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不等式概念与性质


1、不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟 练运用,要 弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强。 2、两个实数的大小:
a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b

3、不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a

(3) a (4) a (5) a

? b, b ? c ? a ? c (传递性)
? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性)

? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加)
? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减)

(6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a (8) a

? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
a b ? (异向不等式相除) c d

(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ?

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? (倒数关系) a b
n n

(11) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a

? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则)

二、基本训练 1、下列结论对否:

?1?a?b, c ? d ? acn ?bd n , n ? N
( )





?2? a2 ?
c

b ? a? b c2

?3?a?b且ab?0 ? 1 ? 1
a b





?4?a?b?0, c?d ?0 ? ac?bd





?5?n a ? n b ? a?b, n ? N
( )
1 1 ? 成立的充要条件为 a b c a





?6? a ?b ? ?b?a?b

2、 a ? b ?

3、用“>” “<” “=”填空: (1)a<b<c<0 则 ac (2) 0<a<b<c<1,则 ac

bc ;

c ; |a| b

|b|;
logcb;

bc ;ab

ac;logca

algc

blgc;arcsina

arcsinb.

4、已知 A n (n,a n )为函数 y= x 2 ? 1 上的点,B n (n,b n )为函数 y=x 上的点, 其中 n ? N * ,设 c n =a n -b n ,则 c n 与 c n?1 的大小关系为___________

三、例题分析 例 1、比较下面各小题中 a 与 b 的大小: (1)a=m3 - m2n -3mn2 与 b=2m2n -6mn2 + n3 (2)a=3x2 - x +1 与

b=2x2+x-1
(3) a ?
1 3? 2 与b ? 10 .

1 t ?1 例 2、a>0,a≠1,t>0,比较 m= log a t 与 n= log a 的大小. 2 2

例 3、 f ( x) ? ax ?

x ,1≤ f (1) ≤2,13≤ f (2) ≤20,求 f (3) 的取值范围. b

例 4、设 a ? 0, b ? 0 ,试比较 a a b b 与a b b a 的大小。

四、课堂小结: 1、不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依据,必须透彻理解,特 别要注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘时,两个不等式都需大于零. 2、处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式,如果需要去 分母,一定要考虑所乘的代数式的正负. 3、作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法,应引起高度注意. 五、同步练习

1、下列命题中正确的是???????????????????? ( (A)

) (D)

若a?b, 则a 2 ?b 2

(B)

若a 2 ?b 2 , 则a?b

(C)

若a? b , 则a 2 ?b 2

若 a ?b, 则a 2 ?b 2
1 1 2、设 ? ? 0 ,则 ?????????????????????( a b

) (D)

(A) a 2 ?b 2

(B) a ? b? 2 ab

(C) ab?b 2

a 2 ? b2 ? a ? b
3、若 a?b? c, a ? b ? c ? 0 ,则有????????????????? ( (A) ab? ac 皆错 4、若 ac?bd, a?b?0 , ??????????????????????( (A) c?d ? 0 定 5、 以下命题: a>b ? |a|>b ⑴ ⑵a>b ? a2>b2 ⑶|a|>b ? a>b ⑷a>|b| (B) c? d (C) c? d ) (B) ac?bc (C) ab?bc ) (D)以上

(D)c、d 大小不确

? a>b
正确的个数有????????????????????????( (A) 1 个 个 6、如果二次函数 y ? f (x) 的图象过原点,并且 1≤ f (?1) ≤2,3≤ f (1) ≤4,则
f (?2) 的取值范围__________________.

) (D)4

(B) 2 个

(C)

3个

7、已知 a ? 2, b ? 2 ,试比较 a ? b与ab 的大小______________。 8、比较下列各数的大小:
1 (1) m ? log a (1 ? a), n ? log a (1 ? ) ,则 m _______ n。 a

(2) a ? n ? 1 ? n 与 b ? n ? n ? 1 ,则 m ________ n。

作业答案 1—5、CCADB 6、[7,14]. 7、<. 8、 (1)< (2)>

练习二 一、选择题 1.若 x>1>y,下列不等式中不成立的是 ( A.x-1>1-y C.x-y>1-y 【答案】 A B.x-1>y-1 D.1-x>y-x )

2.下列命题正确的是 ( A.若 ac>bc?a>b 1 1 C.若a>b?a<b 【答案】 D B.若 a2>b2?a>b D.若 a< b?a<b )

3.已知实数 a、b、c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a、b、 c 的大小关系是

( A.c≥b>a C.c>b>a 【答案】 A B.a>c≥b D.a>c>b

)

1 1 b a 4.若a<b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④a+b> 2 中正确的是 ( A.①② C.①④ 【答案】 C B.②③ D.③④ )

5.已知 x>y>z,且 x+y+z=0,下列不等式中成立的是 ( A.xy>yz C.xy>xz 【答案】 C B.xz>yz D.x|y|>z|y| )

6.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一 半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则 ( A.甲先到教室 C.两人同时到教室 B.乙先到教室 D.谁先到教室不确定 )

【解析】 设步行速度与跑步速度分别为 v1, 2, v 显然 v1<v2, 总路程为 2 s, s s 4s 则甲用时间为v +v ,乙用时间为 , v1+v2 1 2 s?v1+v2?2-4sv1v2 s s 4s 而v +v - = v1v2?v1+v2? 1 2 v1+v2 = s?v1-v2?2 >0 v1v2?v1+v2?

s s 4s 故v +v > ,故乙先到教室. 1 2 v1+v2 【答案】 B

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

7.设 A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则 A,B 的大小关系是______. 【答案】 A≥B

8.设 x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若 x>y,则实数 a、b 满足的条件是 ________. 【答案】 ab≠1 或 a≠-2

三、解答题(共 46 分) 10.(15 分)对于实数 a,b,c,判断下列命题的真假. (1)若 a>b,则 ac>bc; (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (3)若 c>a>b>0,则 a b > ; c-a c-b

1 1 (4)若 a>b,a>b,则 a>0,b<0. 11.(15 分)已知 a、b 为正实数,试比较 【解析】 b? ?a ? + ?-( a+ b) a? ? b a b + 与 a+ b的大小 b a

?a ? ?b ? a-b b-a =? - b?+? - a?= + ? b ? ? a ? b a ?a-b?? a- b? ? a+ b?? a- b?2 = = ab ab ∵a、b 为正实数, ∴ a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0, ? a+ b?? a- b?2 ∴ ≥0,当且仅当 a=b 时等号成立, ab ∴ a b + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时等号成立. b a


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