 5


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