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重温经典-----数列


山东省昌乐二中 2012 级高三数学完美备考系列----重温经典(一) 数列

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重温经典---1.(2010 年)已知等差数列 {a n } 满足: a3 (Ⅰ)求

山东高考数列部分

2.(2011)等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 3 6 9 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

? 7, a5 ? a7 ? 26.{an }的前 n 项和为 S n .

a4 及 S n ;
? 1 2 an ? 1

(Ⅱ)令 bn

(n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

【解析】 (Ⅰ)设等差数列

?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an

解析: (I)当 a1 ? 3 时,不合题意;当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意;

? 3?( 2 n ?1)=2n+1 ; a4 = 11 , Sn = 3n+

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

当 a1 ? 10 时,不合题意。因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3,故 an ? 2 ? 3n?1. (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an ? 2 ? 3n ?1 ? (?1)n ln(2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1)n [ln 2 ? (n ?1)ln 3]

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

? 2n+1,所以 b =
n

1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

? 2 ? 3n ?1 ? (?1)n (ln 2 ? ln 3) ? (?1)n n ln 3,
所以

即数列

?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

S 2n ? 2(1 ? 3 ? ?? 32n ?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ? ?? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5+?? (?1) n n ]ln3,
所以当 n 为偶数时, Sn ? 2 ?

n 1 ? 3n n ? ln 3 ? 3n ? ln 3 ? 1; 2 1? 3 2

当 n 为奇数时, Sn ? 2 ? 综上所述,

n ?1 1 ? 3n n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 ? 3n ? 2 1? 3 2

? n n 3 ? ln 3 ? 1, n为偶数 ? ? 2 Sn ? ? n ?3n - ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2

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3.(2012)在等差数列

?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .

4.(2013)设等差数列 (1) 求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ?1 。
an ? 1 ? ? (? 为常数) ,令 cn 2n

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m∈N﹡,将数列

?an ? 的通项公式;
?

?an ? 中落入区间(9 ,9 )内的项的个数记为 bm ,
m 2m

(2) 设数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,且 Tn

? b2n ,

求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm 。 (n∈N? ).求数列

{cn } 的前 n 项和 Rn .

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