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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面垂直的判定与性质


2016 届高考数学一轮复习教学案 直线、平面垂直的判定与性质

[知识能否忆起] 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 符号语言

一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平

面垂直

a,b?α

a∩b=O l⊥a l⊥b

判定定理

? ? ? ?l⊥ ? ?

α 如果在两条平行直线 中,有一条垂直于平 面,那么另一条直线也 垂直这个平面

推论

a∥b ? ? a⊥α ? ?

??b⊥α

3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

性质定理

垂直于同一个平面的两 条直线平行

a⊥α ? ? b⊥α ? ?

??a∥b

二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面 判定定理 的垂线,则这两个平面 垂直 图形语言 符号语言

l?β ? ? l⊥α ? ?

??α ⊥β

2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

两个平面垂直,则一个 性质定理 平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面

? ? ? ?l⊥ α ∩β=a ? l⊥a ?
α ⊥β

l?β

α

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知平面 α ,β,直线 l,若 α ⊥β,α ∩β =l,则( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l )

D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α 、β 都垂直 解析:选 D A 中平面可与 α 平行或相交,不正确. B 中直线可与 α 垂直或斜交,不正确. C 中平面可与直线 l 平行或相交,不正确. 2.(2012·厦门模拟)如图,O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面

ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是(

)

A.A1D C.A1D1

B.AA1 D.A1C1

解析:选 D 易知 A1C1⊥平面 BB1D1D. 又 B1O?平面 BB1D1D,∴A1C1⊥B1O. 3.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的 是( ) A.若 m∥α ,α ∩β=n,则 m∥n B.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α ,n⊥β,α ⊥β ,则 m⊥n D.若 α ⊥β,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥β 解析:选 C 对于选项 A,若 m∥α ,α ∩β=n,则 m∥n,或 m,n 是异面直线,所以 A 错误;对于选项 B,n 可能在平面 α 内,所以 B 错误;对于选项 D,m 与 β 的位置关系 还可以是 m?β,m∥β,或 m 与 β 斜交,所以 D 错误;由面面垂直的性质可知 C 正确. 4.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数 为________. 解析:由线面垂直知,图中直角三角形为 4 个. 答案:4 5.(教材习题改编)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六

边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB.则下列命题正确的有________. ①PA⊥AD;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④直线 PD 与平面 ABC 所成角为 30°. 解析:由 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AD,故①正确;②中两平面不垂直,③中 AD 与平 面 PAE 相交,BC∥AD,故不正确;④中 PD 与平面 ABC 所成角为 45°. 答案:① 1.在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线 线、线面、面面垂直的转化关系,即:

2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中 不存在,则可通过作辅助线来解决,如有平面垂直时,一般要用性质定理. 3.几个常用的结论: (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

垂直关系的基本问题

典题导入 [例 1] (2012·襄州模拟)若 m,n 为两条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面, 给出下列命题:①若 m,n 都平行于平面 α ,则 m,n 一定不是相交直线;②若 m、n 都 垂直于平面 α ,则 m,n 一定是平行直线;③已知 α ,β 互相垂直,m,n 互相垂直,若 m ⊥α ,则 n⊥β ;④m,n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m,n 互相垂直.其中的假命题

的序号是________. [自主解答] ①显然错误,因为平面 α ∥平面 β ,平面 α 内的所有直线都平行 β ,所以 β 内的两条相交直线可同时平行于 α ;②正确;如图 1 所示,若 α ∩β=l,且 n∥l,当 m⊥α 时,m⊥n,但 n∥β ,所以③错误;如图 2 显然当 m′⊥n′时,m 不垂直于 n,所以④错误.

[答案] ①③④ 由题悟法 解决此类问题常用的方法有: ①依据定理条件才能得出结论的, 可结合符合题意的图形 作出判断; ②否定命题时只需举一个反例. ③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选. 以题试法 1.(2012·长春模拟)设 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列四个 命题: ①若 a⊥b,a⊥α ,b?α ,则 b∥α ;②若 a∥α ,a⊥β ,则 α ⊥β;③若 a⊥β ,α ⊥β , 则 a∥α 或 a?α ;④若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β. 其中正确命题的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 D 对于①,由 b 不在平面 α 内知,直线 b 或者平行于平面 α ,或者与平面 α 相交,若直线 b 与平面 α 相交,则直线 b 与直线 a 不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛 盾,因此①正确.对于②,由 a∥α 知,在平面 α 内必存在直线 a1∥a,又 a⊥β ,所以有 a1 ⊥β ,所以 α ⊥β ,②正确.对于③,若直线 a 与平面 α 相交于点 A,过点 A 作平面 α 、β 的交线的垂线 m,则 m⊥β ,又 α ⊥β ,则有 a∥m,这与“直线 a、m 有公共点 A”相矛盾, 因此③正确.对于④,过空间一点 O 分别向平面 α 、β 引垂线 a1、b1,则有 a∥a1,b∥b1, 又 a⊥b,所以 a1⊥b1,所以 α ⊥β,因此④正确.综上所述,其中正确命题的个数为 4.

直线与平面垂直的判定与性质

典题导入 [例 2] (2012·广东高考)如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中,

AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC
1 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积;

(3)证明:EF⊥平面 PAB. [自主解答] (1)证明:因为 AB⊥平面 PAD,PH?平面 PAD, 所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD. 因为 PH?平面 ABCD,AB∩AD=A,AB,AD?平面 ABCD, 所以 PH⊥平面 ABCD. (2)如图,连接 BH,取 BH 的中点 G,连接 EG. 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG∥PH, 1 1 且 EG= PH= . 2 2 因为 PH⊥平面 ABCD, 所以 EG⊥平面 ABCD. 因为 AB⊥平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 AB⊥AD. 所以底面 ABCD 为直角梯形.

1 11 2 所以 VE-BCF= S△BCF·EG= · ·FC·AD·EG= . 3 32 12 (3)证明:取 PA 中点 M,连接 MD,ME. 1 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 綊 AB. 2 1 又因为 DF 綊 AB,所以 ME 綊 DF,所以四边形 MEFD 是平行四边形,所以 EF∥MD. 2 因为 PD=AD,所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD,所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥平面 PAB,所以 EF⊥平面 PAB. 由题悟法 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理. (2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α ?b⊥α ). (3)利用面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ?a⊥β ). (4)利用面面垂直的性质. 当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 以题试法 2. (2012·启东模拟)如图所示, 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,

M,N 分别是 AB,PC 的中点.
(1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD. 证明:(1)连接 AC,AN,BN, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC, 1 在 Rt△PAC 中,N 为 PC 中点,∴AN= PC. 2 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC,又 BC⊥AB,

PA∩AB=A,
∴BC⊥平面 PAB.∴BC⊥PB. 从而在 Rt△PBC 中,BN 为斜边 PC 上的中线, 1 ∴BN= PC. 2 ∴AN=BN.∴△ABN 为等腰三角形,又 M 为 AB 的中点,∴MN⊥AB, 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD. (2)连接 PM,MC,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC,∴AP=BC. 又∵M 为 AB 的中点,∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90°, ∴△PAM≌△CBM. ∴PM=CM. 又 N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC. 由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面 PCD.

面面垂直的判定与性质

典题导入 [例 3] (2012·江苏高考)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1B1 =A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥

DE,F 为 B1C1 的中点.
求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. [自主解答] (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1⊥平面 ABC, 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD.

又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,

CC1∩DE=E,
所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE. 由题悟法 1.判定面面垂直的方法: (1)面面垂直的定义. (2)面面垂直的判定定理(a⊥β ,a?α ?α ⊥β ). 2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法: 在一个平面内作交线的垂线, 转化为线面垂直, 然后进一步转化为线线垂直. 以题试法 3.(2012·泸州一模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若点 M 在线段 PC 上, 且 PM=tPC(t>0), 试确定实数 t 的值, 使得 PA∥平面 MQB. 解:(1)因为 PA=PD,Q 为 AD 的中点,所以 PQ⊥AD.

连接 BD,因为四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=60°, 所以 AB=BD. 所以 BQ⊥AD. 因为 BQ?平面 PQB,PQ?平面 PQB,

BQ∩PQ=Q,
所以 AD⊥平面 PQB. 因为 AD?平面 PAD,所以平面 PQB⊥平面 PAD. 1 (2)当 t= 时,PA∥平面 MQB. 3 证明如下: 连接 AC,设 AC∩BQ=O,连接 OM.在△AOQ 与△COB 中, 因为 AD∥BC,所以∠OQA=∠OBC,∠OAQ=∠OCB. 所以△AOQ∽△COB.所以

AO AQ 1 OC


AO 1 OC 2 = .所以 = ,即 = . CB 2 AC 3 AC 3

1 CM 2 CM OC 由 PM= PC,知 = ,所以 = ,所以 AP∥OM. 3 CP 3 CP AC 因为 OM?平面 MQB,PA?平面 MQB,所以 PA∥平面 MQB.

1.(2012·杭州模拟)设 a,b,c 是三条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α ,b∥α ) B.α ⊥β,a?α ,b?β D.a⊥α ,b⊥α

解析:选 C 对于选项 C,在平面 α 内存在 c∥b,因为 a⊥α ,所以 a⊥c,故 a⊥b;A, B 选项中,直线 a,b 可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D 选项中一定有 a

∥b. 2.设 α ,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 α ⊥β ,β⊥γ ,则 α ⊥γ ;②若 l 上两点到 α 的距离相等,则 l∥α ;③若 l⊥α ,l∥β, 则 α ⊥β;④若 α ∥β,l?β,且 l∥α ,则 l∥β . 其中正确的命题是( A.①② C.②④ ) B.②③ D.③④

解析:选 D 对于①:若 α ⊥β ,β⊥γ ,则 α ⊥γ ,前者不是后者的充分条件,比如当 α ∥γ 时,也有 α ⊥β ,β ⊥γ .对于②:显然错误,当 l⊥α ,l∩α =A 时,l 上到 A 距离相等的两 点到 α 的距离相等.③④显然正确. 3.给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α ; (3)已知 α , β 表示两个不同平面, m 为平面 α 内的一条直线,则“α ⊥β”是“m⊥β” 的充要条件; (4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直, 与另一个平行. 其中正确命题个数是( A.0 C.2 解析:选 B ) B.1 D.3 (1)错,也可能相交;(2)正确;(3)“α ⊥β ”是“m⊥β”的必要条件,命

题错误;(4)当异面直线 a,b 垂直时才可以作出满足要求的平面,命题错误. 4.(2013·济南模拟)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC =90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 )

C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 解析:选 A 由 AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面 ABC1. 又∵AC?面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC.∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线

AB 上.
5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平 面, △ABC 内接于⊙O, 且 AB 为⊙O 的直径, 点 M 为线段 PB 的中点. 现 有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于 线段 BC 的长.其中正确的是( A.①② C.① ) B.①②③ D.②③

解析:选 B 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC.∴

BC⊥平面 PAC.又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥ PA.∵PA?平面 PAC,∴OM∥平面 PAC;对于③,由①知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即
是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正确. 6.(2012·济南名校模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°, 将△ABD 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD, 构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下面命题正确的是( A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC )

解析: 选 D 在平面图形中 CD⊥BD, 折起后仍有 CD⊥BD, 由于平面 ABD⊥平面 BCD, 故 CD⊥平面 ABD, CD⊥AB, 又 AB⊥AD, 故 AB⊥平面 ADC, 所以平面 ABC⊥平面 ADC. 7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面 各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面

MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析:由定理可知,BD⊥PC.

∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 8. (2012·忻州一中月考)正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2, 高为 2, E 是 BC 的中点, 动点 P 在四棱锥的表面上运动,并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的长为________. 解析:如图,设 AC∩BD=O,连接 SO,取 CD 的中点 F,SC 的 中点 G,连接 EF,EG,FG,设 EF 交 AC 于点 H,连接 GH, 易知 AC⊥EF,GH∥SO, ∴GH⊥平面 ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面 EFG, 故动点 P 的轨迹是△EFG,由已知易得 EF= 2, 2+ 6.

GE=GF=
答案:

6 ,∴△EFG 的周长为 2 6

2+

6,故动点 P 的轨迹长为

2+

9.(2013·蚌埠模拟)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线

BC1 上运动,给出下列四个命题:
①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________. 解析:连接 BD 交 AC 于 O,连接 DC1 交 D1C 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥BC1. ∴BC1∥平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变, ∴三棱锥 P-AD1C 的体积不变.

又 VP-AD1C=VA-D1PC,∴①正确. ∵平面 A1C1B∥平面 AD1C,A1P?平面 A1C1B, ∴A1P∥平面 ACD1,②正确. 由于 DB 不垂直于 BC1 显然③不正确; 由于 DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面 AD1C.DB1?平面 PDB1, ∴平面 PDB1⊥平面 ACD1,④正确. 答案:①②④ 10. 如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC. 证明:(1)由已知,得 MD 是△ABP 的中位线,所以 MD∥AP. 又 MD?平面 APC,AP?平面 APC, 故 MD∥平面 APC. (2)因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. 因为 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥AC,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. 因为 BC?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. 11.(2012·北京海淀二模)如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为 直径的⊙O 上,∠CBA=30°,PA=AB=2,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 AB 上,且 OM∥AC. (1)求证:平面 MOE∥平面 PAC;

(2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB. 证明:(1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥PA. 因为 PA?平面 PAC,OE?平面 PAC, 所以 OE∥平面 PAC. 因为 OM∥AC, 且 AC?平面 PAC,OM?平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE?平面 MOE,OM?平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 PA⊥BC. 因为 AC?平面 PAC,PA?平面 PAC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC?平面 PCB, 所以平面 PAC⊥平面 PCB. 12. (2012·珠海摸底)如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,四边形 ACFE 是矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,

AD=DC=CB=AE=a,∠ACB= .
2 (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)若 M 是棱 EF 上一点,AM∥平面 BDF,求 EM 的长. π 解:(1)证明:因为∠ACB= ,所以 BC⊥AC.又因为 BC?平面 ABCD,平面 ACFE∩平 2 面 ABCD=AC,平面 ACFE⊥平面 ABCD, 所以 BC⊥平面 ACFE.

π

(2)记 AC∩BD=O,在梯形 ABCD 中,因为 AD=DC=CB=a,AB∥CD,所以∠ACD =∠CAB=∠DAC. π π 所以 π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+ , 所以∠DAC= , 即∠ 2 6

CBO= .
6 π 3 又因为∠ACB= ,CB=a,所以 CO= a.连接 FO,由 AM∥平面 BDF 得 AM∥FO, 2 3 因为四边形 ACFE 是矩形,所以 EM=CO= 3 3

π

a.

1.如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确 的是( )

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析:选 C 要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的 一条直线与第一个平面垂直.因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有

DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE.
2.如图所示,b,c 在平面 α 内,a∩c=B,b∩c=A,且 a⊥b,a⊥c,b⊥c,若 C∈

a,D∈b,则△ACD 是(

)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:选 B ∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B,∴b⊥面 ABC, ∴AD⊥AC,故△ACD 为直角三角形.

3.(2012·莆田模拟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAC,△ABC 分别是 以 A,B 为直角顶点的等腰直角三角形,AB=1. (1)现给出三个条件: ①PB= 3; ②PB⊥BC; ③平面 PAB⊥平面 ABC.

试从中任意选取一个作为已知条件,并证明:PA⊥平面 ABC; (2)在(1)的条件下,求三棱锥 P-ABC 的体积. 解:法一:(1)选取条件① 在等腰直角三角形 ABC 中, ∵AB=1, ∴BC=1,AC= 2. 2. 2.又∵PB= 3,

又∵PA=AC,∴PA=

∴在△PAB 中,AB=1,PA= ∴AB2+PA2=PB2. ∴∠PAB=90°,即 PA⊥AB. 又∵PA⊥AC,AB∩AC=A, ∴PA⊥平面 ABC.

(2)依题意得,由(1)可知 PA⊥平面 ABC,

V 三棱锥 P-ABC= PA·S△ABC= × 2× ×12=
3 3 2 法二:(1)选取条件② ∵PB⊥BC, 又 AB⊥BC,且 PB∩AB=B, ∴BC⊥平面 PAB.

1

1

1

2 . 6

∵PA?平面 PAB, ∴BC⊥PA. 又∵PA⊥AC,且 BC∩AC=C, ∴PA⊥平面 ABC. (2)依题意得,由(1)可知 PA⊥平面 ABC. ∵AB=BC=1,AB⊥BC, ∴AC= ∴PA= 2, 2, 2= 2 6 .

1 1 1 1 1 ∴V 三棱锥 P-ABC= PA·S△ABC= × AB·BC·PA= × ×1×1× 3 3 2 3 2 法三:(1)选取条件③ 若平面 PAB⊥平面 ABC, ∵平面 PAB∩平面 ABC=AB,BC?平面 ABC,BC⊥AB, ∴BC⊥平面 PAB. ∵PA?平面 PAB,∴BC⊥PA. ∵PA⊥AC,且 BC∩AC=C, ∴PA⊥平面 ABC. (2)同法二.

1.(2012·福建高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD =1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC. 解:(1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,

AD⊥平面 CDD1C1,

∴点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1. 1 1 又 S△MCC1= CC1×CD= ×2×1=1, 2 2 1 1 ∴VA-MCC1= AD·S△MCC1= . 3 3 (2)证明:将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开,与侧面

ADD1A1 共面(如图),当 A1,M,C′共线时,A1M+MC 取得最小
值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 A1M,B1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,

CC1=2,
2 2 ∴CC2 1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°,即 CM⊥MC1.

又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1, ∴B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M. 同理可证,B1M⊥AM. 又 AM∩MC=M,∴B1M⊥平面 MAC. 2.(2012·江西模拟)如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边

BC, CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O, PA, NC 都垂直于平面 ABCD,
且 PA=AB=4,NC=2,M 是线段 PA 上的一动点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 NEF; (2)若 PC∥平面 MEF,试求 PM∶MA 的值. 解:(1)证明:连接 BD, ∵PA⊥平面 ABCD,

BD?平面 ABCD,
∴PA⊥BD.

又∵BD⊥AC,AC∩PA=A, ∴BD⊥平面 PAC. 又∵E,F 分别是 BC,CD 的中点, ∴EF∥BD. ∴EF⊥平面 PAC, 又 EF?平面 NEF, ∴平面 PAC⊥平面 NEF. (2)连接 OM, ∵PC∥平面 MEF,平面 PAC∩平面 MEF=OM, ∴PC∥OM,∴

PM OC 1 PA


AC

= , 4

故 PM∶MA=1∶3. 3.(2012·陕西高考)(1)如图,证明命题“a 是平面 π 内的一 条直线,b 是 π 外的一条直线(b 不垂直于 π),c 是直线 b 在 π 上 的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真; (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明). 解:(1)证明:法一:

如图 1,过直线 b 上任一点作平面 π 的垂线 n,设直线 a,b,c,n 的方向向量分别是

a,b,c,n,则 b,c,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数 λ ,μ 使得 c=λ b+μ n,
则 a·c=a·(λ b+μ n)=λ(a·b)+μ (a·n). 因为 a⊥b,所以 a·b=0. 又因为 a?π,n⊥π,所以 a·n=0, 故 a·c=0,从而 a⊥c.

法二:如图 2,记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一 点,过 P 作 PO⊥π,垂足为 O, 则 O∈c. ∵PO⊥π,a?π,∴直线 PO⊥a. 又 a⊥b,b?平面 PAO,

PO∩b=P,
∴a⊥平面 PAO.又 c?平面 PAO,∴a⊥c. (2)逆命题为:a 是平面 π 内的一条直线,b 是 π 外的一条直线(b 不垂直于 π),c 是直 线 b 在 π 上的投影, 若 a⊥c,则 a⊥b.逆命题为真命题.


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